Рекуррентный тензор

Эта статья предоставляет недостаточный контекст для тех, кто не знаком с предметом . Пожалуйста, помогите улучшить статью , предоставив читателю больше контекста . ( Январь 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике рекуррентный тензор относительно связности на многообразии M - это тензор T, для которого существует одна форма ω на M такая, что${\ displaystyle \ nabla}$

${\ displaystyle \ nabla T = \ omega \ otimes T. \,}$

Примеры [ править ]

Параллельные тензоры [ править ]

Примером рекуррентных тензоров являются параллельные тензоры, которые определяются как

${\ Displaystyle \ набла А = 0}$

относительно некоторой связи .${\ displaystyle \ nabla}$

Если мы возьмем псевдориманово многообразие, то метрика g является параллельным и, следовательно, рекуррентным тензором относительно своей связности Леви-Чивиты , которая определяется через${\ displaystyle (M, g)}$

${\ displaystyle \ nabla ^ {LC} г = 0}$

и его свойство не допускать скручивания.

Параллельные векторные поля ( ) являются примерами рекуррентных тензоров, которые имеют важное значение в математических исследованиях. Например, если - рекуррентное ненулевое векторное поле на псевдоримановом многообразии, удовлетворяющее${\ Displaystyle \ набла Х = 0}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ nabla X = \ omega \ otimes X}$

для некоторой замкнутой одноформной формы X можно преобразовать в параллельное векторное поле. ^[1] В частности, непараллельные рекуррентные векторные поля являются нулевыми векторными полями.${\ displaystyle \ omega}$

Метрическое пространство [ править ]

Другой пример появляется в связи со структурами Вейля . Исторически структуры Вейля возникли из соображений Германа Вейля в отношении свойств параллельного переноса векторов и их длины. ^[2] Требуя, чтобы многообразие имело аффинный параллельный перенос таким образом, чтобы многообразие было локально аффинным пространством , было показано, что индуцированная связность имеет исчезающий тензор кручения

${\ displaystyle T ^ {\ nabla} (X, Y) = \ nabla _ {X} Y- \ nabla _ {Y} X- [X, Y] = 0}$.

Кроме того, он утверждал, что коллектор должен иметь особый параллельный транспорт, в котором соотношение двух переносимых векторов фиксировано. Соответствующее соединение, которое индуцирует такой параллельный перенос, удовлетворяет${\ displaystyle \ nabla '}$

${\ displaystyle \ nabla 'g = \ varphi \ otimes g}$

для какой-то одной формы . Такая метрика является рекуррентным тензором относительно . В результате Вейль назвал получившееся многообразие с аффинной связностью и рекуррентной метрикой метрическим пространством. В этом смысле Вейль имел в виду не только одну метрику, но и конформную структуру, определяемую . ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \nabla '}$${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$

При конформном преобразовании форма преобразуется как . Это индуцирует каноническое отображение на, определяемое формулой${\displaystyle g\rightarrow e^{\lambda }g}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi \rightarrow \varphi -d\lambda }$${\displaystyle F:[g]\rightarrow \Lambda ^{1}(M)}$${\displaystyle (M,[g])}$

${\displaystyle F(e^{\lambda }g):=\varphi -d\lambda }$,

где - конформная структура. называется структурой Вейля ^[3], которая в более общем смысле определяется как отображение со свойством${\displaystyle [g]}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle F(e^{\lambda }g)=F(g)-d\lambda }$.

Рекуррентное пространство-время [ править ]

Еще один пример рекуррентного тензора - тензор кривизны на рекуррентном пространстве-времени ^[4], для которого${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

${\displaystyle \nabla {\mathcal {R}}=\omega \otimes {\mathcal {R}}}$.

Ссылки [ править ]

Литература [ править ]

• Вейль, Х. (1918). «Гравитация и электричество». Sitzungsberichte der preuss. Акад. d. Wiss. : 465.
• А.Г. Уокер: О параллельных полях частично нулевых векторных пространств , Ежеквартальный журнал математики, 1949, Oxford Univ. Нажмите
• EM Patterson: О симметричных рекуррентных тензорах второго порядка , The Quarterly Journal of Mathematics 1950, Oxford Univ. Нажмите
• Ж.-К. Вонг: Рекуррентные тензоры на линейно связном дифференцируемом многообразии , Транзакции Американского математического общества 1961 г.,
• Г. Б. Фолланд: Многообразия Вейля , Д. Дифференциальная геометрия, 1970 г.
• Д.В. Алексеевский; Х. Баум (2008). Последние достижения в псевдоримановой геометрии . Европейское математическое общество. ISBN 3-03719-051-5.