Морфизм алгебраических многообразий

В алгебраической геометрии морфизм между алгебраическими многообразиями — это функция между многообразиями, локально заданная полиномами. Ее также называют обычной картой . Морфизм алгебраического многообразия к аффинной прямой также называется регулярной функцией . Регулярное отображение, обратное которому также является регулярным, называется бирегулярным , и они являются изоморфизмами в категории алгебраических многообразий. Поскольку регулярность и бирегулярность являются очень ограничительными условиями — на проективных многообразиях нет непостоянных регулярных функций — более слабое условие рационального отображения итакже часто используются бирациональные карты.

Если X и Y являются замкнутыми подмногообразиями и ( поэтому они являются аффинными многообразиями ), то регулярное отображение является ограничением полиномиального отображения В явном виде оно имеет вид: ^[1] ${\ Displaystyle \ mathbb {А} ^ {п}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {А} ^ {м}}$ ${\ Displaystyle е \ двоеточие X \ к Y}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {А} ^ {п} \ к \ mathbb {А} ^ {м}}$

где s находятся в координатном кольце X : ${\ displaystyle f_ {я}}$

где I — идеал , определяющий X (примечание: два многочлена f и g определяют одну и ту же функцию на X тогда и только тогда, когда f − g принадлежит I ). Образ f ( X ) лежит в Y и, следовательно, удовлетворяет определяющим уравнениям Y . То есть регулярная карта такая же, как ограничение полиномиальной карты, компоненты которой удовлетворяют определяющим уравнениям . ${\ Displaystyle е: X \ к Y}$ ${\ Displaystyle Y}$

В более общем случае отображение f : X → Y между двумя многообразиями является регулярным в точке x , если существуют окрестность U точки x и окрестность V точки f ( x ) такие, что f ( U ) ⊂ V и ограниченная функция f : U → V регулярна как функция на некоторых аффинных картах U и V . Тогда f называется регулярной , если она регулярна во всех точкахХ .

Состав регулярных карт снова регулярен; таким образом, алгебраические многообразия образуют категорию алгебраических многообразий, где морфизмы являются регулярными отображениями.