s- плоскость

В математике и технике , то S -плоскость является комплексной плоскостью , на которой преобразование Лапласа графически. Это математическая область, в которой вместо просмотра процессов во временной области, смоделированных с помощью функций, основанных на времени, они рассматриваются как уравнения в частотной области . Он используется как инструмент графического анализа в инженерии и физике.

Настоящая функция ${\ displaystyle f}$ во время ${\ displaystyle t}$ переводится в s- плоскость путем вычисления интеграла функции, умноженной на ${\ displaystyle e ^ {- st}}$ из ${\ displaystyle 0}$ к ${\ displaystyle \ infty}$ где s - комплексное число вида ${\ displaystyle s = \ sigma + я \ omega}$ .

{\ Displaystyle F (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) e ^ {- st} \, dt \; | \; s \; \ in \ mathbb {C}}

Это преобразование из t- области в s -область известно как преобразование Лапласа, а функция ${\ Displaystyle F (s)}$ называется преобразованием Лапласа ${\ displaystyle f}$ . Преобразование Лапласа аналогично процессу анализа Фурье ; на самом деле ряды Фурье являются частным случаем преобразования Лапласа. В анализе Фурье гармонические синусоидальные и косинусоидальные волны умножаются в сигнал, и результирующее интегрирование обеспечивает индикацию сигнала, присутствующего на этой частоте (то есть энергии сигнала в точке в частотной области). Преобразование Лапласа делает то же самое, но в более общем плане. В ${\ displaystyle e ^ {- st}}$ не только захватывает частотную характеристику через воображаемый ${\ displaystyle e ^ {- я \ omega t}}$ компонент, но и эффекты распада через его реальную ${\ Displaystyle е ^ {- \ sigma t}}$ компонент. Например, затухающую синусоидальную волну можно правильно смоделировать с помощью преобразований Лапласа.

Функция в s-плоскости может быть переведена обратно в функцию времени с помощью обратного преобразования Лапласа.

{\ displaystyle f (t) = {1 \ over 2 \ pi i} \ lim _ {T \ to \ infty} \ int _ {\ gamma -iT} ^ {\ gamma + iT} F (s) e ^ { st} \, ds}

где действительное число ${\ displaystyle \ gamma}$ выбираются таким образом , путь интеграции в области сходимости в ${\ Displaystyle F (s)}$ . Однако вместо использования этого сложного интеграла большинство интересующих функций переводятся с использованием таблиц пар преобразований Лапласа и теоремы о вычетах Коши .

Анализ комплексных корней уравнения s- плоскости и нанесение их на диаграмму Аргана может дать информацию о частотной характеристике и стабильности системы реального времени. Этот процесс называется анализом корневого локуса .

См. Также

Внешние ссылки

Иллюстрация отображения от s- плоскости к z- плоскости
Кевин Браун (2015) Преобразования Лапласа на математических страницах.

Эта статья, посвященная математическому анализу, является незавершенной . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .