Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Графическая или линейчатая шкала. На карте также обычно указывается масштаб в числовом виде (например, «1: 50 000» означает, что один сантиметр на карте соответствует 50 000 см реального пространства, что составляет 500 метров).
Штриховая шкала с номинальной шкалой, выраженной как «1 см = 6 км» и «1: 600 000» (эквивалентно, поскольку 6 км = 600 000 см).

Масштаба из карты является отношение рассто ни на карте к соответствующему расстоянию на земле. Эта простая концепция осложняется Кривизна Земли поверхности «ы, что силы масштабирования варьировать по всей карте. Из-за этого различия понятие масштаба приобретает смысл двумя разными способами.

Первый способ - это отношение размера генерирующего шара к размеру Земли. Генерирующий глобус - это концептуальная модель, в соответствии с которой Земля уменьшена и на которую проецируется карта . Отношение размера Земли к размеру создаваемого земного шара называется номинальным масштабом (= основной масштаб = представительная доля ). На многих картах указан номинальный масштаб и может даже отображаться линейчатая шкала (иногда называемая просто «масштабом») для ее представления.

Вторая особая концепция масштаба относится к вариациям масштаба на карте. Это отношение шкалы нанесенной точки к номинальной шкале. В данном случае «масштаб» означает масштабный коэффициент (= балльная шкала = конкретная шкала ).

Если область карты достаточно мала, чтобы игнорировать кривизну Земли, например, на плане города, то в качестве масштаба можно использовать одно значение, не вызывая ошибок измерения. На картах, покрывающих большие площади или всю Землю, масштаб карты может быть менее полезным или даже бесполезным для измерения расстояний. Проекция карты становится критически важной для понимания того, как масштаб меняется по всей карте. [1] [2] Когда масштаб заметно меняется, его можно учитывать как масштабный коэффициент. Индикатриса Tissot часто используется для иллюстрации изменения шкалы точек на карте.

История [ править ]

Основы количественного масштабирования карты восходят к древнему Китаю с текстовыми свидетельствами того, что идея масштабирования карты была понята во втором веке до нашей эры. Древние китайские геодезисты и картографы обладали обширными техническими ресурсами, которые использовались для создания карт, таких как счетные стержни , квадрат плотника , отвесы , компасы для рисования кругов и визирные трубки для измерения наклона. Системы отсчета, постулирующие зарождающуюся систему координат для определения местоположения, были намекают древние китайские астрономы, которые делили небо на различные секторы или лунные ложи. [3]

Китайский картограф и географ Пей Сю периода Троецарствия создал набор карт с большой территорией, которые были нарисованы в масштабе. Он разработал набор принципов, в которых подчеркивалась важность согласованного масштабирования, направленных измерений и корректировок в измерениях земли на местности, которая была нанесена на карту. [3]

Терминология шкал [ править ]

Представление масштаба [ править ]

Масштаб карты может быть выражен словами (лексический масштаб), в виде отношения или дроби. Примеры:

"от одного сантиметра до ста метров" или 1: 10 000 или 1/10 000
«один дюйм на одну милю» или 1: 63 360 или 1/63 360
«один сантиметр на тысячу километров», или 1: 100000000, или 1/100000000. (Соотношение обычно сокращается до 1: 100M)

Гистограмма против лексической шкалы [ править ]

В дополнение к вышеуказанному многие карты имеют одну или несколько (графических) шкал . Например, на некоторых современных британских картах есть три шкалы шкалы, по одной для километров, миль и морских миль.

Лексическую шкалу на языке, известном пользователю, может быть легче визуализировать, чем соотношение: если масштаб составляет от дюйма до двух миль, и пользователь карты может видеть на карте две деревни, которые находятся на расстоянии примерно двух дюймов друг от друга, тогда это легко выяснить, что деревни находятся на расстоянии около четырех миль друг от друга.

Лексический масштаб может вызвать проблемы , если оно выражено на языке , который пользователь не понимает или устаревших или неопределенных единиц. Например, масштаб от одного дюйма до фарлонга (1: 7920) будет понятен многим пожилым людям в странах, где в школах преподавались имперские единицы . Но масштаб одного пула на одну лигу может составлять примерно 1: 144 000, в зависимости от выбора картографом множества возможных определений лиги, и только меньшинство современных пользователей будет знакомо с используемыми единицами измерения.

Большой, средний, маленький [ править ]

Контраст пространственного масштаба .

Карта бывает мелкомасштабной или крупномасштабной, а иногда и средней . Малый масштаб относится к картам мира или картам больших регионов, таких как континенты или большие страны. Другими словами, они показывают большие участки земли на небольшом пространстве. Они называются мелкомасштабными, потому что репрезентативная фракция относительно мала.

На крупномасштабных картах мелкие области показаны более подробно, например на картах округов или городских планах. Такие карты называются крупномасштабными, потому что репрезентативная доля относительно велика. Например, план города, представляющий собой крупномасштабную карту, может иметь масштаб 1: 10 000, тогда как карта мира, которая представляет собой карту малого масштаба, может иметь масштаб 1: 100 000 000.

В следующей таблице описаны типичные диапазоны для этих шкал, но ее не следует рассматривать в качестве авторитетных, поскольку нет стандарта:

Иногда эти термины используются в абсолютном смысле таблицы, но иногда в относительном смысле. Например, картограф, чья работа относится исключительно к крупномасштабным картам (как указано в таблице выше), может называть карту размером 1: 500 000 мелкомасштабной.

В английском языке слово large-scale часто используется для обозначения «обширного». Однако, как объяснялось выше, картографы используют термин «крупномасштабные» для обозначения менее обширных карт - тех, которые показывают меньшую площадь. Карты, показывающие обширную территорию, являются картами «малого масштаба». Это может стать причиной недоумения.

Вариация шкалы [ править ]

Нанесение на карту больших площадей вызывает заметные искажения, поскольку значительно сглаживает искривленную поверхность земли. Распространение искажений зависит от проекции карты . Масштаб на карте различается , и указанный масштаб карты является только приблизительным. Это подробно обсуждается ниже.

Крупномасштабные карты с пренебрежением кривизной [ править ]

Область, в которой Землю можно считать плоской, зависит от точности съемочных измерений. Если измерять только с точностью до ближайшего метра, то кривизну Земли невозможно обнаружить на меридиональном расстоянии около 100 километров (62 мили) и на линии восток-запад протяженностью около 80 км (на широте 45 градусов). При съемке с точностью до 1 миллиметра (0,039 дюйма) кривизна не обнаруживается на меридиональном расстоянии около 10 км и на линии восток-запад около 8 км. [4] Таким образом, план Нью-Йорка.с точностью до одного метра или план строительной площадки с точностью до одного миллиметра удовлетворяли бы указанным выше условиям без учета кривизны. Их можно рассматривать с помощью съемки на плоскости и наносить на карту с помощью масштабных чертежей, на которых любые две точки на одинаковом расстоянии на чертеже находятся на одинаковом расстоянии от земли. Истинные расстояния до земли рассчитываются путем измерения расстояния на карте и последующего умножения на обратную долю масштаба или, что то же самое, простого использования разделителей для переноса расстояния между точками на карте в линейчатую шкалу на карте.

Снижение высоты [ править ]

Изменение высоты от уровня земли до поверхности сферы или эллипсоида также изменяет масштаб измерения расстояния. [5]

Балльная шкала (или конкретная шкала)[ редактировать ]

Как показал Гаусс «s Theorema Egregium , сфера (или эллипсоид) не может быть спроецирована на плоскость без искажений. Обычно это иллюстрируется невозможностью разглаживать апельсиновую корку на плоской поверхности, не порвав и не деформируя ее. Единственное верное представление сферы в постоянном масштабе - это другая сфера, например глобус .

Учитывая ограниченный практический размер глобусов, мы должны использовать карты для детального картирования. Карты требуют проекций. Проекция подразумевает искажение: постоянное разделение на карте не соответствует постоянному разделению на земле. Хотя карта может отображать графическую шкалу, ее следует использовать с пониманием того, что она будет точной только на некоторых линиях карты. (Это обсуждается далее в примерах в следующих разделах.)

Пусть P будет точкой на сфере (или эллипсоиде ) на широте и долготе . Пусть Q будет соседней точкой и пусть будет углом между элементом PQ и меридианом в точке P: этот угол является азимутальным углом элемента PQ. Пусть P 'и Q' - соответствующие точки на проекции. Угол между направлением P'Q 'и проекцией меридиана является пеленгом . В общем . Комментарий: это точное различие между азимутом (на поверхности Земли) и пеленгом (на карте) наблюдается не повсеместно, многие авторы используют эти термины почти как взаимозаменяемые.

Определение: шкала точка в точке Р есть отношение двух расстояний P'Q»и PQ в пределе , что Q приближается к P. Мы пишем это как

где обозначение указывает, что шкала точек является функцией положения P, а также направления элемента PQ.

Определение: если P и Q лежат на одном меридиане , масштаб меридиана обозначается .

Определение: если P и Q лежат на одной параллели , параллельный масштаб обозначается .

Определение: если шкала точек зависит только от положения, а не от направления, мы говорим, что она изотропна, и условно обозначаем ее значение в любом направлении коэффициентом параллельного масштабирования .

Определение: проекция карты называется конформной, если угол между парой прямых, пересекающихся в точке P, такой же, как угол между проецируемыми линиями в проецируемой точке P ', для всех пар линий, пересекающихся в точке P. Конформная карта имеет изотропный масштабный коэффициент. И наоборот, изотропные масштабные коэффициенты на карте подразумевают конформную проекцию.

Изотропия масштаба подразумевает, что мелкие элементы растягиваются одинаково во всех направлениях, то есть форма небольшого элемента сохраняется. Это свойство ортоморфизма (от греч. «Правильная форма»). Квалификация «малая» означает, что при некоторой заданной точности измерения не может быть обнаружено никаких изменений масштабного коэффициента по элементу. Поскольку конформные проекции имеют изотропный масштабный фактор, их также называют ортоморфными проекциями . Например, проекция Меркатора является конформной, поскольку она построена для сохранения углов, а ее масштабный коэффициент является изотопным, функцией только широты: Меркатор действительно сохраняет форму в небольших регионах.

Определение: на конформной проекции с изотропным масштабом точки, имеющие одинаковое значение масштаба, могут быть соединены для образования изомасштабных линий . Они не отображаются на картах для конечных пользователей, но присутствуют во многих стандартных текстах. (См. Снайдер [1], страницы 203–206.)

Репрезентативная фракция (RF) или основная шкала [ править ]

При составлении уравнений любой проекции используются два соглашения. Например, равнопрямоугольная цилиндрическая проекция может быть записана как

картографы:             
математики:            

Здесь мы примем первое из этих соглашений (следуя использованию Снайдера в обзорах). Очевидно, что приведенные выше уравнения проекции определяют положение огромного цилиндра, обернутого вокруг Земли и затем развернутого. Мы говорим, что эти координаты определяют карту проекции, которую необходимо логически отличать от реальных печатных (или просматриваемых) карт. Если определение шкалы в предыдущем разделе дано в терминах карты проекции, то можно ожидать, что масштабные коэффициенты будут близки к единице. Для нормальных касательных цилиндрических проекций масштаб вдоль экватора k = 1, и в целом масштаб изменяется по мере удаления от экватора. Анализ масштаба на карте проекции - это исследование изменения k от его истинного значения единицы.

Фактические печатные карты создаются из карты проекции путем постоянного масштабирования, обозначаемого таким соотношением, как 1: 100M (для карт всего мира) или 1: 10000 (для таких как планы городов). Чтобы избежать путаницы в использовании слова «масштаб», эта доля постоянного масштаба называется репрезентативной долей (RF) печатной карты, и ее следует отождествлять с коэффициентом, напечатанным на карте. Фактические координаты распечатанной карты для равнопрямоугольной цилиндрической проекции:

распечатанная карта:             

Это соглашение позволяет четко различать собственное масштабирование проекции и масштабирование уменьшения.

С этого момента мы игнорируем RF и работаем с картой проекции.

Визуализация балльной шкалы: индикатриса Tissot [ править ]

Тройная проекция Винкеля с индикатрисой деформации Тиссо

Рассмотрим небольшой круг на поверхности Земли с центром в точке P на широте и долготе . Поскольку шкала точек меняется в зависимости от положения и направления, проекция круга на проекции будет искажена. Компания Tissot доказала, что до тех пор, пока искажение не слишком велико, круг на проекции превратится в эллипс. Обычно размер, форма и ориентация эллипса изменяются в зависимости от проекции. Наложение этих эллипсов искажения на проекцию карты передает способ изменения шкалы точек на карте. Эллипс искажения известен как индикатриса Тиссо . Пример, показанный здесь, представляет собой тройную проекцию Винкеля , стандартную проекцию для карт мира, созданныхНациональное географическое общество . Минимальные искажения наблюдаются на центральном меридиане на 30 градусах широты (северная и южная). (Другие примеры [6] [7] ).

Шкала для нормальных цилиндрических проекций сферы [ править ]

Ключом к количественному пониманию масштаба является рассмотрение бесконечно малого элемента на сфере. На рисунке показана точка P на сфере по широте и долготе . Точка Q находится на широте и долготе . Прямые PK и MQ представляют собой дуги меридианов длины, где - радиус сферы в радианах. Линии PM и KQ представляют собой дуги окружностей параллельных длины с в радианах. При выводе точечного свойства проекции на P достаточно взять бесконечно малый элемент PMQK поверхности: в пределе Q, приближающемся к P, такой элемент стремится к бесконечно малому плоскому прямоугольнику.

Бесконечно малые элементы на сфере и нормальная цилиндрическая проекция

Нормальные цилиндрические проекции сферы имеют только функцию широты и равны ей. Следовательно, бесконечно малый элемент PMQK на сфере проецируется на бесконечно малый элемент P'M'Q'K ', который представляет собой точный прямоугольник с основанием и высотой  . Сравнивая элементы на сфере и проекции, мы можем сразу вывести выражения для масштабных факторов на параллелях и меридианах. (Обработка масштаба в общем направлении может быть найдена ниже .)

параллельный масштабный коэффициент  
масштабный коэффициент меридиана 

Обратите внимание, что коэффициент параллельного масштабирования не зависит от определения, поэтому он одинаков для всех нормальных цилиндрических проекций. Полезно отметить, что

на широте 30 градусов параллельная шкала
на широте 45 градусов параллельная шкала
на широте 60 градусов параллельная шкала
на широте 80 градусов параллельная шкала
на широте 85 градусов параллельная шкала

Следующие ниже примеры иллюстрируют три нормальных цилиндрических проекции, и в каждом случае изменение масштаба в зависимости от положения и направления иллюстрируется с помощью индикатрисы Тиссо .

Три примера нормальной цилиндрической проекции [ править ]

Равнопрямоугольная проекция [ править ]

Эквидистантная проекция с индикатрисой деформации Тиссо

Равнопромежуточная проекция , [1] [2] [4] также известная как Plate Carree (французский для «плоского квадрата») или (несколько обманчиво) эквидистантное проекции, определяются

  

где - радиус сферы, - долгота от центрального меридиана проекции (здесь принимается за гринвичский меридиан в точке ) и - широта. Обратите внимание, что и выражены в радианах (полученные путем умножения степени на коэффициент / 180). Долгота находится в диапазоне, а широта находится в диапазоне .

Поскольку предыдущий раздел дает

параллельная шкала, 
меридианная шкала

Для расчета балльной шкалы в произвольном направлении см. Приложение .

На рисунке показана индикатриса Тиссо для этой проекции. На экваторе h = k = 1 и круговые элементы не искажены на проекции. На более высоких широтах круги искажаются в эллипс, задаваемый вытягиванием только в параллельном направлении: в меридиональном направлении искажения нет. Отношение большой оси к малой оси составляет . Ясно, что площадь эллипса увеличивается во столько же раз.

Поучительно рассмотреть возможность использования линейчатых шкал, которые могут появиться на печатной версии этой проекции. Масштаб истинный (k = 1) на экваторе, так что умножение его длины на печатной карте на обратную величину RF (или главный масштаб) дает фактическую длину окружности Земли. Шкала шкалы на карте также нарисована в истинном масштабе, поэтому перенос расстояния между двумя точками на экваторе на шкалу шкалы дает правильное расстояние между этими точками. То же самое и с меридианами. На параллели, отличной от экватора, масштабпоэтому, когда мы переносим разделение с параллели на линейную шкалу, мы должны разделить расстояние шкалы на этот коэффициент, чтобы получить расстояние между точками при измерении вдоль параллели (которое не является истинным расстоянием вдоль большого круга). На линии с пеленгом, скажем, 45 градусов ( ) шкала непрерывно изменяется с широтой, и перенос разделения вдоль линии на шкалу столбцов не дает расстояния, связанного с истинным расстоянием каким-либо простым способом. (Но см. Приложение ). Даже если бы мы могли вычислить расстояние по этой линии константы, ее актуальность сомнительна, поскольку такая линия на проекции соответствует сложной кривой на сфере. По этим причинам линейчатую шкалу на мелкомасштабных картах следует использовать с особой осторожностью.

Проекция Меркатора [ править ]

Проекция Меркатора с индикатрисой деформации Тиссо . (На более высоких широтах искажения неограниченно возрастают)

Проекции Меркатора отображает сферу в виде прямоугольника (бесконечной степени в -направлении) с помощью уравнений [1] [2] [4]

где a, и такие же, как в предыдущем примере. Так как масштабные коэффициенты:

параллельная шкала     
меридианная шкала   

В математическом дополнении показано, что шкала точек в произвольном направлении также равна, поэтому шкала изотропна (одинакова во всех направлениях), ее величина увеличивается с широтой как . На диаграмме Тиссо каждый бесконечно малый круговой элемент сохраняет свою форму, но с увеличением широты увеличивается все больше и больше.

Равноплоскостная проекция Ламберта [ править ]

Нормальная цилиндрическая равновеликая проекция Ламберта с индикатрисой деформации Тиссо

Равноплощадочная проекция Ламберта отображает сферу в конечный прямоугольник уравнениями [1] [2] [4]

где a, и такие же, как в предыдущем примере. Поскольку масштабные коэффициенты равны

параллельная шкала      
меридианная шкала   

Расчет балльной шкалы в произвольном направлении приведен ниже .

Вертикальная и горизонтальная шкалы теперь компенсируют друг друга (hk = 1), и на диаграмме Тиссо каждый бесконечно малый круговой элемент искажен в эллипс той же площади, что и неискаженные круги на экваторе.

Графики масштабных коэффициентов [ править ]

График показывает изменение масштабных коэффициентов для трех приведенных выше примеров. На верхнем графике показана функция изотропной шкалы Меркатора: масштаб на параллели такой же, как и на шкале меридиана. На других графиках показан масштабный коэффициент меридиана для равнопрямоугольной проекции (h = 1) и для равновеликой проекции Ламберта. Эти последние две проекции имеют параллельный масштаб, идентичный масштабу графика Меркатора. Что касается Ламберта, обратите внимание, что параллельный масштаб (как Меркатор A) увеличивается с широтой, а масштаб меридиана (C) уменьшается с широтой таким образом, что hk = 1, что гарантирует сохранение площади.

Вариация масштаба в проекции Меркатора [ править ]

Шкала точек Меркатора равна единице на экваторе, потому что она такова, что вспомогательный цилиндр, используемый в ее конструкции, является касательной к Земле на экваторе. По этой причине обычную проекцию следует называть касательной . Масштаб зависит от широты как . Поскольку по мере приближения к полюсам она стремится к бесконечности, карта Меркатора сильно искажается на высоких широтах, и по этой причине проекция совершенно не подходит для карт мира (если мы не обсуждаем навигацию и линии румба ). Тем не менее, на широте около 25 градусов величины составляет около 1,1 , так Меркатора являетсяс точностью до 10% в полосе шириной 50 градусов с центром по экватору. Лучше использовать более узкие полоски: полоса шириной 16 градусов (с центром на экваторе) имеет точность в пределах 1% или 1 часть из 100.

Стандартным критерием для хороших крупномасштабных карт является то, что точность должна быть в пределах 4 частей на 10 000, или 0,04%, что соответствует . Поскольку достигает этого значения в градусах (см. Рисунок ниже, красная линия). Поэтому касательная проекция Меркатора очень точна в пределах полосы шириной 3,24 градуса с центром на экваторе. Это соответствует расстоянию с севера на юг около 360 км (220 миль). Внутри этой полосы Меркатор оченьхороший, очень точный и сохраняет форму, потому что он конформный (сохраняет угол). Эти наблюдения побудили к разработке поперечных проекций Меркатора, в которых меридиан рассматривается «как экватор» проекции, так что мы получаем точную карту в пределах небольшого расстояния от этого меридиана. Такие карты подходят для стран, ориентированных почти с севера на юг (например, для Великобритании ), и набор из 60 таких карт используется для универсальной поперечной проекции Меркатора (UTM) . Обратите внимание, что в обеих этих проекциях (которые основаны на различных эллипсоидах) уравнения преобразования для x и y и выражение для масштабного коэффициента являются сложными функциями как широты, так и долготы.

Изменение масштаба около экватора для касательной (красная) и секущей (зеленая) проекций Меркатора.

Секущие или модифицированные проекции [ править ]

Основная идея секущей проекции состоит в том, что сфера проецируется на цилиндр, который пересекает сферу в двух параллелях, скажем, на севере и юге. Ясно, что масштаб теперь верен на этих широтах, тогда как параллели ниже этих широт сужаются проекцией, и их (параллельный) масштабный коэффициент должен быть меньше единицы. В результате отклонение шкалы от единицы уменьшается в более широком диапазоне широт.

Например, одна возможная секущая проекция Меркатора определяется следующим образом:

Числовые множители не изменяют форму проекции, но это означает, что изменяются масштабные коэффициенты:

секущая шкала Меркатора,   

Таким образом

  • масштаб на экваторе 0,9996,
  • масштаб k  = 1 на широте, заданной где, так что градусы,
  • к = 1,0004 на широте , заданной для которых градусов. Следовательно, проекция имеет точность 0,04% на более широкую полосу в 4,58 градуса (по сравнению с 3,24 градуса для касательной формы).

Это иллюстрируется нижней (зеленой) кривой на рисунке в предыдущем разделе.

Такие узкие зоны высокой точности используются в проекциях UTM и британской OSGB, обе из которых являются секущими, поперечными по Меркатору на эллипсоиде со шкалой постоянной центрального меридиана в . Изомасштабные линии представляют собой слегка изогнутые линии примерно в 180 км к востоку и западу от центрального меридиана. Максимальное значение масштабного коэффициента составляет 1,001 для UTM и 1 0007 для OSGB.

Линии единичной шкалы на широте (север и юг), где поверхность цилиндрической проекции пересекает сферу, являются стандартными параллелями секущей проекции.

В то время как узкая полоса с важна для высокоточного картографирования в крупном масштабе, для карт мира используются гораздо более широкие разнесенные стандартные параллели для управления изменением масштаба. Примеры

  • Behrmann со стандартными параллелями на 30N, 30S.
  • Галл равновеликий со стандартными параллелями на 45N, 45S.
Изменение масштаба для равновеликих проекций Ламберта (зеленый) и Галла (красный).

Графики масштаба для последнего показаны ниже в сравнении с масштабными коэффициентами равной площади Ламберта. В последнем случае экватор представляет собой единую стандартную параллель, и параллельный масштаб увеличивается с k = 1, чтобы компенсировать уменьшение масштаба меридиана. Для Галла параллельный масштаб уменьшается на экваторе (до k = 0,707), в то время как масштаб меридиана увеличивается (до k = 1,414). Это приводит к грубому искажению формы в проекции Галла-Петерса. (На земном шаре длина Африки равна ширине). Обратите внимание, что шкала меридиана и параллели равны единице на стандартных параллелях.

Математическое приложение [ править ]

Бесконечно малые элементы на сфере и нормальная цилиндрическая проекция

Для нормальных цилиндрических проекций геометрия бесконечно малых элементов дает

Соотношение между углами и IS

Для подачи проекции Меркатора : углы сохранены. (Это неудивительно, поскольку это отношение используется для вывода Меркатора). Для эквидистантной проекции и проекции Ламберта мы имеем и, соответственно, соотношение между и зависит от широты  . Обозначим шкалу в точке P, когда бесконечно малый элемент PQ образует угол с меридианом. Он определяется отношением расстояний:

Установка и замена и из уравнений (a) и (b) соответственно дает

Для других выступов , чем Mercator мы должны сначала вычислить из и используя уравнение (с), прежде чем мы сможем найти . Например, равнопромежуточный выступ имеет , так что

Если мы рассмотрим линию постоянного наклона на проекции, то и соответствующее значение, и масштабный коэффициент вдоль линии будут сложными функциями от . Не существует простого способа перенести общее конечное разделение на линейную шкалу и получить значимые результаты.

Символ отношения [ править ]

В то время как двоеточие часто используется для обозначения соотношений, Unicode может выражать символ, специфичный для соотношений, с небольшим повышением: U + 2236 RATIO (HTML  ∶ · ∶ ).

См. Также [ править ]

  • Масштаб (аналитический инструмент)
  • Масштаб (соотношение)
  • Масштабирование (геометрия)
  • Пространственный масштаб

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b c d e Снайдер, Джон П. (1987). Картографические проекции - рабочее руководство. Профессиональный доклад геологической службы США 1395 . Типография правительства США, Вашингтон, округ КолумбияЭтот документ можно скачать со страниц Геологической службы США. Он дает полную информацию о большинстве прогнозов вместе с вводными разделами, но он не выводит какие-либо прогнозы из первых принципов. Вывод всех формул для проекций Меркатора можно найти в книге «Проекции Меркатора» .
  2. ^ a b c d Уплощение Земли: две тысячи лет картографических проекций , Джон П. Снайдер, 1993, стр. 5-8, ISBN 0-226-76747-7 . Это обзор практически всех известных прогнозов от древности до 1993 года. 
  3. ^ a b Селин, Хелайн (2008). Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах . Springer (опубликовано 17 марта 2008 г.). п. 567. ISBN 978-1402049606.
  4. ^ Б с д Осборн, Питер (2013), Проекция Меркатора , DOI : 10,5281 / zenodo.35392 . (Дополнения: Maxima файлы и латексные код и цифры )
  5. ^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 27 августа 2014 года . Проверено 26 августа 2014 . CS1 maint: archived copy as title (link)
  6. ^ Примеры индикатрисы Тиссо. Некоторые иллюстрации Tissot Indicatrix применяются к различным проекциям, кроме обычных цилиндрических.
  7. ^ Дальнейшие примеры индикатрисы Tissot на Wikimedia Commons.