Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике , последовательность является нумерованный набор объектов , в которых повторы разрешено и порядок вопросов. Как и набор , он содержит элементы (также называемые элементами или терминами ). Количество элементов (возможно, бесконечное) называется длиной последовательности. В отличие от набора одни и те же элементы могут появляться несколько раз в разных позициях в последовательности, и, в отличие от набора, порядок имеет значение. Формально последовательность может быть определена как функция , областью определения которой является либо набор натуральных чисел (для бесконечных последовательностей), либо набор первых nнатуральные числа (для последовательности конечной длины n ).

Например, (M, A, R, Y) - это последовательность букв, в которой буква «M» первая, а буква «Y» - последняя. Эта последовательность отличается от (A, R, M, Y). Кроме того, последовательность (1, 1, 2, 3, 5, 8), которая содержит число 1 в двух разных позициях, является допустимой последовательностью. Последовательности могут быть конечными , как в этих примерах, или бесконечными , например, последовательность всех четных положительных целых чисел (2, 4, 6, ...).

Положение элемента в последовательности - это его ранг или индекс ; это натуральное число, для которого элемент является изображением. Первый элемент имеет индекс 0 или 1, в зависимости от контекста или конкретного соглашения. В математическом анализе последовательность часто обозначается буквами в форме , и , где нижний индекс n относится к n- му элементу последовательности; [1] например, n- й элемент последовательности Фибоначчи обычно обозначается как .

В вычислениях и информатике конечные последовательности иногда называют строками , словами или списками , причем разные имена обычно соответствуют различным способам их представления в памяти компьютера ; бесконечные последовательности называются потоками . Пустая последовательность () включена в большинство понятий последовательности, но может быть исключена в зависимости от контекста.

Бесконечная последовательность действительных чисел (синего цвета). Эта последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей, ни сходящейся, ни коши . Однако он ограничен.

Примеры и обозначения [ править ]

Последовательность можно рассматривать как список элементов в определенном порядке. [2] [3] Последовательности полезны в ряде математических дисциплин для изучения функций , пространств и других математических структур, использующих свойства сходимости последовательностей. В частности, последовательности являются основой рядов , которые важны для дифференциальных уравнений и анализа . Последовательности также представляют интерес сами по себе, и их можно изучать как шаблоны или головоломки, например, при изучении простых чисел .

Существует несколько способов обозначения последовательности, некоторые из которых более полезны для определенных типов последовательностей. Один из способов указать последовательность - перечислить все ее элементы. Например, первые четыре нечетных числа образуют последовательность (1, 3, 5, 7). Это обозначение используется и для бесконечных последовательностей. Например, бесконечная последовательность положительных нечетных целых чисел записывается как (1, 3, 5, 7, ...). Поскольку запись последовательностей многоточием приводит к неоднозначности, перечисление наиболее полезно для обычных бесконечных последовательностей, которые можно легко распознать по их первым нескольким элементам. Другие способы обозначения последовательности обсуждаются после примеров.

Примеры [ править ]

Плиточные с квадратами, стороны которых последовательные числа Фибоначчи в длину.

В простых числах являются натуральными числами , большими , чем 1, у которых нет делителей кроме 1 и себя. Если взять их в их естественном порядке, получится последовательность (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...). Простые числа широко используются в математике , особенно в теории чисел, где существует множество связанных с ними результатов.

Эти числа Фибоначчи содержат целую последовательность, элементы которого представляют собой сумму двух предыдущих элементов. Первые два элемента - это либо 0 и 1, либо 1 и 1, так что последовательность будет (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...). [2]

Другие примеры последовательностей включают последовательности, состоящие из рациональных чисел , действительных чисел и комплексных чисел . Последовательность (.9, .99, .999, .9999, ...), например, приближается к числу 1. Фактически, каждое действительное число может быть записано как предел последовательности рациональных чисел (например, через его десятичное разложение ). Другой пример: π - это предел возрастающей последовательности (3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...). Связанная последовательность - это последовательность десятичных цифр числа π , то есть (3, 1, 4, 1, 5, 9, ...). В отличие от предыдущей последовательности, эта последовательность не имеет никакого рисунка, который можно было бы легко различить при осмотре.

Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей содержит большой список примеров целочисленных последовательностей. [4]

Индексирование [ править ]

Другие обозначения могут быть полезны для последовательностей, шаблон которых нелегко угадать, или для последовательностей, которые не имеют шаблона, такого как цифры π . Одно из таких обозначений состоит в том, чтобы записать общую формулу для вычисления n- го члена как функции от n , заключить его в круглые скобки и включить индекс, указывающий набор значений, которые может принимать n . Например, в этих обозначениях последовательность четных чисел может быть записана как . Последовательность квадратов можно записать как . Переменная n называется индексом , а набор значений, которые она может принимать, называется набором индексов .

Часто бывает полезно комбинировать эту нотацию с техникой обработки элементов последовательности как отдельных переменных. Это дает такие выражения, как , которые обозначают последовательность, n- й элемент которой задается переменной . Например:

Можно рассматривать несколько последовательностей одновременно, используя разные переменные; например, может быть другая последовательность, чем . Можно даже рассмотреть последовательность последовательностей: обозначает последовательность, m- й член которой является последовательностью .

Альтернативой записи домена последовательности в нижнем индексе является указание диапазона значений, которые может принимать индекс, путем перечисления его самого высокого и самого низкого допустимых значений. Например, обозначение обозначает десятичленную последовательность квадратов . Пределы и разрешены, но они не представляют допустимые значения для индекса, а только верхнюю или нижнюю границу таких значений соответственно. Например, последовательность такая же, как и последовательность , и не содержит дополнительного члена «на бесконечности». Последовательность - это бибесконечная последовательность , которую также можно записать как .

В случаях, когда понятен набор индексных номеров, нижние и верхние индексы часто опускаются. То есть просто пишут для произвольной последовательности. Часто считается , что индекс k проходит от 1 до ∞. Однако последовательности часто индексируются, начиная с нуля, как в

В некоторых случаях элементы последовательности естественным образом связаны с последовательностью целых чисел, образец которой можно легко вывести. В этих случаях индексный набор может подразумеваться перечислением нескольких первых абстрактных элементов. Например, последовательность квадратов нечетных чисел может быть обозначена любым из следующих способов.

Более того, нижние и верхние индексы можно было бы опустить в третьей, четвертой и пятой нотациях, если бы набор индексации понимался как натуральные числа . Во втором и третьем маркерах есть четко определенная последовательность , но она не совпадает с последовательностью, обозначенной выражением.

Определение последовательности рекурсией [ править ]

Последовательности, элементы которых напрямую связаны с предыдущими элементами, часто определяются с помощью рекурсии . Это контрастирует с определением последовательностей элементов как функций их позиций.

Чтобы определить последовательность с помощью рекурсии, необходимо правило, называемое отношением рекурсии, для построения каждого элемента в терминах предшествующих. Кроме того, должно быть предусмотрено достаточно начальных элементов, чтобы все последующие элементы последовательности могли быть вычислены путем последовательного применения рекуррентного отношения.

Последовательность Фибоначчи - простой классический пример, определяемый рекуррентным соотношением

с начальными условиями и . Отсюда простое вычисление показывает, что первые десять членов этой последовательности равны 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 и 34.

Сложный пример последовательности , определенной с помощью рекуррентного соотношения является последовательностью Recamán в , [5] определяется рекуррентным соотношением

с начальным сроком

Линейные рекуррентный с постоянными коэффициентами является рекуррентным соотношением вида

где - константы . Существует общий метод выражения общего члена такой последовательности как функции от n ; см. Линейное повторение . В случае последовательности Фибоначчи один имеет, и результирующая функция n задается формулой Бине .

Голономная последовательность представляет собой последовательность определяется рекуррентным соотношением вида

где являются полиномами в п . Для большинства голономных последовательностей нет явной формулы для явного выражения как функции от n . Тем не менее голономные последовательности играют важную роль в различных областях математики. Например, многие специальные функции имеют ряд Тейлора , последовательность коэффициентов которого голономна. Использование рекуррентного отношения позволяет быстро вычислять значения таких специальных функций.

Не все последовательности можно задать рекуррентным соотношением. Примером может служить последовательность простых чисел в их естественном порядке (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...).

Формальное определение и основные свойства [ править ]

В математике существует множество различных понятий последовательностей, некоторые из которых ( например , точная последовательность ) не охватываются определениями и обозначениями, введенными ниже.

Определение [ править ]

В этой статье последовательность формально определяется как функция , чей домен является интервал из целых чисел . Это определение охватывает несколько различных вариантов использования слова «последовательность», включая односторонние бесконечные последовательности, бибесконечные последовательности и конечные последовательности (определения этих видов последовательностей см. Ниже). Однако многие авторы используют более узкое определение, требуя, чтобы домен последовательности был набором натуральных чисел.. Недостатком этого более узкого определения является то, что оно исключает конечные последовательности и бибесконечные последовательности, которые в стандартной математической практике обычно называют последовательностями. Другой недостаток состоит в том, что при удалении первых членов последовательности необходимо переиндексировать остальные термины для соответствия этому определению. В некоторых контекстах, чтобы сократить изложение, кодобласть последовательности фиксируется контекстом, например, требуя, чтобы это было множество R действительных чисел, [6] множество C комплексных чисел [7] или топологическое пространство . [8]

Хотя последовательности представляют собой тип функции, они, как правило , отличаются от notationally функций в том , что вход записываются в качестве индекса , а не в скобках, то есть п , а не ( п ) . Существуют также терминологические различия: значение последовательности на самом нижнем входе (часто 1) называется «первым элементом» последовательности, значение на втором самом маленьком входе (часто 2) называется «вторым элементом», и т. д. Кроме того, в то время как функция, выделенная из ее ввода, обычно обозначается одной буквой, например f , последовательность, абстрагированная от ее ввода, обычно записывается с использованием таких обозначений, как , или просто здесь A это домен или набор индексов последовательности.

Последовательности и их пределы (см. Ниже) - важные понятия для изучения топологических пространств. Важным обобщением последовательностей является концепция сетей . Сетка является функцией от (возможно , несчетное ) направленного множества в топологическом пространстве. Условные обозначения для последовательностей обычно применимы и к сетям.

Конечное и бесконечное [ править ]

Длина последовательности определяется как число слагаемых в последовательности.

Последовательность конечной длины n также называется n -набором . Конечные последовательности включают пустую последовательность  (), не имеющую элементов.

Обычно термин бесконечная последовательность относится к последовательности, которая бесконечна в одном направлении и конечна в другом - последовательность имеет первый элемент, но не конечный элемент. Такая последовательность называется однократно бесконечной последовательностью или односторонней бесконечной последовательностью, когда необходимо разрешение неоднозначности. Напротив, последовательность, которая бесконечна в обоих направлениях, т. Е. Не имеет ни первого, ни последнего элемента, называется би-бесконечной последовательностью , двусторонней бесконечной последовательностью или дважды бесконечной последовательностью . Функция из множества Z из всех целых чиселв набор, такой как, например, последовательность всех четных целых чисел (..., −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, ...), является би-бесконечной. Эта последовательность может быть обозначена .

Увеличение и уменьшение [ править ]

Последовательность называется монотонно возрастающей, если каждый член больше или равен предыдущему. Например, последовательность монотонно возрастает , если и только если п + 1 п для всех пN . Если каждый последующий член строго больше, чем (>) предыдущий, то последовательность называется строго монотонно возрастающей . Последовательность монотонно убывает , если каждый последующий член меньше или равен предыдущему, и строго монотонно убывает , если каждый из них строго меньше предыдущего. Если последовательность увеличивается или уменьшается, она называется монотонная последовательность. Это частный случай более общего понятия монотонной функции .

Термины неубывание и невозрастание часто используются вместо увеличения и уменьшения , чтобы избежать любой возможной путаницы со строгим увеличением и строго уменьшением соответственно.

Ограниченный [ править ]

Если последовательность действительных чисел ( a n ) такова, что все члены меньше некоторого действительного числа M , то последовательность называется ограниченной сверху . Другими словами, это означает , что существует М такое , что для всех п , пМ . Любое такое M называется верхней границей . Аналогичным образом, если по каким - либо реальным м , нм для все п больше некоторого N , то эта последовательность ограничены снизу и любого такого мназывается нижней границей . Если последовательность одновременно ограничена сверху и ограничена снизу, то последовательность называется ограниченной .

Подпоследовательности [ править ]

Подпоследовательности из данной последовательности представляет собой последовательность формируется из заданной последовательности путем удаления некоторых из элементов , не нарушая относительные положения остальных элементов. Например, последовательность положительных целых чисел (2, 4, 6, ...) является подпоследовательностью положительных целых чисел (1, 2, 3, ...). Положение некоторых элементов меняется при удалении других элементов. Однако взаимное расположение сохраняется.

Формально подпоследовательность последовательности - это любая последовательность вида , где - строго возрастающая последовательность натуральных чисел.

Другие типы последовательностей [ править ]

Некоторые другие типы последовательностей, которые легко определить, включают:

  • Целое последовательность представляет собой последовательность, члены которого являются целыми числами.
  • Полином последовательность представляет собой последовательность, члены которого являются многочленами.
  • Положительное целое число последовательности иногда называют мультипликативной , если нм = п а м для всех пар п , т , такие , что п и т являются взаимно простыми . [9] В других случаях, последовательности часто называют мультипликативной , если п = па 1 для всех п . Более того, мультипликативная последовательность Фибоначчи [10] удовлетворяет рекурсивному соотношению a n = a n −1 и n −2 .
  • Двоичная последовательность представляет собой последовательность , чьи термины имеют одно из двух дискретных значений, например , основание 2 значения (0,1,1,0, ...), серия бросков монеты (главы / Хвосты) Н, Т, Н, Н , T, ..., ответы на набор вопросов True или False (T, F, T, T, ...) и т. Д.

Пределы и конвергенция [ править ]

График сходящейся последовательности ( a n ) показан синим цветом. Из графика видно, что последовательность сходится к пределу нуля с увеличением n .

Важное свойство последовательности - сходимость . Если последовательность сходится, она сходится к определенному значению, известному как предел . Если последовательность сходится к некоторому пределу, то она сходится . Последовательность, которая не сходится, расходится .

Неформально последовательность имеет предел, если элементы последовательности становятся все ближе и ближе к некоторому значению (так называемому пределу последовательности), и они становятся и остаются произвольно близкими к , что означает, что при действительном числе больше нуля все, кроме конечное число элементов последовательности имеют расстояние от менее чем .

Например, последовательность, показанная справа, сходится к значению 0. С другой стороны, последовательности (которая начинается с цифр 1, 8, 27,…) и (которая начинается с −1, 1, −1, 1,…) являются оба расходятся.

Если последовательность сходится, то значение, к которому она сходится, уникально. Это значение называется пределом последовательности. Предел сходящейся последовательности обычно обозначается . Если - расходящаяся последовательность, то выражение не имеет смысла.

Формальное определение конвергенции [ править ]

Последовательность действительных чисел сходится к действительному числу, если для всех существует такое натуральное число , что для всех мы имеем [6]

Если последовательность комплексных чисел , а не последовательность действительных чисел, последняя формулу по- прежнему можно использовать для определения сходимости, при условии , что обозначает комплексный модуль, то есть . Если это последовательность точек в метрическом пространстве , то формула может использоваться для определения сходимости, если выражение заменено выражением , которое обозначает расстояние между и .

Приложения и важные результаты [ править ]

Если и - сходящиеся последовательности, то существуют следующие ограничения, которые можно вычислить следующим образом: [6] [11]

  • для всех действительных чисел
  • , при условии, что
  • для всех и

Более того:

  • Если для всех больше некоторых , то . [а]
  • ( Теорема сжатия )
    Если последовательность такая, что для всех и , то сходится, и .
  • Если последовательность ограничена и монотонна, то она сходится.
  • Последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходятся все ее подпоследовательности.

Последовательности Коши [ править ]

График последовательности Коши ( X n ), показанный синим цветом, как X n по сравнению с n . На графике последовательность, похоже, сходится к пределу, поскольку расстояние между последовательными членами в последовательности становится меньше с увеличением n . В действительных числах каждая последовательность Коши сходится к некоторому пределу.

Последовательность Коши - это последовательность, члены которой становятся сколь угодно близкими, когда n становится очень большим. Понятие последовательности Коши важно при изучении последовательностей в метрических пространствах и, в частности, в реальном анализе . Одним из особенно важных результатов реального анализа является характеризация Коши сходимости последовательностей :

Последовательность действительных чисел сходится (в действительных числах) тогда и только тогда, когда она является Коши.

Напротив, есть последовательности Коши рациональных чисел , которые не сходятся в рациональных числах , например, последовательность, определенная как x 1 = 1 и x n +1 =х п +2/х п/2является Коши, но не имеет рационального предела, ср. здесь . В более общем смысле, любая последовательность рациональных чисел, которая сходится к иррациональному числу, является Коши, но не сходящейся, когда интерпретируется как последовательность в наборе рациональных чисел.

Метрические пространства, удовлетворяющие описанию Коши сходимости последовательностей, называются полными метрическими пространствами и особенно удобны для анализа.

Бесконечные ограничения [ править ]

В исчислении принято определять обозначения для последовательностей, которые не сходятся в рассмотренном выше смысле, но вместо этого становятся и остаются произвольно большими или становятся и остаются произвольно отрицательными. Если становится сколь угодно большим как , пишем

В этом случае мы говорим, что последовательность расходится или сходится к бесконечности . Примером такой последовательности является п = п .

Если становится произвольно отрицательным (т. Е. Отрицательным и большим по величине) как , мы пишем

и говорят, что последовательность расходится или сходится к отрицательной бесконечности .

Серия [ править ]

Серии есть, говоря неформально, сумму членов последовательности. То есть это выражение вида или , где - последовательность действительных или комплексных чисел. В частичных суммах из серии являются выражением , возникающим в результате замены символа бесконечности с конечным числом, то есть N - й частичной суммы ряда есть число

Сами частичные суммы образуют последовательность , которую называют последовательностью частичных сумм ряда . Если последовательность частичных сумм сходятся, то мы говорим , что ряд является сходящимся , а предел называется значением ряда. Эти же обозначения используются для обозначения ряда и его значения, т.е. мы пишем .

Использование в других областях математики [ править ]

Топология [ править ]

Последовательности играют важную роль в топологии, особенно при изучении метрических пространств . Например:

  • Метрическое пространство является компактным , когда именно он последовательно компактен .
  • Функция из метрического пространства в другое метрическое пространство является непрерывной именно тогда, когда она переводит сходящиеся последовательности в сходящиеся последовательности.
  • Метрическое пространство является связным пространством тогда и только тогда, когда всякий раз, когда пространство делится на два набора, один из двух наборов содержит последовательность, сходящуюся к точке в другом наборе.
  • Топологическое пространство является разъемным именно тогда , когда существует плотная последовательность точек.

Последовательности могут быть обобщены на сети или фильтры . Эти обобщения позволяют распространить некоторые из приведенных выше теорем на пространства без метрики.

Топология продукта [ править ]

Топологическое произведение последовательности топологических пространств является декартовым произведением этих пространств, оснащен естественной топологией , называемой топологией произведения .

Более формально, учитывая последовательность пространств , пространство продукта

определяется как множество всех последовательностей таким образом, что для каждого I , является элементом . В канонических проекциях являются отображает р я  : ХХ я определяется уравнением . Тогда топология произведения на X определяется как на грубую топологию (т.е. топология с наименьшим количеством открытых множеств) , для которого все проекции р я являются непрерывными . Топологию произведения иногда называют топологией Тихонова .

Анализ [ править ]

В анализе , говоря о последовательностях, обычно будут рассматривать последовательности вида

то есть бесконечные последовательности элементов, индексированных натуральными числами .

Может быть удобно, чтобы последовательность начиналась с индекса, отличного от 1 или 0. Например, последовательность, определенная как x n = 1 / log ( n ), будет определена только для n ≥ 2. Когда речь идет о таких бесконечных последовательностях, обычно бывает достаточно (и не изменится для большинства соображений) предположить , что члены последовательности определяются по крайней мере , для всех индексов достаточно большой , то есть больше , чем какой - то заданной N .

Самый элементарный тип последовательностей - числовые, то есть последовательности действительных или комплексных чисел. Этот тип можно обобщить на последовательности элементов некоторого векторного пространства . При анализе рассматриваемые векторные пространства часто являются функциональными пространствами . В более общем плане можно изучать последовательности с элементами в некотором топологическом пространстве .

Пробелы последовательности [ править ]

Пространство последовательностей является векторным пространством , элементами которого являются бесконечные последовательности действительных или комплексных чисел. Эквивалентно, это функциональное пространство , элементами которого являются функции от натуральных чисел до поля K , где K - это либо поле действительных чисел, либо поле комплексных чисел. Множество всех таких функций естественным образом отождествляется с множеством всевозможных бесконечных последовательностей с элементами из K и может быть превращено в векторное пространство с помощью операций поточечного сложенияфункций и поточечного скалярного умножения. Все пространства последовательностей являются линейными подпространствами этого пространства. Пространства последовательностей обычно снабжены нормой или, по крайней мере, структурой топологического векторного пространства .

Наиболее важные последовательности пространств в анализе являются л р пространством, состоящим из р -Power суммируемых последовательностей, с р -нормом. Это частные случаи L p пространств для считающей меры на множестве натуральных чисел. Другие важные классы последовательностей, такие как сходящиеся последовательности или нулевые последовательности, образуют пространства последовательностей, соответственно обозначаемые c и c 0 , с нормой sup. Любая последовательность пространство также может быть оснащено топологией из поточечной сходимости , при котором она становится особым видом пространства Фрешаназывается FK-пространством .

Линейная алгебра [ править ]

Последовательности над полем также можно рассматривать как векторы в векторном пространстве . В частности, набор F- значных последовательностей (где F - поле) является функциональным пространством (фактически, пространством произведения ) F- значных функций над множеством натуральных чисел.

Абстрактная алгебра [ править ]

Абстрактная алгебра использует несколько типов последовательностей, включая последовательности математических объектов, таких как группы или кольца.

Бесплатный моноид [ править ]

Если представляет собой набор, то свободный моноид над А (обозначается * , называемые также клиниевская звездой из A ) представляет собой моноид , содержащий все конечные последовательности (или строку) из нуля или более элементов А , с бинарной операцией конкатенации. Свободная полугруппа + является подполугруппой А * , содержащей все элементы , кроме пустой последовательности.

Точные последовательности [ править ]

В контексте теории групп последовательность

из групп и групп гомоморфизмов называются точным , если изображение (или диапазон ) каждый гомоморфизм равно ядром из следующих:

Последовательность групп и гомоморфизмов может быть конечной или бесконечной.

Аналогичное определение может быть сделано для некоторых других алгебраических структур . Например, можно иметь точную последовательность векторных пространств и линейных отображений или модулей и гомоморфизмов модулей .

Спектральные последовательности [ править ]

В гомологической алгебре и алгебраической топологии , А спектральная последовательность является средством вычисления групп гомологии, принимая последовательные приближения. Спектральные последовательности являются обобщением точных последовательностей , и с момента их введения Жаном Лере  ( 1946 ) они стали важным инструментом исследования, особенно в теории гомотопий .

Теория множеств [ править ]

Последовательность с порядковым индексом - это обобщение последовательности. Если α является предельным порядковым и Х представляет собой набор, α-индексированной последовательность элементов X является функцией от а до Х . В этой терминологии ω-индексированная последовательность - это обычная последовательность.

Вычисления [ править ]

В информатике конечные последовательности называются списками . Потенциально бесконечные последовательности называются потоками . Конечные последовательности символов или цифр называются строками .

Потоки [ править ]

Бесконечные последовательности цифр (или символов ), взятые из конечного алфавита, представляют особый интерес в теоретической информатике . Их часто называют просто последовательностями или потоками , в отличие от конечных строк . Бесконечные двоичные последовательности, например, представляют собой бесконечные последовательности битов (символы, взятые из алфавита {0, 1}). Множество C = {0, 1} всех бесконечных двоичных последовательностей иногда называют канторовым пространством .

Бесконечная двоичная последовательность может представлять формальный язык (набор строк) путем установки n-  го бита последовательности в 1 тогда и только тогда, когда n-  я строка (в порядке коротких строк ) находится на языке. Это представление полезно в методе диагонализации для доказательств. [12]

См. Также [ править ]

  • Перечисление
  • Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей
  • Отношение рецидива
  • Пространство последовательности
Операции
  • Продукт Коши
Примеры
  • Дискретный сигнал времени
  • Последовательность Фари
  • Последовательность Фибоначчи
  • Последовательность "посмотри и скажи"
  • Последовательность Туэ – Морса
  • Список целочисленных последовательностей
Типы
  • ± 1-последовательность
  • Арифметическая прогрессия
  • Автоматическая последовательность
  • Последовательность Коши
  • Постоянно-рекурсивная последовательность
  • Геометрическая прогрессия
  • Гармоническая прогрессия
  • Голономная последовательность
  • Обычная последовательность
  • Псевдослучайная двоичная последовательность
  • Случайная последовательность
Связанные понятия
  • Список (вычисление)
  • Сеть (топология) (обобщение последовательностей)
  • Последовательность с порядковым индексом
  • Рекурсия (информатика)
  • Набор (математика)
  • Кортеж

Примечания [ править ]

  1. ^ Обратите внимание, что если неравенства заменены строгими неравенствами, то это неверно: существуют последовательности такие, чтодля всех, но.

Ссылки [ править ]

  1. ^ "Сборник математических символов" . Математическое хранилище . 2020-03-01 . Проверено 17 августа 2020 .
  2. ^ a b «Последовательности» . www.mathsisfun.com . Проверено 17 августа 2020 .
  3. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Последовательность» . mathworld.wolfram.com . Проверено 17 августа 2020 .
  4. ^ Указатель к OEIS , Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей, 2020-12-03
  5. ^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A005132 (последовательность Рекамана)» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Проверено 26 января 2018 .
  6. ^ a b c Гоган, Эдвард (2009). «1.1 Последовательности и сходимость». Введение в анализ . AMS (2009). ISBN 978-0-8218-4787-9.
  7. ^ Эдвард Б. Сафф и Артур Дэвид Снайдер (2003). «Глава 2.1» . Основы комплексного анализа . ISBN 978-01-390-7874-3.
  8. ^ Джеймс Р. Мункрес (2000). «Главы 1 и 2» . Топология . ISBN 978-01-318-1629-9.
  9. ^ Ландо, Сергей К. (2003-10-21). «7.4 Мультипликативные последовательности». Лекции по производящим функциям . AMS. ISBN 978-0-8218-3481-7.
  10. Перейти ↑ Falcon, Sergio (2003). «Мультипликативная последовательность Фибоначчи». Международный журнал математического образования в науке и технологиях . 34 (2): 310–315. DOI : 10.1080 / 0020739031000158362 . S2CID 121280842 . 
  11. ^ Dawikins, Пол. «Серии и последовательности» . Онлайн-математические заметки Павла / Calc II (примечания) . Проверено 18 декабря 2012 года .
  12. ^ Офлазер, Кемаль. «ФОРМАЛЬНЫЕ ЯЗЫКИ, АВТОМАТЫ И ВЫЧИСЛЕНИЯ: РАЗРЕШИМОСТЬ» (PDF) . cmu.edu . Университет Карнеги-Меллона . Проверено 24 апреля 2015 года .

Внешние ссылки [ править ]

  • "Последовательность" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
  • Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей
  • Журнал целочисленных последовательностей (бесплатно)