Набор (математика)

Набор многоугольников в диаграмме Эйлера

В математике , набор представляет собой набор отдельных элементов или членов . ^{[1] [2] [3]} Элементы, составляющие набор, могут быть любыми предметами, людьми, буквами алфавита или математическими объектами , такими как числа, точки в пространстве, линии или другие геометрические фигуры, алгебраические константы. и переменные, или даже другие наборы. ^[4] Два набора равны тогда и только тогда, когда они имеют в точности одинаковые элементы. ^[5] Это известно как аксиома экстенсиональности .

Множества повсеместно встречаются в современной математике. Более специализированный предмет теории множеств является частью основ математики . ^[4]

Происхождение [ править ]

Понятие множества возникло в математике в конце XIX века. ^[6] Немецкое слово Menge , переведенное как «набор» на английском языке, было придумано Бернардом Больцано в его работе «Парадоксы бесконечного» . ^{[7] [8] [9]}

Георг Кантор был одним из основоположников теории множеств. Он дал следующее определение набора в начале своего Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre : ^[10]

Набор - это совокупность определенных, отличных объектов нашего восприятия [Anschauung] или нашей мысли, которые называются элементами набора.

Наивная теория множеств [ править ]

Самым главным основным свойством набора является то, что он может иметь элементы. Еще одно важное свойство наборов состоит в том, что два набора равны (один набор равен другому, поэтому два набора фактически являются одним и тем же) тогда и только тогда, когда каждый элемент каждого набора является элементом другого. Это свойство называется протяженностью множеств . ^[11]

Простая концепция множества оказалась чрезвычайно полезной в математике, но она страдает несогласованностью на самом фундаментальном уровне. Расплывчатое понятие, которое позволяет любому свойству без ограничений определять коллекцию, приводит к нескольким парадоксам , в первую очередь:

• Парадокс Рассела  - он показывает, что «множество всех множеств, которые не содержат самих себя », то есть «множество» { x | x - это множество, а x ∉ x } не существует.
• Парадокс Кантора  - он показывает, что «множество всех множеств» не может существовать.

Наивная теория множеств определяет множество как любой четко определенный набор различных элементов. Проблемы возникают из-за расплывчатого значения четко определенного термина .

Аксиоматическая теория множеств [ править ]

В последующих попытках разрешить эти парадоксы со времен первоначальной формулировки наивной теории множеств свойства множеств определялись аксиомами . Теория аксиоматических множеств рассматривает понятие множества как примитивное понятие . ^[12] Цель аксиом - предоставить базовую структуру, из которой можно вывести истинность или ложность определенных математических предложений (утверждений) о множествах, используя логику первого порядка . Однако, согласно теоремам Гёделя о неполноте , невозможно использовать логику первого порядка, чтобы доказать, что любая такая аксиоматическая теория множеств свободна от парадокса. ^{[ необходима цитата ]}

Как определяются множества и их обозначение [ править ]

Математические тексты обычно используют заглавные буквы ^{[13] [4] [14]} в курсивом , такие как A , B , C для обозначения множеств. ^{[14] [15]}

Набор может быть определен интенсионально , экстенсионально ^[16] или внешне .

Семантическое определение [ править ]

Самый простой интенсиональный метод определения набора - использование правила или семантического описания: ^{[17] [16]}

A - это набор, членами которого являются первые четыре положительных целых числа .

B - набор цветов французского флага .

Обозначение ростера [ править ]

Однако наборы не ограничиваются коллекциями элементов, следующих простым правилам, как, например, наборы в приведенных выше примерах. Нотация ростера (или нотация перечисления ) - это метод определения набора путем перечисления (или перечисления ) членов набора, ^{[18] [19] [20] [21] [22],} заключающий список членов в фигурные скобки :

А = {4, 2, 1, 3}

B = {синий, белый, красный}.

Это пример перечислительного определения .

В отличие от последовательности , кортежа или перестановки набора, порядок, в котором элементы набора перечислены в нотации реестра, не имеет значения, поэтому {6, 11} является тем же набором, что и {11, 6} и {2 , 6, 4}, {4, 2, 6}, {4, 6, 2}, {6, 2, 4} или {6, 4, 2} все представляют один и тот же набор. ^{[23] [15] [24]}

Для наборов с большим количеством элементов, особенно следующих по неявному шаблону, список элементов может быть сокращен с помощью многоточия («...»). ^{[25] [26]} Например, набор из первой тысячи натуральных чисел может быть указан в записи реестра как:

{1, 2, 3, ..., 1000},

где многоточие означает, что список продолжается по установленному шаблону. ^[25]

Бесконечные множества в записи реестра [ править ]

В некоторых наборах есть бесконечный список элементов. Их называют бесконечными множествами . Например, набор целых чисел, включая положительные, отрицательные и нулевые, представляет собой бесконечный набор. В реестровой записи этот набор может быть записан одним многоточием:

{0, 1, -1, 2, -2, 3, -3 ...}

или, альтернативно, используя два:

{...- 2, -1, 0, 1, 2, 3 ...}

Обозначения создателя множеств [ править ]

Нотация строителя множеств - еще один интенсиональный метод описания множества, который часто встречается в математических текстах. ^[16] Набор определяется как выбор из большего набора, определяемый условием, включающим элементы. ^{[27] [28]} Например, множество F можно определить следующим образом:

F ${\displaystyle =\{n\mid n{\text{ is an integer, and }}0\leq n\leq 19\}.}$

или же:

F ${\displaystyle =\{n:n{\text{ is an integer, and }}0\leq n\leq 19\}.}$

В этом обозначении вертикальная черта («|») означает «такой, что», и описание можно интерпретировать как « F - это набор всех чисел n , таких, что n является целым числом в диапазоне от 0 до 19 включительно» . Некоторые авторы используют двоеточие (":") вместо вертикальной черты. ^[29]

Членство [ править ]

Если B является набором, а x является элементом B , это записывается сокращенно как x ∈ B , что также может читаться как «x принадлежит B» или «x находится в B» . ^[11] Выражение «y не является элементом B» записывается как y ∉ B , что также может читаться как «y не входит в B» . ^{[30] [14] [31]}

Например, относительно наборов A = {1, 2, 3, 4}, B = {синий, белый, красный} и F = { n | n - целое число и 0 ≤ n ≤ 19},

4 ∈ A и 12 ∈ F ; и

20 ∉ F и зеленый ∉ B .

Пустой набор [ править ]

Пустое множество или пустое множество , множество каких - либо элементов, обозначенное {} или ∅, является уникальным. ^{[32] [14] [33]} Также используются другие обозначения (см. Пустой набор ). ^[14]

Наборы синглтонов [ править ]

Набор ровно с одним элементом, x , является единичным набором или одиночным элементом , { x }. ^[5]

Набор { x } семантически отличается от элемента x . (Халмос ^[34] проводит аналогию, что коробка со шляпой не то же самое, что и шляпа.)

Подмножества [ править ]

Если каждый элемент множества А также находится в B , то описан как являющийся подмножеством B , или содержится в B , написанный ⊆ B . ^[35] B ⊇ A означает, что B содержит A , B включает A или B является надмножеством A ; В ⊇ эквивалентно ⊆ B . ^{[36] [14]} отношения между множествами , установленных ⊆ называется включение или сдерживания . Два множества равны , если они содержат друг друга: ⊆ B и B ⊆ эквивалентно A = B . ^[27]

Если является подмножеством B , но не равно B , то называется собственное подмножество из B . Это можно записать A ⊊ B . Аналогично, Б ⊋ означает Б является собственным подмножеством множества А , т.е. Б содержит A , а не равна A .

Третья пара операторов ⊂ и ⊃ используется разными авторами по-разному: некоторые авторы используют A ⊂ B и B ⊃ A, чтобы обозначить A - любое подмножество B (и не обязательно собственное подмножество), ^{[37] [30], в} то время как другие резерв ⊂ B и B ⊃ для случаев , когда является собственным подмножеством B . ^[35]

Примеры:

• Набор всех людей - это правильное подмножество всех млекопитающих.
• {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}.
• {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}.

Пустой набор является подмножеством каждого набора, ^[32] и каждый набор является подмножеством самого себя: ^[37]

• ∅ ⊆ .
• ⊆ .

Диаграммы Эйлера и Венна [ править ]

Эйлер Диаграмма представляет собой графическое изображение из набора в качестве замкнутого контура, охватывающего его элементы, или отношения между различными наборами, как замкнутые петлями. Если два набора не имеют общих элементов, петли не перекрываются.

Это отличается от диаграммы Венна , которая показывает все возможные отношения между двумя или более наборами, причем каждый цикл перекрывает другие.

Специальные наборы чисел в математике [ править ]

Существуют такие математически важные наборы, на которые математики обращаются так часто, что они приобрели специальные названия и условные обозначения для их идентификации.

Многие из этих важных наборов представлены в математических текстах жирным шрифтом (например, Z ) или жирным шрифтом на доске (например ). ^[38] К ним относятся: ^[14]${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• N или, обозначая множество всех натуральных чисел : N = {0, 1, 2, 3, ...} (некоторые авторы исключают 0 ) ^[38]${\displaystyle \mathbb {N} }$
• Z или, обозначая набор всех целых чисел (положительных, отрицательных или нулевых): Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} ^[38]${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Q или, обозначая множество всех рациональных чисел (то есть множество всех собственных и несобственных дробей ): Q = { a / b | a , b ∈ Z , b ≠ 0} , например, 1/4 ∈ Q и 11/6 ∈ Q , и поскольку каждое целое число n может быть выражено как дробь n / 1 , все целые числа являются членами этого множества () ^[38]${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbf {Z} \subsetneq \mathbf {Q} }$
• R или, обозначая множество всех действительных чисел , включая все рациональные числа, вместе со всеми иррациональными числами (то есть алгебраические числа, которые нельзя переписать в виде дробей, таких как √ 2 , а также трансцендентных чисел, таких как π , e ) ^{[ 38]}${\displaystyle \mathbb {R} }$
• C или, обозначая множество всех комплексных чисел : C = { a + bi | a , b ∈ R } , например, 1 + 2 i ∈ C ^[38]${\displaystyle \mathbb {C} }$

Каждый из приведенных выше наборов чисел имеет бесконечное количество элементов, и каждый может рассматриваться как надлежащее подмножество наборов, перечисленных ниже.

Наборы положительных или отрицательных чисел иногда обозначаются надстрочными знаками плюс и минус соответственно. Например, представляет собой набор положительных рациональных чисел.${\displaystyle \mathbb {Q} ^{+}}$

Сопоставления и индивидуальная переписка [ править ]

В математике, отображение или функции из множества A к множеству B есть отношение между двумя наборами, которая связывает каждый элемент множества A ровно с одним элементом множества B . Взаимно -однозначное соответствие или биекция - это отображение, в котором каждый элемент множества A сопряжен ровно с одним элементом множества B , а каждый элемент множества B спарен ровно с одним элементом множества A , так что не существует непарных элементы.

Мощность [ править ]

Мощность множества S , обозначенная | S |, является число членов S . ^[39] Например, если B = {синий, белый, красный}, то | B | = 3 . Повторяющиеся члены в записи реестра не учитываются, ^{[40] [41]} поэтому | {синий, белый, красный, синий, белый} | = 3 тоже.

Более формально, два набора имеют одинаковую мощность, если между ними существует взаимно однозначное соответствие.

Мощность пустого множества равна нулю. ^[42]

Бесконечные множества и бесконечная мощность [ править ]

Список элементов некоторых наборов бесконечен или бесконечен . Например, множество натуральных чисел бесконечно. ^[27] Фактически, все специальные наборы чисел, упомянутые в разделе выше, бесконечны. Бесконечные множества имеют бесконечную мощность .

Некоторые бесконечные мощности больше других. Множества той же мощности, что и ℕ, называются счетными множествами . Пожалуй, одним из наиболее значительных результатов теории множеств является то, что множество действительных чисел имеет большую мощность, чем множество натуральных чисел. ^[43] Наборы, мощность которых превышает набор натуральных чисел, называются несчетными наборами .

Однако можно показать, что мощность прямой линии (т. Е. Количество точек на прямой) такая же, как мощность любого сегмента этой прямой, всей плоскости и даже любого конечномерного евклидова пространство . ^[44]

Гипотеза континуума [ править ]

Гипотеза континуума Георга Кантора в 1878 году утверждала, что не существует множеств с мощностью между счетным множеством и мощностью прямой. ^[45] В 1963 году Пол Коэн доказал, что гипотеза континуума не зависит от теории множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора (ZFC, наиболее широко изучаемая версия аксиоматической теории множеств). ^[46]

Наборы мощности [ править ]

Набор мощности множества S есть множество всех подмножеств S . ^[27] пустое множество , а S сам по себе являются элементами множества мощности S , потому что они оба являются подмножествами S . Например, набор степеней для {1, 2, 3} равен {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1 , 2, 3}}. Набор мощности множества S обычно записывается в виде P ( S ) или 2 ^P . ^{[27] [47] [14] [15]}

Набор мощности конечного набора из n элементов состоит из 2 ⁿ элементов. ^[48] Например, набор {1, 2, 3} содержит три элемента, а показанный выше набор мощности содержит 2 ³ = 8 элементов.

Набор мощности бесконечного (либо счетного, либо несчетного ) множества всегда неисчислим. Более того, набор мощности набора всегда строго «больше», чем исходный набор, в том смысле, что нет способа спарить каждый элемент S ровно с одним элементом P ( S ). (Никогда не бывает на карте или сюръекции из S на P ( S ).) ^[49]

Разделы [ править ]

Разбиение множества S представляет собой набор непустых подмножеств S , такие , что каждый элемент х в S является точно одной из этих подмножеств. То есть, подмножества попарно не пересекаются (то есть любые два набора раздела не содержат ни одного общего элемента), а также объединение всех подмножеств разбиения S . ^{[50] [51]}

Основные операции [ править ]

Есть несколько основных операций для построения новых множеств из заданных множеств.

Союзы [ править ]

Два набора можно «сложить» вместе. Объединение из A и B , обозначим через A  ∪  B , ^[14] является множеством всех вещей , которые являются членами либо A или B .

Примеры:

• {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
• {1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
• {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}

Некоторые основные свойства союзов:

• ∪ B = B ∪ .
• ∪ ( B ∪ C ) = ( ∪ B ) ∪ C .
• A ⊆ ( A ∪ B ).
• ∪ = A .
• ∪ ∅ = .
• ⊆ B тогда и только тогда , когда A ∪ B = B .

Перекрестки [ править ]

Новый набор также можно построить, определив, какие элементы у двух наборов «общие». Пересечение из A и B , обозначается A ∩ B , ^[14] является множеством всех вещей , которые являются членами как A и B . Если A ∩ B = ∅, то A и B называются не пересекающимися .

Примеры:

• {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
• {1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
• {1, 2} ∩ {3, 4} = ∅.

Некоторые основные свойства перекрестков:

• ∩ B = B ∩ .
• ∩ ( B ∩ C ) = ( ∩ B ) ∩ C .
• ∩ B ⊆ .
• ∩ = A .
• A ∩ ∅ = ∅.
• ⊆ B тогда и только тогда , когда A ∩ B = A .

Дополнения [ править ]

Два набора также можно «вычесть». Относительное дополнение из B в A (также называемый теоретико-множественная разность из A и B ), обозначим через A \ B (или A - B ), ^[14] представляет собой множество всех элементов , которые являются членами A, но не члены B . Допустимо «вычитать» элементы набора, которых нет в наборе, например, удаление зеленого элемента из набора {1, 2, 3}; это не повлияет на элементы в наборе.

В определенных условиях, все наборы Обсуждаемые считаются подмножества данного универсального множества U . В таких случаях U \ A называется абсолютным дополнением или просто дополнением к A и обозначается A 'или A ^c . ^[14]

• A ′ = U \ A

Примеры:

• {1, 2} \ {1, 2} = ∅.
• {1, 2, 3, 4} \ {1, 3} = {2, 4}.
• Если U есть множество целых чисел, Е есть множество четных чисел, и О представляет собой множество нечетных чисел, то U \ Е = Е '= О .

Некоторые основные свойства дополнений включают следующее:

• \ B ≠ B \ для A ≠ B .
• ∪ '= U .
• A ∩ A ′ = ∅.
• ( ')' = .
• ∅ \ A = ∅.
• \ ∅ = .
• А \ А = ∅.
• А \ U = ∅.
• A \ A ′ = A и A ′ \ A = A ′.
• U '= ∅ и ∅ = U .
• A \ B = A ∩ B ′ .
• если A ⊆ B, то A \ B = ∅.

Расширением дополнения является симметричная разность , определенная для множеств A , B как

${\displaystyle A\,\Delta \,B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A).}$

Например, симметричная разность {7, 8, 9, 10} и {9, 10, 11, 12} - это набор {7, 8, 11, 12}. Множество степеней любого набора становится булевым кольцом с симметричной разницей в виде сложения кольца (с пустым набором в качестве нейтрального элемента) и пересечения как умножения кольца.

Декартово произведение [ править ]

Новый набор может быть построен путем связывания каждого элемента одного набора с каждым элементом другого набора. Декартово произведение двух множеств A и B , обозначим через A × B, ^[14] представляет собой множество всех упорядоченных пар ( , б ) такие , что является членом A и B является членом B .

Примеры:

• {1, 2} × {красный, белый, зеленый} = {(1, красный), (1, белый), (1, зеленый), (2, красный), (2, белый), (2, зеленый) }.
• {1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
• {a, b, c} × {d, e, f} = {(a, d), (a, e), (a, f), (b, d), (b, e), (b, f), (c, d), (c, e), (c, f)}.

Некоторые основные свойства декартовых произведений:

• A × ∅ = ∅.
• A × ( B ∪ C ) = ( A × B ) ∪ ( A × C ).
• ( A ∪ B ) × C = ( A × C ) ∪ ( B × C ).

Пусть A и B - конечные множества; тогда мощность декартова произведения равна произведению мощностей:

• | A × B  | = | B × A  | = | А  | × | B  |,

Приложения [ править ]

Множества повсеместно встречаются в современной математике. Например, структуры в абстрактной алгебре , такие как группы , поля и кольца , являются наборами, замкнутыми при выполнении одной или нескольких операций.

Одно из основных приложений теории наивных множеств - построение отношений . Отношение из области А к области значений B является подмножеством декартова произведения × B . Например, рассматривая множество фигур S = {камень, бумага, ножницы} в одноименной игре , отношение "ударов" от S к S будет набором B = {(ножницы, бумага), (бумага, камень ), (камень, ножницы)}; таким образом, x побеждает y в игре, если пара ( x , y ) является членом B. Другой пример - множество F всех пар ( x , x ² ), где x вещественное число. Это отношение является подмножеством R × R , потому что множество всех квадратов является подмножеством множества всех действительных чисел. Поскольку для каждого x в R одна и только одна пара ( x , ...) находится в F , она называется функцией . В функциональных обозначениях это соотношение можно записать как F ( x ) = x ² .

Принцип включения и исключения [ править ]

Принцип включения-исключения - это метод подсчета, который можно использовать для подсчета количества элементов в объединении двух наборов - если размер каждого набора и размер их пересечения известны. Это можно символически выразить как

${\displaystyle |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.}$

Более общая форма принципа может быть использована для определения мощности любого конечного объединения множеств:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \ldots \cup A_{n}\right|=&\left(\left|A_{1}\right|+\left|A_{2}\right|+\left|A_{3}\right|+\ldots \left|A_{n}\right|\right)\\&{}-\left(\left|A_{1}\cap A_{2}\right|+\left|A_{1}\cap A_{3}\right|+\ldots \left|A_{n-1}\cap A_{n}\right|\right)\\&{}+\ldots \\&{}+\left(-1\right)^{n-1}\left(\left|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \ldots \cap A_{n}\right|\right).\end{aligned}}}$

Законы Де Моргана [ править ]

Огастес Де Морган сформулировал два закона о множествах.

Если A и B - любые два набора, то

• (A ∪ B) ′ = A ′ ∩ B ′

Дополнение к A union B равно дополнению к A, которое пересекается с дополнением к B.

• (A ∩ B) ′ = A ′ ∪ B ′

Дополнение A, пересекающееся с B, равно дополнению A union до дополнения B.

См. Также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Даубен, Джозеф В. (1979). Георг Кантор: его математика и философия бесконечности . Бостон: Издательство Гарвардского университета . ISBN 0-691-02447-2.
• Халмос, Пол Р. (1960). Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: Ван Ностранд. ISBN 0-387-90092-6.
• Столл, Роберт Р. (1979). Теория множеств и логика . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 0-486-63829-4.
• Веллеман, Даниэль (2006). Как это доказать: структурированный подход . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-67599-5.

Внешние ссылки [ править ]

• Кантора "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre" (на немецком языке)