Оптимизация формы является частью теории оптимального управления . Типичная проблема состоит в том, чтобы найти форму, которая является оптимальной в том смысле, что она минимизирует определенный функционал стоимости при удовлетворении заданных ограничений . Во многих случаях решаемый функционал зависит от решения данного уравнения в частных производных, определенного в переменной области.
Оптимизация топологии , кроме того, касается количества связанных компонентов / границ, принадлежащих домену. Такие методы необходимы, поскольку обычно методы оптимизации формы работают в подмножестве допустимых форм, которые имеют фиксированные топологические свойства, такие как фиксированное количество отверстий в них. Затем методы топологической оптимизации могут помочь обойти ограничения чистой оптимизации формы.
Определение
Математически оптимизацию формы можно представить как задачу нахождения ограниченного множества , Сводя к минимуму функционала
- ,
возможно при условии ограничения формы
Обычно нас интересуют наборы которые являются липшицевыми или границами C 1 и состоят из конечного числа компонентов , что является способом сказать, что мы хотели бы найти довольно приятную форму в качестве решения, а не какую-то мешанину грубых кусочков. Иногда с этой целью необходимо наложить дополнительные ограничения, чтобы обеспечить корректную постановку проблемы и уникальность решения.
Оптимизация формы - это задача оптимизации с бесконечным числом измерений . Кроме того, пространство допустимых форм, по которому выполняется оптимизация, не допускает структуры векторного пространства , что затрудняет применение традиционных методов оптимизации.
Примеры
- Среди всех трехмерных фигур данного объема найдите ту, которая имеет минимальную площадь поверхности. Здесь:
- ,
с участием
- Найдите форму крыла самолета, которая минимизирует сопротивление . Здесь ограничениями могла быть сила крыла или размеры крыла.
- Найдите форму различных механических конструкций, которые могут противостоять заданному напряжению , имея при этом минимальную массу / объем.
- Для известного трехмерного объекта с фиксированным источником излучения внутри выведите форму и размер источника на основе измерений, выполненных на части границы объекта. Формулировка этой обратной задачи с использованием аппроксимации методом наименьших квадратов приводит к проблеме оптимизации формы.
Методы
Задачи оптимизации формы обычно решаются численно с использованием итерационных методов . То есть человек начинает с первоначального предположения о форме, а затем постепенно ее развивает, пока она не приобретет оптимальную форму.
Отслеживание формы
Чтобы решить проблему оптимизации формы, нужно найти способ представить форму в памяти компьютера и проследить ее эволюцию. Обычно используется несколько подходов.
Один из подходов - следовать границе формы. Для этого можно сэмплировать границу формы относительно плотным и однородным образом, то есть рассмотреть достаточно точек, чтобы получить достаточно точный контур формы. Затем можно развивать форму, постепенно перемещая граничные точки. Это называется лагранжевым подходом .
Другой подход заключается в рассмотрении функции, определенной в прямоугольной рамке вокруг фигуры, которая положительна внутри фигуры, равна нулю на границе фигуры и отрицательна вне фигуры. Затем можно развить эту функцию вместо самой формы. Можно рассмотреть прямоугольную сетку на коробке и выбрать функцию в точках сетки. По мере развития формы точки сетки не меняются; изменяются только значения функции в точках сетки. Такой подход с использованием фиксированной сетки называется эйлеровым подходом . Идея использования функции для представления формы лежит в основе метода установки уровня .
Третий подход - рассматривать эволюцию формы как проблему потока. То есть можно представить, что форма сделана из пластического материала, постепенно деформирующегося, так что любую точку внутри или на границе формы всегда можно проследить до точки исходной формы взаимно однозначным образом. Математически, если - исходная форма, а форма в момент времени t , рассматриваются диффеоморфизмы
Идея снова в том, что формы - это сложные объекты, с которыми нужно иметь дело напрямую, поэтому манипулируйте ими с помощью функции.
Итерационные методы с использованием градиентов формы
Рассмотрим гладкое поле скоростей и семья трансформаций исходного домена под полем скорости :
- ,
и обозначим
Тогда Gâteaux или производная формы от в по форме является пределом
если этот предел существует. Если к тому же производная линейна по, есть уникальный элемент а также
где называется градиентом формы. Это дает естественное представление о градиентном спуске , когда границаэволюционирует в направлении отрицательного градиента формы, чтобы уменьшить значение функционала стоимости. Аналогичным образом можно определить производные более высокого порядка, что приведет к методам, подобным Ньютону.
Обычно предпочтение отдается градиентному спуску, даже если требуется большое количество итераций, потому что может быть сложно вычислить производную второго порядка (то есть гессиан ) целевого функционала..
Если задача оптимизации формы имеет ограничения, то есть функционал присутствует, нужно найти способы превратить ограниченную задачу в неограниченную. Иногда могут работать идеи, основанные на множителях Лагранжа .
Параметризация геометрии
Оптимизация формы может быть решена с использованием стандартных методов оптимизации, если задана параметризация геометрии. Такая параметризация очень важна в области CAE, где целевые функции обычно представляют собой сложные функции, вычисляемые с использованием численных моделей (CFD, FEA, ...). Удобный подход, подходящий для широкого класса задач, заключается в параметризации модели САПР в сочетании с полной автоматизацией всего процесса, необходимого для оценки функции (построение сетки, решение и обработка результатов). Морфинг сетки - правильный выбор для сложных проблем, который решает типичные проблемы, связанные с повторным построением сетки, такие как разрывы в вычисленных целевых функциях и ограничивающих функциях. [1] В этом случае параметризация определяется после этапа построения сетки, действуя непосредственно на числовую модель, используемую для расчета, которая изменяется с использованием методов обновления сетки. Для морфинга сетки доступно несколько алгоритмов ( деформирующие объемы , псевдотвердые тела , радиальные базисные функции ). Выбор подхода параметризации зависит в основном от размера проблемы: подход САПР предпочтителен для моделей малого и среднего размера, в то время как подход морфинга сетки является лучшим (а иногда и единственно возможным) для больших и очень больших моделей. . Многоцелевая оптимизация Парето (NSGA II) может использоваться как мощный подход для оптимизации формы. В этом отношении подход оптимизации Парето демонстрирует полезные преимущества в методе проектирования, такие как эффект ограничения площади, который другие многоцелевые оптимизации не могут объявить его. Подход с использованием штрафной функции является эффективным методом, который можно использовать на первом этапе оптимизации. В этом методе задача проектирования ограниченной формы адаптируется к задаче без ограничений с использованием ограничений в целевой функции в качестве штрафного коэффициента. Фактор штрафа по времени в большинстве случаев зависит от количества вариаций ограничений, а не от количества ограничений. В настоящей задаче оптимизации применяется методика реального кодирования GA. Поэтому расчеты основаны на реальных значениях переменных. [2]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Wilke, DN; Кок, С .; Groenwold, AA (2010) Применение методов градиентной оптимизации для задач, дискретизированных с использованием непостоянных методов . Структурная и междисциплинарная оптимизация, Vol. 40, 433-451.
- ^ Talebitooti, R .; шоджаифард, MH; Ярмохаммадисатри, Садех (2015). «Оптимизация формы цилиндрического резервуара с использованием b-шлицевых кривых». Компьютер и жидкости . 109 : 100–112. DOI : 10.1016 / j.compfluid.2014.12.004 .
Источники
- Аллер, Г. (2002) Оптимизация формы методом гомогенизации . Прикладные математические науки 146, Springer Verlag. ISBN 0-387-95298-5
- Ашок Д. Белегунду, Тирупати Р. Чандрупатла. (2003) Концепции оптимизации и приложения в Engineering Prentice Hall. ISBN 0-13-031279-7 .
- Bendsøe MP; Зигмунд О. (2003) Оптимизация топологии: теория, методы и приложения . Springer. ISBN 3-540-42992-1 .
- Burger, M .; Ошер, С.Л. (2005) Обзор методов набора уровней для обратных задач и оптимального проектирования . Европейский журнал прикладной математики, том 16, стр. 263–301.
- Delfour, MC; Золесио, Ж.-П. (2001) Формы и геометрия - анализ, дифференциальное исчисление и оптимизация . СИАМ. ISBN 0-89871-489-3 .
- Haslinger, J .; Мякинен Р. (2003) Введение в оптимизацию формы: теория, приближение и вычисления . Общество промышленной и прикладной математики. ISBN 0-89871-536-9 .
- Laporte, E .; Ле Таллек, П. (2003) Численные методы анализа чувствительности и оптимизации формы . Birkhäuser. ISBN 0-8176-4322-2 .
- Mohammadi, B .; Пиронно, О. (2001) Прикладная оптимизация формы для жидкостей . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-850743-7 .
- Саймон Дж. (1980) Дифференцирование по области в краевых задачах . Нумер. Fuct. Анальный. and Optimiz., 2 (7 и 8), 649-687 (1980).
Внешние ссылки
- Optopo Group - Моделирование и библиография группы optopo в Ecole Polytechnique (Франция). Метод гомогенизации и метод установки уровня.