Уравнение синус-Гордона

Уравнение синус-Гордон - это нелинейное гиперболическое уравнение с частными производными в размерности 1 + 1, включающее оператор Даламбера и синус неизвестной функции. Первоначально он был введен Эдмоном Буром  ( 1862 г. ) в ходе изучения поверхностей постоянной отрицательной кривизны как уравнение Гаусса – Кодацци для поверхностей кривизны −1 в 3-мерном пространстве ^[1] и переоткрыт Френкелем и Конторовой ( 1939 г. ). в своем исследовании кристаллических дислокаций, известном как модель Френкеля – Конторовой . ^[2]Это уравнение привлекло большое внимание в 1970-х годах из-за наличия солитонных решений.

Есть две эквивалентные формы уравнения синус-Гордон. В ( реальных ) координатах пространства-времени , обозначенных ( x ,  t ), уравнение гласит: ^[3]

${\ displaystyle \ varphi _ {tt} - \ varphi _ {xx} + \ sin \ varphi = 0,}$

где частные производные обозначены индексами. Переходя к координатам светового конуса ( u ,  v ), родственным асимптотическим координатам, где

${\ displaystyle u = {\ frac {x + t} {2}}, \ quad v = {\ frac {xt} {2}},}$

уравнение принимает вид ^[4]

${\ displaystyle \ varphi _ {uv} = \ sin \ varphi.}$

Это исходная форма уравнения синус-Гордон, как оно рассматривалось в XIX веке при исследовании поверхностей постоянной гауссовой кривизны K  = −1, также называемых псевдосферическими поверхностями . Выберите систему координат для такой поверхности, в которой координатная сетка u  = constant, v  = constant задается асимптотическими линиями, параметризованными по длине дуги. Первая фундаментальная форма поверхности в этих координатах имеет вид специальный

${\ displaystyle ds ^ {2} = du ^ {2} +2 \ cos \ varphi \, du \, dv + dv ^ {2},}$

где ${\ displaystyle \ varphi}$выражает угол между асимптотическими линиями, так и для второго фундаментальной формы , L  =  N  = 0. Тогда уравнение Кодацх-Майнарди выражающее условие совместимости между первой и вторым основными формами приводят к уравнению синуса-Гордон. Изучение этого уравнения и связанных с ним преобразований псевдосферических поверхностей в XIX веке Бьянки и Бэклундом привело к открытию преобразований Беклунда . Другое преобразование псевдосферических поверхностей - это преобразование Ли, введенное Софусом Ли в 1879 году, которое соответствует бустам Лоренца в терминах координат светового конуса, таким образом, уравнение синус-Гордон является лоренц-инвариантным . ^[5]

Название «уравнение синус-Гордон» - это игра слов на известном в физике уравнении Клейна – Гордона : ^[3]

${\ displaystyle \ varphi _ {tt} - \ varphi _ {xx} + \ varphi = 0.}$

Уравнение синус-Гордон - это уравнение Эйлера – Лагранжа поля, плотность лагранжиана которого определяется выражением

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ text {SG}} (\ varphi) = {\ frac {1} {2}} (\ varphi _ {t} ^ {2} - \ varphi _ {x } ^ {2}) - 1+ \ cos \ varphi.}$

Используя разложение косинуса в лагранжиане в ряд Тейлора ,

${\ displaystyle \ cos (\ varphi) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(- \ varphi ^ {2}) ^ {n}} {(2n)!}},}$

его можно переписать как лагранжиан Клейна – Гордона плюс члены более высокого порядка:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {L}} _ {\ text {SG}} (\ varphi) & = {\ frac {1} {2}} (\ varphi _ {t} ^ {2 } - \ varphi _ {x} ^ {2}) - {\ frac {\ varphi ^ {2}} {2}} + \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {(- \ varphi ^ {2}) ^ {n}} {(2n)!}} \\ & = {\ mathcal {L}} _ {\ text {KG}} (\ varphi) + \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {(- \ varphi ^ {2}) ^ {n}} {(2n)!}}. \ end {выравнивается}}}$

Интересной особенностью уравнения синус-Гордон является наличие солитонных и многосолитонных решений.

1-солитонные решения

Уравнение синус-Гордон имеет следующие односолитонные решения:

${\ displaystyle \ varphi _ {\ text {soliton}} (x, t): = 4 \ arctan \ left (e ^ {m \ gamma (x-vt) + \ delta} \ right),}$

где

${\ displaystyle \ gamma ^ {2} = {\ frac {1} {1-v ^ {2}}},}$

и предполагается несколько более общий вид уравнения:

${\ displaystyle \ varphi _ {tt} - \ varphi _ {xx} + m ^ {2} \ sin \ varphi = 0.}$

1-солитонное решение, для которого мы выбрали положительный корень для ${\ displaystyle \ gamma}$называется перегибом и представляет собой поворот переменной${\ displaystyle \ varphi}$ который выводит систему из одного решения ${\ displaystyle \ varphi = 0}$ к соседнему с ${\ displaystyle \ varphi = 2 \ pi}$. Штаты${\ displaystyle \ varphi = 0 {\ pmod {2 \ pi}}}$известны как состояния вакуума, поскольку они представляют собой постоянные решения с нулевой энергией. 1-солитонное решение, в котором мы извлекаем отрицательный корень для${\ displaystyle \ gamma}$называется антикинком . Вид 1-солитонных решений может быть получен путем применения преобразования Бэклунда к тривиальному (постоянный вакуум) решения и интегрирования полученных дифференциалов первого порядка:

${\ displaystyle \ varphi '_ {u} = \ varphi _ {u} +2 \ beta \ sin {\ frac {\ varphi' + \ varphi} {2}},}$

${\ displaystyle \ varphi '_ {v} = - \ varphi _ {v} + {\ frac {2} {\ beta}} \ sin {\ frac {\ varphi' - \ varphi} {2}} {\ text {with}} \ varphi = \ varphi _ {0} = 0}$

за все время.

1-солитонные решения могут быть визуализированы с использованием модели синус-Гордона из эластичной ленты, как обсуждали Додд и его сотрудники. ^[6] Здесь мы принимаем закрутку эластичной ленты по часовой стрелке ( левую ) за изгиб с топологическим зарядом${\ displaystyle \ vartheta _ {\ text {K}} = - 1}$. Альтернативный вариант закрутки против часовой стрелки ( правый ) с топологическим зарядом${\ displaystyle \ vartheta _ {\ text {AK}} = + 1}$ будет антикинк.

Путешествуя кинк солитон представляет распространяющийся по часовой стрелке поворот. [7]

Путешествуя перегибы солитона представляет распространяющиеся против часовой стрелки поворота. [7]

2-солитонные решения

Multi- солитон растворы могут быть получены путем продолжения применения Беклунда преобразования в 1-солитона раствора, как это предписано в Bianchi решетки , связанные преобразованные результаты. ^[8] 2-солитонные решения уравнения синус-Гордон показывают некоторые характерные особенности солитонов. Бегущие изломы синус-Гордона и / или антикинки проходят друг через друга, как будто они идеально проницаемы, и единственный наблюдаемый эффект - это фазовый сдвиг . Поскольку сталкивающиеся солитоны восстанавливают свою скорость и форму , такое взаимодействие называется упругим столкновением .

Столкновение антикинк-кинк . [7]

Столкновение кинк-кинк . [7]

Еще одно интересное двухсолитонное решение возникает из-за возможности связанного кинк-антикинкового поведения, известного как бризер . Известны три типа бризеров: стоячий бризер , бегущий бризер большой амплитуды и бегущий бризер малой амплитуды . ^[9]

Стоячий бризер представляет собой колеблющийся во времени солитон кинк-антикинк. [7]

Движущийся бризер большой амплитуды . [7]

Движущийся бризер малой амплитуды  - выглядит экзотично, но по сути имеет бризерную оболочку [7]

3-солитонные решения

3-солитонные столкновения бегущего кинка и стоячего бризера или бегущего антикинка и стоячего бризера приводят к фазовому сдвигу стоячего бризера. В процессе столкновения движущегося кинка с стоячим сапуном происходит смещение сапуна.${\ displaystyle \ Delta _ {\ text {B}}}$ дан кем-то

${\ displaystyle \ Delta _ {\ text {B}} = {\ frac {2 \ operatorname {artanh} {\ sqrt {(1- \ omega ^ {2}) (1-v _ {\ text {K}} ^ {2})}}} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2}}}},}$

где ${\ displaystyle v _ {\ text {K}}}$ - скорость перегиба, а ${\ displaystyle \ omega}$частота бризера. ^[9] Если старое положение стояночного сапуна${\ displaystyle x_ {0}}$, после столкновения новая позиция будет ${\ displaystyle x_ {0} + \ Delta _ {\ text {B}}}$.

Столкновение движущегося кинка и стоячего сапуна . [7]

Столкновение движущегося антикинка и стоячего сапуна . [7]

На следующем видео показано моделирование двух парковочных солитонов. Оба излучают поле давление-скорость с разной полярностью. Поскольку конец одномерного пространства не заканчивается симметрично, волны отражаются.