Уравнение синуса-Гордона
Уравнение синуса-Гордона представляет собой нелинейное гиперболическое уравнение в частных производных в измерениях 1 + 1, включающее оператор Даламбера и синус неизвестной функции. Первоначально оно было введено Эдмондом Боуром ( 1862 г.) в ходе изучения поверхностей постоянной отрицательной кривизны как уравнение Гаусса-Кодацци для поверхностей кривизны −1 в трехмерном пространстве [1] и вновь открыто Френкелем и Конторовой ( 1939 г. ) в их исследовании кристаллических дислокаций, известном как модель Френкеля-Конторовой . [2]Это уравнение привлекло большое внимание в 1970-х годах из-за наличия солитонных решений.
Существуют две эквивалентные формы уравнения синус-Гордон. В ( реальных ) пространственно-временных координатах , обозначаемых ( x , t ), уравнение выглядит так: [3]
где частные производные обозначены нижними индексами. Переходя к координатам светового конуса ( u , v ), родственным асимптотическим координатам , где
Это первоначальная форма уравнения синус-Гордон, как ее рассматривали в 19 веке в ходе исследования поверхностей постоянной гауссовой кривизны K = −1, называемых также псевдосферическими поверхностями . Выбрать систему координат для такой поверхности, в которой координатная сетка u =constant, v =constant задается асимптотическими линиями, параметризованными относительно длины дуги. Первая фундаментальная форма поверхности в этих координатах имеет специальный вид
где выражает угол между асимптотическими линиями, а для второй фундаментальной формы L = N = 0. Тогда уравнение Кодацци–Майнарди, выражающее условие совместимости между первой и второй фундаментальными формами, приводит к уравнению синус-Гордон. Изучение этого уравнения и связанных с ним преобразований псевдосферических поверхностей в 19 веке Бьянки и Беклундом привело к открытию преобразований Беклунда . Другое преобразование псевдосферических поверхностей - это преобразование Ли , введенное Софусом Ли в 1879 г., которое соответствуетЛоренц повышает с точки зрения координат светового конуса, таким образом, уравнение синуса-Гордона является лоренц-инвариантным . [5]
Уравнение синус-Гордона представляет собой уравнение Эйлера – Лагранжа поля, лагранжева плотность которого определяется выражением
