Склон

Склон: ${\ displaystyle m = \ left ({\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}} \ right) = \ tan (\ theta)}$

В математике наклон или градиент из линии является числом , которое описывает как направление и крутизну линии. ^[1] Наклон часто обозначается буквой m ; На вопрос, почему буква m используется для обозначения наклона, нет четкого ответа , но самое раннее ее использование в английском языке появилось у О'Брайена (1844 г.) ^[2], который написал уравнение прямой линии как « y = mx + b ». и его также можно найти у Тодхантера (1888 г.) ^[3], который написал его как "y = mx + c ". ^[4]

Наклон рассчитывается путем нахождения отношения «вертикального изменения» к «горизонтальному изменению» между (любыми) двумя отдельными точками на линии. Иногда это соотношение выражается как частное («превышение пробега»), дающее одно и то же число для каждых двух различных точек на одной линии. У убывающей линии есть отрицательный «подъем». Линия может быть практичной - как указано геодезистом или на схеме, моделирующей дорогу или крышу, в виде описания или плана.

Крутизны , угол наклона или сорт линии измеряется с помощью абсолютного значения наклона. Уклон с большим абсолютным значением указывает на более крутую линию. Направление из линии либо увеличение, уменьшение, горизонтали или по вертикали.

• Линия увеличивается, если идет вверх слева направо. Склон положителен , то есть .${\ displaystyle m> 0}$
• Линия убывает, если идет вниз слева направо. Склон отрицательный , то есть .${\ displaystyle m <0}$
• Если линия горизонтальна, наклон равен нулю . Это постоянная функция .
• Если линия вертикальная, наклон не определен (см. Ниже).

Подъем дороги между двумя точками - это разница между высотой дороги в этих двух точках, скажем y ₁ и y ₂ , или, другими словами, подъем составляет ( y ₂ - y ₁ ) = Δ y . Для относительно коротких расстояний, где кривизной земли можно пренебречь, пробег - это разница в расстоянии от фиксированной точки, измеренная вдоль уровня, горизонтальной линии, или, другими словами, пробег равен ( x ₂ - x ₁ ) = Δ x. Здесь уклон дороги между двумя точками просто описывается как отношение изменения высоты к горизонтальному расстоянию между любыми двумя точками на линии.

На математическом языке наклон m прямой равен

${\ displaystyle m = {\ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}.}$

Понятие наклона применяется непосредственно к сортам или градиентам в географии и гражданском строительстве . С помощью тригонометрии наклон m прямой связан с ее углом наклона θ с помощью касательной функции

${\ Displaystyle м = \ загар (\ тета)}$

Таким образом, восходящая линия под 45 ° имеет наклон +1, а нисходящая линия под 45 ° имеет наклон -1.

В качестве обобщения этого практического описания математика дифференциального исчисления определяет наклон кривой в точке как наклон касательной в этой точке. Когда кривая задается серией точек на диаграмме или в списке координат точек, наклон может быть вычислен не в точке, а между любыми двумя заданными точками. Когда кривая задана как непрерывная функция, возможно, как алгебраическая формула, тогда дифференциальное исчисление предоставляет правила, дающие формулу для наклона кривой в любой точке в середине кривой.

Это обобщение концепции уклона позволяет планировать и строить очень сложные конструкции, которые выходят далеко за рамки статических структур, которые являются горизонтальными или вертикальными, но могут изменяться во времени, перемещаться по кривым и изменяться в зависимости от скорости изменения других факторов. . Таким образом, простая идея склона становится одной из основных основ современного мира как с точки зрения технологий, так и с точки зрения застроенной среды.

Определение [ править ]

Наклон показан для y  = (3/2) x  - 1. Нажмите, чтобы увеличить

Наклон прямой в системе координат от f (x) = - 12x + 2 до f (x) = 12x + 2

Наклон линии на плоскости, содержащей оси x и y, обычно обозначается буквой m и определяется как изменение координаты y, деленное на соответствующее изменение координаты x между двумя различными точками на линии. Это описывается следующим уравнением:

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {{\text{vertical}}\,{\text{change}}}{{\text{horizontal}}\,{\text{change}}}}={\frac {\text{rise}}{\text{run}}}.}$

(Греческая буква дельта , Δ, обычно используется в математике для обозначения «различия» или «изменения».)

Учитывая две точки ( x ₁ , y ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ ), изменение x от одной к другой равно x ₂ - x ₁ ( бег ), а изменение y равно y ₂ - y ₁ ( подъем ). Подстановка обеих величин в приведенное выше уравнение дает формулу:

${\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

Формула не подходит для вертикальной линии, параллельной оси y (см. Деление на ноль ), где наклон можно принять как бесконечный , поэтому наклон вертикальной линии считается неопределенным.

Примеры [ править ]

Предположим, что прямая проходит через две точки: P  = (1, 2) и Q  = (13, 8). Разделив разницу в координатах y на разницу в координатах x , можно получить наклон линии:

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {8-2}{13-1}}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}}$.

Поскольку наклон положительный, направление линии увеличивается. Поскольку | m | <1, уклон не очень крутой (уклон <45 °).

В качестве другого примера рассмотрим линию, проходящую через точки (4, 15) и (3, 21). Тогда наклон линии равен

${\displaystyle m={\frac {21-15}{3-4}}={\frac {6}{-1}}=-6.}$

Поскольку наклон отрицательный, направление линии уменьшается. Поскольку | m |> 1, это падение довольно крутое (падение> 45 °).

Алгебра и геометрия [ править ]

• Если y является линейной функцией от x , то коэффициент при x - это наклон линии, созданной при построении функции. Следовательно, если уравнение прямой задано в виде

${\displaystyle y=mx+b}$

тогда m - наклон. Эта форма уравнения линии, называется в форме наклона-перехвата , поскольку б может быть интерпретирована как у-перехват линии, то есть, у -координаты , где прямая пересекает у оси х.

• Если наклон m прямой и точка ( x ₁ , y ₁ ) на прямой оба известны, то уравнение прямой можно найти с помощью формулы угла наклона точки :

${\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1}).}$

• Наклон прямой, определяемой линейным уравнением

${\displaystyle ax+by+c=0}$

является

${\displaystyle -{\frac {a}{b}}}$.

• Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они не являются одной и той же линией (совпадают) и либо их наклоны равны, либо они обе вертикальны и, следовательно, обе имеют неопределенный наклон. Две прямые являются перпендикулярными, если произведение их наклонов равно -1 или одна имеет наклон 0 (горизонтальная линия), а другая имеет неопределенный наклон (вертикальная линия).
• Угол θ между -90 ° и 90 °, который образует линия с осью x, связан с наклоном m следующим образом:

${\displaystyle m=\tan(\theta )}$

и

${\displaystyle \theta =\arctan(m)}$   (это функция, обратная касательной; см. обратные тригонометрические функции ).

Примеры [ править ]

Например, рассмотрим линию, проходящую через точки (2,8) и (3,20). Эта линия имеет наклон, м , равный

${\displaystyle {\frac {(20-8)}{(3-2)}}\;=12.}$

Затем можно записать уравнение линии в форме точечного уклона:

${\displaystyle y-8=12(x-2)=12x-24}$

или же:

${\displaystyle y=12x-16.}$

Угол θ между -90 ° и 90 °, который эта линия образует с осью x, равен

${\displaystyle \theta =\arctan(12)\approx 85.2^{\circ }\,.}$

Рассмотрим две прямые: y = −3 x + 1 и y = −3 x - 2 . Обе прямые имеют наклон m = −3 . Это не одна и та же линия. Итак, это параллельные линии.

Рассмотрим две прямые y = −3 x + 1 и y =Икс/3- 2 . Наклон первой линии равен m ₁ = −3 . Наклон второй линии равен m ₂ =1/3. Произведение этих двух наклонов равно -1. Итак, эти две линии перпендикулярны.

Статистика [ править ]

В статистической математике градиент линии регрессии наименьших квадратов наилучшего соответствия для данного распределения данных, которое является линейным, числовым и свободным от выбросов, может быть записан как , где определяется как статистический градиент для линии наилучшего пригодный ( ), является коэффициент корреляции Пирсона , это стандартное отклонение у-значений , и это стандартное отклонение х-значений. Это также можно записать как соотношение ковариаций : ^[5]${\displaystyle m={\frac {rs_{y}}{s_{x}}}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle y=mx+c}$${\displaystyle r}$${\displaystyle s_{y}}$${\displaystyle s_{x}}$

${\displaystyle m={\frac {\operatorname {cov} (Y,X)}{\operatorname {cov} (X,X)}}}$

Уклон дороги или железной дороги [ править ]

Основные статьи: уклон (уклон) , разделение оценок

Есть два распространенных способа описать крутизну дороги или железной дороги . Один - по углу от 0 ° до 90 ° (в градусах), а другой - по наклону в процентах. См. Также железную дорогу с крутым уклоном и зубчатую железную дорогу .

Формулы для преобразования уклона, указанного в процентах, в угол в градусах и наоборот:

${\displaystyle {\text{angle}}=\arctan \left({\frac {\text{slope}}{100\%}}\right)}$  , (это функция, обратная касательной; см. тригонометрию )

и

${\displaystyle {\mbox{slope}}=100\%\cdot \tan({\mbox{angle}}),}$

где угол выражается в градусах, а тригонометрические функции работают в градусах. Например, уклон 100 % или 1000 ‰ - это угол 45 °.

Третий способ - задать на одну единицу подъема, скажем, 10, 20, 50 или 100 единиц по горизонтали, например 1:10. 1:20, 1:50 или 1: 100 (или «1 из 10» , «1 из 20» и т. Д.). Обратите внимание, что 1:10 круче, чем 1:20. Например, крутизна 20% означает 1: 5 или угол наклона 11,3 °.

Дороги и железные дороги имеют как продольные, так и поперечные уклоны.

• Предупреждающий знак на склоне в Нидерландах

• Предупреждающий знак наклона в Польше

• Протяженность железной дороги 1371 метр с уклоном 20 ‰ . Чехия

• Железнодорожный градиентный столб с указанием уклона в обоих направлениях на железнодорожной станции Меолс , Великобритания

Исчисление [ править ]

Концепция наклона занимает центральное место в дифференциальном исчислении . Для нелинейных функций скорость изменения изменяется вдоль кривой. Производной функции в точке представляет собой наклон линии , касательной к кривой в точке, и, таким образом , равна скорости изменения функции в этой точке.

Если мы позволим Δ x и Δ y быть расстояниями (по осям x и y соответственно) между двумя точками на кривой, то наклон, заданный приведенным выше определением,

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$,

- наклон секущей к кривой. Для линии секущая между любыми двумя точками - это сама линия, но это не относится к любому другому типу кривой.

Например, наклон секущей пересекающихся у = х ² в точке (0,0) и (3,9) равно 3. (Наклон касательной в точке х = ³ / ₂ также является 3- в следствие среднее ценностная теорема .)

При перемещении двух точек ближе друг к другу, так что Δ y и Δ x уменьшаются, секущая линия более точно приближается к касательной к кривой, и поэтому наклон секущей приближается к наклону касательной. Используя дифференциальное исчисление , мы можем определить предел или значение, к которому Δ y / Δ x приближается по мере приближения Δ y и Δ x к нулю ; отсюда следует, что этот предел является точным наклоном касательной. Если y зависит от x , то достаточно выбрать предел, при котором только ∆ xприближается к нулю. Следовательно, наклон касательной является пределом Δ y / Δ x, когда Δ x приближается к нулю, или dy / dx . Мы называем этот предел производной .

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

Его значение в точке функции дает нам наклон касательной в этой точке. Например, пусть y = x ² . Балл этой функции равен (-2,4). Производная этой функции равна ^{d y} / _{d x} = 2 x . Таким образом, наклон касательной к y в точке (-2,4) равен 2 · (-2) = -4. Уравнение этой касательной: y -4 = (- 4) ( x - (- 2)) или y = -4 x - 4.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Посмотрите уклон в Викисловаре, бесплатном словаре.

• «Наклон прямой (координатная геометрия)» . Открытый справочник по математике. 2009 . Проверено 30 октября 2016 года . интерактивный