Малоугловое приближение

Примерно одинаковое поведение некоторых (тригонометрических) функций при

x \to 0

В малоугловом приближение можно использовать для аппроксимации значений основных тригонометрических функций , при условии , что угол в вопросе мал и измеряется в радианах :

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sin \ theta & \ приблизительно \ theta \\\ cos \ theta & \ приблизительно 1 - {\ frac {\ theta ^ {2}} {2}} \ приблизительно 1 \\\ загар \ тета & \ приблизительно \ тета \ конец {выровнено}}}

Эти приближения находят широкое применение в областях физики и техники , включая механику , электромагнетизм , оптику , картографию , астрономию и информатику . ^[1]^[2] Одна из причин этого в том, что они могут значительно упростить дифференциальные уравнения, на которые не нужно отвечать с абсолютной точностью.

Есть несколько способов продемонстрировать справедливость малоугловых приближений. Самый прямой метод - усечь ряд Маклорена для каждой из тригонометрических функций. В зависимости от порядка аппроксимации , аппроксимируется либо или как . ^[3] ${\ displaystyle \ textstyle \ cos \ theta}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle \ textstyle 1 - {\ frac {\ theta ^ {2}} {2}}}$

Обоснования [ править ]

Графика [ править ]

Точность приближений можно увидеть ниже на рисунках 1 и 2. По мере приближения меры угла к нулю разница между приближением и исходной функцией также приближается к нулю.

Рисунок 1. Сравнение основных нечетных тригонометрических функций с $θ$ . Видно, что по мере приближения угла к 0 приближения становятся лучше.
Рисунок 2. Сравнение $cos θ$ с $1 - θ 2 / 2$ . Видно, что по мере приближения угла к 0 приближение становится лучше.

Геометрический [ править ]

Красный участок на правом, $д$ , разница между длинами гипотенузы, $H$ , и прилегающей к ней стороне, $A$ . Как показано, $H$ и $A$ почти одинаковой длины, то есть $cos θ$ близок к 1 и $θ 2 / 2$ помогает убрать красный цвет.

{\ displaystyle \ cos {\ theta} \ приблизительно 1 - {\ frac {\ theta ^ {2}} {2}}}

Противоположная нога $O$ примерно равна длине синей дуги $s$ . Собирая факты из геометрии, $s = Aθ$ , из тригонометрии, $sin θ = О / ЧАС$ и $tan θ = О / А$ , а из рисунка $O \approx s$ и $H \approx A$ приводит к:

{\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {O} {H}} \ приблизительно {\ frac {O} {A}} = \ tan \ theta = {\ frac {O} {A}} \ приблизительно {\ frac {s} {A}} = {\ frac {A \ theta} {A}} = \ theta.}

Упрощая листья,

{\ Displaystyle \ грех \ тета \ приблизительно \ загар \ тета \ приблизительно \ тета.}

Исчисление [ править ]

Используя теорему отжимают , ^[4] , можно доказать , что , который является формальным повторением приближения при малых значениях & thetas. ${\ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to 0} {\ frac {\ sin (\ theta)} {\ theta}} = 1,}$ ${\ Displaystyle \ грех (\ тета) \ приблизительно \ тета}$

Более тщательное применение теоремы о сжатии доказывает то, из чего мы заключаем, что для малых значений θ. $\lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan(\theta )}{\theta }}=1,$ $\tan(\theta )\approx \theta$

Наконец, правило L'Hôpital говорит нам о том, что перестраивается на для малых значений θ. В качестве альтернативы мы можем использовать формулу двойного угла . Давая , мы получаем это . $\lim _{\theta \to 0}{\frac {\cos(\theta )-1}{\theta ^{2}}}=\lim _{\theta \to 0}{\frac {-\sin(\theta )}{2\theta }}=-{\frac {1}{2}},$ $\cos(\theta )\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}$ $\cos 2A\equiv 1-2\sin ^{2}A$ $\theta =2A$ $\cos \theta =1-2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}$

Алгебраический [ править ]

Малоугловое приближение для синусоидальной функции.

Разложение Маклорена (разложение Тейлора около 0) соответствующей тригонометрической функции равно ^[5]

{\begin{aligned}\sin \theta &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}\theta ^{2n+1}\\&=\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+\cdots \end{aligned}}

где $θ$ - угол в радианах. Проще говоря,

\sin \theta =\theta -{\frac {\theta ^{3}}{6}}+{\frac {\theta ^{5}}{120}}-{\frac {\theta ^{7}}{5040}}+\cdots

Легко видеть, что второй по значимости член (третьего порядка) спадает как куб первого члена; таким образом, даже для не такого уж маленького аргумента, такого как 0,01, значение второго по значимости члена порядка0,000 001 , или1/10 000первый срок. Таким образом, можно безопасно приблизить:

\sin \theta \approx \theta

В более широком смысле, поскольку косинус малого угла очень близок к 1, а тангенс задается синусом, деленным на косинус,

\tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta

,

Ошибка аппроксимации [ править ]

Рис. 3. График относительных ошибок для малых угловых приближений.

На рис. 3 показаны относительные ошибки малоугловых приближений. Углы, при которых относительная погрешность превышает 1%, следующие:

$tan θ \approx θ$ примерно при 0,176 радиан (10 °).
$sin θ \approx θ$ примерно на расстоянии 0,244 радиана (14 °).
$cos θ \approx 1 - θ 2 / 2$ около 0,664 радиана (38 °).

Сумма и разность углов [ править ]

В угле сложение и вычитание теоремы сводится к следующему , когда один из углов малы (β ≈ 0):

соз (α + β)	≈ cos (α) - βsin (α),
cos (α - β)	≈ cos (α) + βsin (α),
грех (α + β)	≈ sin (α) + βcos (α),
грех (α - β)	≈ sin (α) - βcos (α).

Конкретное использование [ править ]

Астрономия [ править ]

В астрономии , то угловой размер или угол , образуемый изображением удаленного объекта часто лишь несколько угловых секунд , поэтому он хорошо подходит для малоуглового приближения. ^[6] Линейный размер ( $D$ ) связан с угловым размером ( $X$ ) и расстоянием от наблюдателя ( $d$ ) простой формулой:

D=X{\frac {d}{206\,265}}

где $X$ измеряется в угловых секундах.

Номер 206 265 примерно равно количеству угловых секунд в круге (1 296 000 ), деленное на $2π$ .

Точная формула

D=d\tan \left(X{\frac {2\pi }{1\,296\,000}}\right)

и выше приближение следует , когда $загар Х$ заменяется на $X$ .

Движение маятника [ править ]

Косинусное приближение второго порядка особенно полезно при расчете потенциальной энергии в виде маятника , который затем может быть применен с лагранжиан , чтобы найти косвенное (энергию) уравнение движения.

При вычислении периода простого маятника используется малоугловое приближение для синуса, что позволяет легко решить полученное дифференциальное уравнение путем сравнения с дифференциальным уравнением, описывающим простое гармоническое движение .

Оптика [ править ]

В оптике малоугловые приближения составляют основу параксиального приближения .

Волновая интерференция [ править ]

Синусоидальные и касательные малоугловые приближения используются в отношении эксперимента с двумя щелями или дифракционной решетки для упрощения уравнений, например, «расстояние между полосами» = «длина волны» × расстояние от щелей до экрана «÷« разделение щелей ». ^[7]

Структурная механика [ править ]

Приближение малых углов также появляется в строительной механике, особенно при анализе устойчивости и бифуркации (в основном, осевых нагруженных колонн, готовых к потере устойчивости ). Это приводит к значительным упрощениям, хотя и за счет точности и понимания истинного поведения.

Пилотирование [ править ]

1 в 60 правиле используется в воздушной навигации имеет свою основу в приближении малых углов, а также тот факт , что один радиан составляет примерно 60 градусов.

Интерполяция [ править ]

Формулы для сложения и вычитания с малым углом могут использоваться для интерполяции между значениями тригонометрической таблицы :

Пример: sin (0,755)

грех (0,755)	= грех (0,75 + 0,005)
	≈ sin (0,75) + (0,005) cos (0,75)
	≈ (0,6816) + (0,005) (0,7317)	[Значения sin (0,75) и cos (0,75) получены из тригонометрической таблицы]
	≈ 0,6853.

См. Также [ править ]

Тонкий треугольник
Бесконечно малые колебания маятника
Версин и гаверсин
Exsecant и excosecant

Ссылки [ править ]

^ Holbrow, Чарльз Х .; и другие. (2010), Современная вводная физика (2-е изд.), Springer Science & Business Media, стр. 30–32, ISBN 0387790799.
^ Plesha, Майкл; и другие. (2012), Инженерная механика: статика и динамика (2-е изд.), McGraw-Hill Higher Education, стр. 12, ISBN 0077570618.
^ "Малоугловая аппроксимация | Блестящая математика и наука вики" . brilliant.org . Проверено 22 июля 2020 .
^ Ларсон, Рон; и другие. (2006), Исчисление одной переменной: ранние трансцендентные функции (4-е изд.), Cengage Learning, стр. 85, ISBN 0618606254.
Перейти ↑ Boas, Mary L. (2006). Математические методы в физических науках . Вайли. п. 26. ISBN 978-0-471-19826-0.
^ Грин, Робин М. (1985), Сферическая астрономия , Cambridge University Press, стр. 19, ISBN 0521317797.
^ http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/phyopt/slits.html

[Holbrow2010-1] Holbrow, Чарльз Х .; и другие. (2010), Современная вводная физика (2-е изд.), Springer Science & Business Media, стр. 30–32, ISBN 0387790799.

[Plesha2012-2] Plesha, Майкл; и другие. (2012), Инженерная механика: статика и динамика (2-е изд.), McGraw-Hill Higher Education, стр. 12, ISBN 0077570618.

[3] "Малоугловая аппроксимация | Блестящая математика и наука вики" . brilliant.org . Проверено 22 июля 2020 .

[Larson2006-4] Ларсон, Рон; и другие. (2006), Исчисление одной переменной: ранние трансцендентные функции (4-е изд.), Cengage Learning, стр. 85, ISBN 0618606254.

[5] Перейти ↑ Boas, Mary L. (2006). Математические методы в физических науках . Вайли. п. 26. ISBN 978-0-471-19826-0.

[Green1985-6] Грин, Робин М. (1985), Сферическая астрономия , Cambridge University Press, стр. 19, ISBN 0521317797.

[7] ttp://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/phyopt/slits.html

[1]