Твердая революция

Вращение кривой. Образованная поверхность - это поверхность вращения ; он заключает в себе твердое тело революции.

Тела революции ( Matemateca Ime-Usp )

В математике , инженерии и производства , тела вращения является твердая цифра получена вращением плоскости кривой вокруг некоторой прямой линии (The оси вращения ) , что лежит на одной и той же плоскости.

Предполагая , что кривая не пересекает ось, твердое вещество - х объем равен длине по окружности , описываемой фигуры центроида , умноженной на фигуры области ( второй центроид теоремы Паппа в ).

Репрезентативный диск является трех- мерный элемент объема твердого тела вращения. Элемент создаются вращающимся на отрезок линии (от длины $ш$ ) вокруг некоторой оси (расположенный $г$ единиц далеко), так что цилиндрический объем из $П г 2 ш$ единиц прилагаются.

Нахождение тома [ править ]

Двумя общими методами определения объема тела вращения являются метод диска и метод интегрирования оболочки . Чтобы применить эти методы, проще всего нарисовать рассматриваемый график; определить область, которая должна вращаться вокруг оси вращения; определить объем либо дискообразного среза твердого тела толщиной $δx$ , либо цилиндрической оболочки шириной $δx$ ; а затем найти предельную сумму этих объемов, когда $δx$ приближается к 0, значение, которое может быть найдено путем вычисления подходящего интеграла. Более строгое обоснование можно дать, попытавшись вычислить тройной интеграл в цилиндрических координатах с двумя разными порядками интеграции.

Дисковый метод [ править ]

Интеграция диска вокруг оси Y

Дисковый метод используется, когда нарисованный срез перпендикулярен оси вращения; т.е. при интегрировании параллельно оси вращения.

Объем твердого тела, образованного вращением области между кривыми $f (x)$ и $g (x)$ и линиями $x = a$ и $x = b$ относительно оси $x,$ определяется выражением

{\ Displaystyle V = \ pi \ int _ {a} ^ {b} \ left | f (x) ^ {2} -g (x) ^ {2} \ right | \, dx \ ,.}

Если $g (x) = 0$ (например, поворот области между кривой и осью $x$ ), это сводится к:

V=\pi \int _{a}^{b}f(x)^{2}\,dx\,.

Этот метод можно визуализировать, рассматривая тонкий горизонтальный прямоугольник в точке $y$ между $f (y)$ вверху и $g (y)$ внизу, и вращая его вокруг оси $y$ ; он образует кольцо (или диск в случае, когда $g (y) = 0$ ) с внешним радиусом $f (y)$ и внутренним радиусом $g (y)$ . Площадь кольца равна $π (R 2 - r 2)$ , где $R$ - внешний радиус (в данном случае $f (y)$ ), а $r$ - внутренний радиус (в данном случае $g (y)$ ). Следовательно, объем каждого бесконечно малого диска равен $π f (y) 2 dy$ . Предел римановой суммы объемов дисков между $a$ и $b$ становится целым (1).

Предполагая применимость теоремы Фубини и формулы многомерной замены переменных, дисковый метод может быть получен прямым способом (обозначив твердое тело как D):

V=\iiint _{D}dV=\int _{a}^{b}\int _{g(z)}^{f(z)}\int _{0}^{2\pi }r\,d\theta \,dr\,dz=2\pi \int _{a}^{b}\int _{g(z)}^{f(z)}r\,dr\,dz=2\pi \int _{a}^{b}{\frac {1}{2}}r^{2}\Vert _{f(z)}^{g(z)}\,dz=\pi \int _{a}^{b}f(z)^{2}-g(z)^{2}\,dz

Цилиндровый метод [ править ]

Интеграция с оболочкой

Метод цилиндра используется, когда нарисованный срез параллелен оси вращения; т.е. при интегрировании перпендикулярно оси вращения.

Объем твердого тела, образованного вращением области между кривыми $f (x)$ и $g (x)$ и линиями $x = a$ и $x = b$ относительно оси $y,$ определяется выражением

V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)-g(x)|\,dx\,.

Если $g (x) = 0$ (например, поворот области между кривой и осью $y$ ), это сводится к:

V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)|\,dx\,.

Этот метод можно визуализировать, рассматривая тонкий вертикальный прямоугольник в $точке x$ с высотой $f (x) - g (x)$ и вращая его вокруг оси $y$ ; он образует цилиндрическую оболочку. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $2π rh$ , где $r$ - радиус (в данном случае $x$ ), а $h$ - высота (в данном случае $f (x) - g (x)$ ). Суммирование всех площадей поверхности по интервалу дает общий объем.

Этот метод может быть получен с тем же тройным интегралом, на этот раз с другим порядком интегрирования:

V=\iiint _{D}dV=\int _{a}^{b}\int _{g(r)}^{f(r)}\int _{0}^{2\pi }r\,d\theta \,dz\,dr=2\pi \int _{a}^{b}\int _{g(r)}^{f(r)}r\,dz\,dr=2\pi \int _{a}^{b}r(f(r)-g(r))\,dr

.

Твердая демонстрация революции

Фигуры в движении, показывающие тела вращения, образованные каждым

Параметрическая форма [ править ]

Математика и искусство : исследование вазы как твердого тела революции Паоло Уччелло . 15 век

Когда кривая определяется ее параметрической формой $(x (t), y (t))$ в некотором интервале $[a, b]$ , объемы твердых тел, образованные путем вращения кривой вокруг оси $x$ или оси $y,$ равны предоставлено ^[1]

V_{x}=\int _{a}^{b}\pi y^{2}\,{\frac {dx}{dt}}\,dt\,,

V_{y}=\int _{a}^{b}\pi x^{2}\,{\frac {dy}{dt}}\,dt\,.

При тех же обстоятельствах площади поверхностей твердых тел, образованные вращением кривой вокруг оси $x$ или оси $y$ , задаются формулой ^[2]

A_{x}=\int _{a}^{b}2\pi y\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,,

A_{y}=\int _{a}^{b}2\pi x\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,.

См. Также [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме " Тела революции" .

Рог Габриэля
Теорема Гульдинуса
Псевдосфера
Поверхность революции
Унгула

Примечания [ править ]

^ Шарма, А. К. (2005). Применение интегрального исчисления . Издательство Discovery. п. 168. ISBN 81-7141-967-4.
^ Singh, Равиш R. (1993). Инженерная математика (6-е изд.). Тата МакГроу-Хилл. п. 6.90. ISBN 0-07-014615-2.

Ссылки [ править ]

«Объемы тел революции» . CliffsNotes.com . 12 апреля 2011. Архивировано из оригинала на 2012-03-19.
Эйрес, Фрэнк ; Мендельсон, Эллиотт (2008). Исчисление . Очертания Шаума . McGraw-Hill Professional. С. 244–248. ISBN 978-0-07-150861-2.( Интернет-копия , стр. 244, в Google Книгах )
Вайсштейн, Эрик В. «Твердая революция» . MathWorld .

[1] Шарма, А. К. (2005). Применение интегрального исчисления . Издательство Discovery. п. 168. ISBN 81-7141-967-4.

[2] Singh, Равиш R. (1993). Инженерная математика (6-е изд.). Тата МакГроу-Хилл. п. 6.90. ISBN 0-07-014615-2.