Система координат
В геометрии система координат — это система, которая использует одно или несколько чисел или координат для однозначного определения положения точек или других геометрических элементов на многообразии , таком как евклидово пространство . [1] [2] Порядок координат имеет значение, и иногда они идентифицируются по их положению в упорядоченном кортеже , а иногда по букве, как в " x -координате". Координаты считаются действительными числами в элементарной математике , но могут быть и комплексными числами .или элементы более абстрактной системы, такой как коммутативное кольцо . Использование системы координат позволяет переводить задачи геометрии в задачи о числах и наоборот ; это основа аналитической геометрии . [3]
Простейшим примером системы координат является отождествление точек на прямой с действительными числами с помощью числовой прямой . В этой системе на заданной прямой выбирается произвольная точка O (начало координат ). Координата точки P определяется как расстояние со знаком от O до P , где расстояние со знаком — это расстояние, взятое как положительное или отрицательное, в зависимости от того, на какой стороне лежит линия P. Каждой точке дана уникальная координата, и каждое действительное число является координатой уникальной точки. [4]
Типичным примером системы координат является декартова система координат . На плоскости выбраны две перпендикулярные прямые, а координаты точки приняты в качестве расстояний до этих прямых со знаком.
В трех измерениях выбираются три взаимно ортогональные плоскости, и три координаты точки представляют собой расстояния со знаком до каждой из плоскостей. [5] Это можно обобщить, чтобы создать n координат для любой точки в n -мерном евклидовом пространстве.
В зависимости от направления и порядка осей координат трехмерная система может быть правовинтовой или левовинтовой. Это одна из многих систем координат.
Другой распространенной системой координат для плоскости является полярная система координат . [6] В качестве полюса выбирается точка, а луч из этой точки принимается в качестве полярной оси . Для заданного угла θ через полюс проходит единственная линия, угол которой с полярной осью равен θ (измеряется против часовой стрелки от оси до линии). Тогда на этой прямой есть единственная точка, расстояние до которой со знаком равно r для заданного числа r . Для данной пары координат ( r , θ ) существует одна точка, но любая точка представлена многими парами координат. Например, ( р, θ ), ( r , θ +2 π ) и (− r , θ + π ) — полярные координаты одной и той же точки. Полюс представлен (0, θ ) для любого значения θ .
