Многомерная интерполяция

В численном анализе , многомерная интерполяция является интерполяция на функции более чем одной переменной; когда переменные являются пространственными координатами , это также известно как пространственная интерполяция .

Функция, которая должна быть интерполирована, известна в данных точках, и задача интерполяции состоит в получении значений в произвольных точках .${\ Displaystyle (х_ {я}, у_ {я}, z_ {я}, \ точки)}$${\ Displaystyle (х, у, г, \ точки)}$

Многомерная интерполяция особенно важна в геостатистике , где она используется для создания цифровой модели рельефа из набора точек на поверхности Земли (например, высот точек при топографической съемке или глубины при гидрографической съемке ).

Обычная сетка [ править ]

Сравнение некоторых 1- и 2-мерных интерполяций. Черные и красные / желтые / зеленые / синие точки соответствуют интерполированной точке и соседним отсчетам соответственно. Их высота над землей соответствует их значениям.

Для значений функции, известных на регулярной сетке (с заранее определенным, не обязательно равномерным, интервалом), доступны следующие методы.

Любой размер [ править ]

• Интерполяция ближайшего соседа
• Кригинг
• Взвешивание обратных расстояний
• Интерполяция естественного соседа
• Сплайн-интерполяция
• Радиальная интерполяция базисной функции

2 измерения [ править ]

• Интерполяция Барнса
• Билинейная интерполяция
• Бикубическая интерполяция
• Поверхность Безье
• Передискретизация Ланцоша
• Триангуляция Делоне

Передискретизация растрового изображения - это применение многомерной 2D-интерполяции при обработке изображений .

Три метода применялись к одному и тому же набору данных из 25 значений, расположенных в черных точках. Цвета представляют собой интерполированные значения.

См. Также Точки Падуи для полиномиальной интерполяции от двух переменных.

3 измерения [ править ]

• Трилинейная интерполяция
• Трикубическая интерполяция

См. Также повторную выборку растрового изображения .

Сплайны тензорного произведения для N измерений [ править ]

Шлицы Катмулла-Рома можно легко обобщить на любое количество измерений. Кубический сплайн Эрмита статья будет напоминать вам , что в течение некоторого 4-вектора , который является функцией от х в одиночку, где это значение в функции для интерполяции. Перепишем это приближение как${\ displaystyle \ mathrm {CINT} _ {x} (f _ {- 1}, f_ {0}, f_ {1}, f_ {2}) = \ mathbf {b} (x) \ cdot \ left (f_ { -1} f_ {0} f_ {1} f_ {2} \ right)}$${\ Displaystyle \ mathbf {b} (х)}$${\ displaystyle f_ {j}}$${\ displaystyle j}$

${\ displaystyle \ mathrm {CR} (x) = \ sum _ {i = -1} ^ {2} f_ {i} b_ {i} (x)}$

Эту формулу можно напрямую обобщить на N измерений: ^[1]

${\ displaystyle \ mathrm {CR} (x_ {1}, \ dots, x_ {N}) = \ sum _ {i_ {1}, \ dots, i_ {N} = - 1} ^ {2} f_ {i_ {1} \ dots i_ {N}} \ prod _ {j = 1} ^ {N} b_ {i_ {j}} (x_ {j})}$

Обратите внимание, что аналогичные обобщения можно сделать и для других типов сплайн-интерполяции, включая сплайны Эрмита. Что касается эффективности, общая формула фактически может быть вычислена как композиция последовательных операций для любого типа сплайнов тензорного произведения, как объясняется в статье о трикубической интерполяции . Однако факт остается фактом: если есть члены в одномерном суммировании, то будут члены в -мерном суммировании.${\ displaystyle \ mathrm {CINT}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathrm {CR}}$${\ Displaystyle п ^ {N}}$${\ displaystyle N}$

Нерегулярная сетка (разрозненные данные) [ править ]

Схемы, определенные для разрозненных данных на нерегулярной сетке, являются более общими. Все они должны работать на регулярной сетке, обычно сводя ее к другому известному методу.

• Интерполяция ближайшего соседа
• Триангулированная нерегулярная сеть на основе естественного соседа
• Линейная интерполяция на основе триангулированной нерегулярной сети (разновидность кусочно-линейной функции )
• Взвешивание обратных расстояний
• Кригинг
• Кригинг с градиентным усилением (GEK)
• Тонкая шлицевая пластина
• Полигармонический сплайн (тонкая пластина-сплайн - частный случай полигармонического сплайна)
• Радиальная базисная функция ( Полигармонические сплайны являются частным случаем радиальных базисных функций с полиномиальными членами низкой степени)
• Сплайн наименьших квадратов
• Интерполяция естественного соседа

Сетка - это процесс преобразования данных с неравномерным интервалом в регулярную сетку (данные с координатной сеткой).

См. Также [ править ]

• Подгонка поверхности
• Сглаживание

Заметки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Пример кода C ++ для нескольких интерполяций одномерных, двухмерных и трехмерных сплайнов (включая сплайны Катмулла-Рома).
• Многомерная интерполяция и аппроксимация Эрмита , профессор Чандраджит Баджая, Университет Пердью
• Библиотека Python, содержащая методы интерполяции 3D и 4D сплайнами.