Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Двумерная перспективная проекция сферы

Сфера (от греческого σφαῖρα - sphaira , «шар, шар» [1] ) является геометрическим объектом в трехмерном пространстве , что является поверхностью шара . ( А именно, по аналогии с круглыми объектами в двух измерениях, где " круг "описывает свой " диск " ).

Подобно кругу в двумерном пространстве, сфера математически определяется как набор точек , находящихся на одинаковом расстоянии r от данной точки в трехмерном пространстве. [2] Это расстояние r - это радиус шара, который состоит из всех точек, находящихся на расстоянии меньше (или, для закрытого шара, меньше или равно ) r от данной точки, которая является центром.математического мяча. Их также называют радиусом и центром сферы соответственно. Самый длинный отрезок прямой через шар, соединяющий две точки сферы, проходит через центр, и его длина, таким образом, в два раза больше радиуса; это диаметр как сферы, так и шара.

Хотя вне математики термины «сфера» и «шар» иногда используются как взаимозаменяемые, в математике вышеупомянутое различие проводится между сферой , которая представляет собой двумерную замкнутую поверхность, встроенную в трехмерное евклидово пространство , и шаром , который представляет собой трехмерную фигуру, которая включает в себя сферу и все, что находится внутри сферы ( замкнутый шар ), или, чаще, только точки внутри , но не на сфере ( открытый шар ). Различие между шаром и сферойне всегда поддерживается, и особенно старые математические ссылки говорят о сфере как о твердом теле. Это аналогично ситуации на плоскости , где термины «круг» и «диск» также могут быть перепутаны.

Уравнения в трехмерном пространстве [ править ]

Два ортогональных радиуса сферы

В аналитической геометрии сфера с центром ( x 0 , y 0 , z 0 ) и радиусом r является геометрическим местом всех точек ( x , y , z ) таких, что

Пусть a, b, c, d, e - действительные числа с a ≠ 0, и положим

Тогда уравнение

не имеет реальных точек в качестве решений, если и называется уравнением мнимой сферы . Если единственным решением является точка, а уравнение называется уравнением точечной сферы . Наконец, в данном случае , это уравнение сферы с центром и радиусом . [2]

Если a в приведенном выше уравнении равно нулю, тогда f ( x , y , z ) = 0 - это уравнение плоскости. Таким образом, плоскость можно представить себе как сферу бесконечного радиуса, центр которой находится в бесконечности . [3]

Точки на сфере с радиусом и центром можно параметризовать с помощью

[4]

Параметр может быть связан с углом, отсчитываемым положительно от направления положительной оси z через центр к радиус-вектору, а параметр может быть связан с углом, отсчитываемым положительно от направления положительной оси x через центр к проекции радиус-вектора на плоскость xy .

Сфера любого радиуса с центром в нуле является интегральной поверхностью следующей дифференциальной формы :

Это уравнение отражает, что векторы положения и скорости точки ( x , y , z ) и ( dx , dy , dz ) , движущиеся по сфере, всегда ортогональны друг другу.

Сфера также может быть построена как поверхность, образованная вращением окружности вокруг любого диаметра . Поскольку круг - это особый тип эллипса , сфера - это особый тип эллипсоида вращения . Заменив круг эллипсом, вращающимся вокруг своей главной оси , фигура станет вытянутым сфероидом ; вращенный вокруг малой оси, сплюснутый сфероид. [5]

Закрытый том[ редактировать ]

Сфера и описанный цилиндр

В трех измерениях объем внутри сферы (то есть объем шара , но классически называемый объемом сферы) равен

где r - радиус, а d - диаметр сферы. Архимед впервые вывел эту формулу, показав, что объем внутри сферы в два раза больше объема между сферой и описанным цилиндром этой сферы (имеющей высоту и диаметр, равные диаметру сферы). [6] Это можно доказать, вписав конус в перевернутую полусферу, отметив, что площадь поперечного сечения конуса плюс площадь поперечного сечения сферы такая же, как и площадь поперечного сечения описывающий цилиндр и применяя принцип Кавальери . [7] Эта формула также может быть получена с помощью интегрального исчисления., Т.е. интеграция диска суммировать объемы с бесконечным числом из круговых дисков бесконечно малой толщины сложены бок о бок и по центру вдоль х оси х от х = - г до х = г , предполагая , что сфера радиуса г сосредоточена на источник.

При любом заданном x увеличивающийся объем ( δV ) равен произведению площади поперечного сечения диска в точке x на его толщину ( δx ):

Общий объем - это сумма всех дополнительных объемов:

В пределе, когда δx приближается к нулю, [8] это уравнение принимает вид:

В любом заданном x прямоугольный треугольник соединяет x , y и r с началом координат; следовательно, применение теоремы Пифагора дает:

Использование этой замены дает

которые можно оценить, чтобы дать результат

Альтернативная формула находится в сферических координатах с элементом объема

так

Для большинства практических целей объем внутри сферы, вписанной в куб, может быть приблизительно равен 52,4% от объема куба, поскольку V =π/6 d 3 , где d - диаметр сферы, а также длина стороны куба иπ/6 ≈ 0,5236. Например, сфера диаметром 1  м имеет 52,4% объема куба с длиной ребра 1  м или около 0,524 м 3 .

Площадь поверхности[ редактировать ]

Площадь поверхности сферы радиуса r равна:

Архимед впервые вывел эту формулу [9] из того факта, что проекция на боковую поверхность описанного цилиндра сохраняет площадь. [10] Другой подход к получению формулы исходит из того факта, что она равна производной формулы для объема по r, потому что полный объем внутри сферы радиуса r можно рассматривать как сумму площади поверхности бесконечное количество сферических оболочек бесконечно малой толщины, концентрически уложенных друг в друга от радиуса 0 до радиуса r. При бесконечно малой толщине расхождение между площадью внутренней и внешней поверхности любой заданной оболочки бесконечно мало, а элементарный объем на радиусе r является просто произведением площади поверхности на радиусе r и бесконечно малой толщины.

В любом заданном радиусе г , [примечание 1] инкрементный объем ( & Dgr ; v ) равно произведение площади поверхности на радиус г ( ( г ) ) , а толщина оболочки ( & Dgr ; r ):

Общий объем - это сумма всех объемов оболочки:

В пределе, когда δr стремится к нулю [8], это уравнение принимает вид:

Заменить V :

Дифференцируя обе части этого уравнения по r, получаем A как функцию от r :

Обычно это сокращается как:

где r теперь считается фиксированным радиусом сферы.

Как вариант, элемент площади на сфере задается в сферических координатах как dA = r 2 sin θ dθ dφ . В декартовых координатах элемент площади [ необходима ссылка ]

Таким образом, общая площадь может быть получена путем интегрирования :

Сфера имеет наименьшую площадь поверхности из всех поверхностей, которые охватывают данный объем, и включает в себя наибольший объем среди всех закрытых поверхностей с данной площадью поверхности. [11] Таким образом, сфера появляется в природе: например, пузырьки и маленькие капли воды имеют примерно сферическую форму, потому что поверхностное натяжение локально минимизирует площадь поверхности.

Площадь поверхности относительно массы шара называется удельной площадью поверхности и может быть выражена из приведенных выше уравнений как

где ρ - плотность (отношение массы к объему).

Кривые на сфере [ редактировать ]

Плоское сечение сферы: 1 круг
Коаксиальное пересечение сферы и цилиндра: 2 круга

Круги [ править ]

  • Пересечение сферы и плоскости - это круг, точка или пустота.

В случае круга круг можно описать параметрическим уравнением : см. Плоское сечение эллипсоида .

Но более сложные поверхности могут также пересекать сферу по кругу:

  • Непустое пересечение сферы с поверхностью вращения , ось которой содержит центр сферы ( соосны ), состоит из окружностей и / или точек.

На схеме показан случай, когда точка пересечения цилиндра и сферы состоит из двух окружностей. Если бы радиус цилиндра был равен радиусу сферы, пересечение было бы одним кругом, где обе поверхности касаются друг друга.

В случае сфероида с тем же центром и большой осью, что и сфера, пересечение будет состоять из двух точек (вершин), где поверхности касаются друг друга.

Кривые Клелии [ править ]

сферическая спираль с

Если сфера описывается параметрическим представлением

получаются кривые Клелии , если углы связаны уравнением

Особые случаи: кривая Вивиани ( ) и сферические спирали ( ), такие как спираль Зайфферта .

Локсодром [ править ]

Локсодромия

В навигации , локсодромия или локсодромия дуга пересечения всех меридианов по долготе под тем же углом. Линия румба - это не сферическая спираль. Нет простой связи между углами и .

Пересечение сферы с более общей поверхностью [ править ]

Общее пересечение сфера-цилиндр

Если сфера пересекается другой поверхностью, могут быть более сложные сферические кривые.

Пример
сфера - цилиндр

Пересечение сферы с уравнением и цилиндра с уравнением - это не просто одна или две окружности. Это решение нелинейной системы уравнений

(см. неявную кривую и диаграмму)

Геометрические свойства [ править ]

Сфера однозначно определяется четырьмя некомпланарными точками . В более общем смысле, сфера однозначно определяется четырьмя условиями, такими как прохождение через точку, касание к плоскости и т. Д. [12] Это свойство аналогично тому, что три неколлинеарных точки определяют уникальный круг на плоскости.

Следовательно, сфера однозначно определяется окружностью (то есть проходит через нее) и точкой, не лежащей в плоскости этой окружности.

Изучая общие решения уравнений двух сфер , можно увидеть, что две сферы пересекаются по окружности, и плоскость, содержащая этот круг, называется радикальной плоскостью пересекающихся сфер. [13] Хотя радикальная плоскость является реальной плоскостью, круг может быть воображаемым (у сфер нет общей реальной точки) или состоять из одной точки (сферы касаются в этой точке). [14]

Угол между двумя сферами в реальной точке пересечения - это двугранный угол, определяемый касательными плоскостями к сферам в этой точке. Две сферы пересекаются под одним и тем же углом во всех точках их круга пересечения. [15] Они пересекаются под прямым углом ( ортогональны ) тогда и только тогда, когда квадрат расстояния между их центрами равен сумме квадратов их радиусов. [3]

Карандаш сфер [ править ]

Если f ( x , y , z ) = 0 и g ( x , y , z ) = 0 - уравнения двух различных сфер, то

также является уравнением шара для произвольных значений параметров s и t . Набор всех сфер, удовлетворяющих этому уравнению, называется пучком сфер, определяемым исходными двумя сферами. В этом определении сфера может быть плоскостью (бесконечный радиус, центр в бесконечности), и если обе исходные сферы являются плоскостями, тогда все сферы пучка являются плоскостями, в противном случае в плоскости есть только одна плоскость (радикальная плоскость). карандаш. [3]

Терминология [ править ]

Сечения самолета [ править ]

Большой круг на сфере имеет тот же центр и радиус сферы , как-следовательно , делящей его на две равные части. В плоских сечениях шара называются сферической разделы- , которые являются либо большими кругами для самолетов через центр сферы или кружочков для всех остальных. [16]

Любая плоскость, которая включает центр сферы, делит ее на два равных полушария . Любые две пересекающиеся плоскости , которые включают в центр сферы подразделить на четыре сферы двуугольников или biangles, вершины которых совпадают с диаметрально противоположных точек , лежащих на линии пересечения плоскостей.

Ветви геометрии [ править ]

Неевклидово расстояние [ править ]

Любая пара точек на сфере, которые лежат на прямой, проходящей через центр сферы (т.е. диаметр), называются антиподальными точками - на сфере расстояние между ними равно половине длины окружности. [примечание 2] Любая другая (т. е. не антиподальная) пара различных точек на сфере.

  • лежать на уникальном большом круге,
  • сегментировать его на одну меньшую (т.е. более короткую) и одну большую (т.е. более длинную) дугу , и
  • длина вспомогательной дуги должна быть кратчайшим расстоянием между ними на сфере. [заметка 3]

Сферическая геометрия [примечание 4] имеет много свойств, аналогичных евклидовой, когда-то снабженной этим « расстоянием по дуге большого круга ».

Дифференциальная геометрия [ править ]

И гораздо более абстрактное обобщение геометрии также использует ту же концепцию расстояния в римановом круге .

Полушарие высказано предположение , что оптимальный ( не менее область) изометрическое заполнение римановой окружности.

Проективная геометрия [ править ]

Антиподальное частное сферы - это поверхность, называемая реальной проективной плоскостью , которую также можно рассматривать как северное полушарие с идентифицированными антиподальными точками экватора.

География [ править ]

Термины, заимствованные непосредственно из географии Земли , несмотря на то, что ее сфероидальная форма имеет большее или меньшее отклонение от идеальной сферы (см. Геоид ), широко понятны. В геометрии, не имеющей отношения к астрономическим телам, геоцентрическую терминологию следует использовать только для иллюстрации и отмечать как таковую, если нет возможности недопонимания.

Полюса, долгота и широта [ править ]

Если определенная точка на сфере (произвольно) обозначена как ее северный полюс , ее противоположная точка называется южным полюсом . Большой круг, равноудаленный каждому из них, является экватором . Большие круги, проходящие через полюса, называются линиями долготы (или меридианами ). Линия не на сфере, а через ее центр, соединяющая два полюса, может быть названа осью вращения . Окружности на сфере, параллельные экватору (т. Е. Не большие круги), являются линиями широты .

Обобщения [ править ]

Размерность [ править ]

Сферы можно обобщить на пространства любого числа измерений . Для любого натурального числа n « n- сфера», часто обозначаемая как S n , - это набор точек в ( n + 1 ) -мерном евклидовом пространстве, которые находятся на фиксированном расстоянии r от центральной точки этого пространства, где r , как и раньше, является положительным действительным числом. Особенно:

  • S 0 : 0-сфера - это пара концов отрезка [- r , r ] реальной прямой.
  • S 1 : 1-сфера - это окружность радиуса r
  • S 2 : 2-сфера - это обычная сфера
  • S 3 : 3-сфера - это сфера в 4-мерном евклидовом пространстве.

Сферы для n > 2 иногда называют гиперсферами .

П -сфера единичного радиуса с центром в начале координат обозначаются S п и часто упоминается как «» п -сферы. Обратите внимание, что обычная сфера - это 2-сфера, потому что это 2-мерная поверхность (которая вложена в 3-мерное пространство).

Площадь поверхности единичной ( n -1 ) -сферы равна

где Γ ( z ) - гамма-функция Эйлера .

Другое выражение для площади поверхности:

а объем - это площадь поверхности, умноженная на р/п или же

Общие рекурсивные формулы существуют также для объема n -шара .

Метрические пространства [ править ]

В более общем смысле, в метрическом пространстве ( E , d ) сфера с центром x и радиусом r > 0 - это набор точек y таких, что d ( x , y ) = r .

Если центр является выделенной точкой, которая считается началом E , как в нормированном пространстве, это не упоминается в определении и обозначениях. То же самое относится и к радиусу, если он принимается равным единице, как в случае единичной сферы .

В отличие от шара , даже большая сфера может быть пустым множеством. Например, в Z n с евклидовой метрикой сфера радиуса r непуста, только если r 2 можно записать как сумму n квадратов целых чисел .

Топология [ править ]

В топологии , п -сферы определяются как пространства , гомеоморфные к границе ( п + 1) -шар ; таким образом, он гомеоморфен евклидовой n- сфере, но, возможно, не имеет метрики .

  • 0-сфера - это пара точек с дискретной топологией .
  • 1-сфера - это круг (с точностью до гомеоморфизма); так, например, (образ) любого узла является 1-сферой.
  • 2-сфера - это обычная сфера (с точностью до гомеоморфизма); таким образом, например, любой сфероид является 2-сферой.

П -сферы обозначается S н . Это пример компактного топологического многообразия без края . Сфера не обязательно должна быть гладкой ; если он гладкий, он не обязательно диффеоморфен евклидовой сфере ( экзотической сфере ).

Из теоремы Гейне – Бореля следует, что евклидова n- сфера компактна. Сфера - это прообраз одноточечного множества при непрерывной функции || х || . Следовательно, сфера замкнута. S n также ограничен; поэтому он компактный.

Примечательно, что можно вывернуть обычную сферу наизнанку в трехмерном пространстве с возможными самопересечениями, но без образования складок, в процессе, называемом выворотом сферы .

Сферическая геометрия [ править ]

Большой круг на сфере

Основными элементами геометрии евклидовой плоскости являются точки и линии . На сфере точки определяются в обычном смысле. Аналог «линии» - геодезическая , представляющая собой большой круг ; Определяющей характеристикой большого круга является то, что плоскость, содержащая все его точки, также проходит через центр сферы. Измерение по длине дуги показывает, что кратчайший путь между двумя точками, лежащими на сфере, - это более короткий сегмент большого круга, который включает эти точки.

Многие теоремы классической геометрии верны и для сферической геометрии, но не все, потому что сфера не удовлетворяет некоторым постулатам классической геометрии , включая постулат параллельности . В сферической тригонометрии , углы определяются между большими кругами. Сферическая тригонометрия во многом отличается от обычной тригонометрии . Например, сумма внутренних углов сферического треугольника всегда превышает 180 градусов. Также любые два подобных сферических треугольника конгруэнтны.

Одиннадцать свойств сферы [ править ]

Вектор нормали к сфере, нормальной плоскости и ее нормальному сечению. Кривизна кривой пересечения - это кривизна секции. Для сферы каждое нормальное сечение через данную точку будет кругом того же радиуса: радиуса сферы. Это означает, что каждая точка на сфере будет точкой пуповины.

В своей книге геометрии и воображении , [17] Давид Гильберт и Кон-Фоссен описывают одиннадцать свойств сферы и обсудить однозначно ли эти свойства определяют сферу. Плоскость имеет ряд свойств , которую можно представить как сферу бесконечного радиуса. Эти свойства:

  1. Все точки на сфере находятся на одинаковом расстоянии от фиксированной точки. Также постоянным является отношение расстояния его точек от двух фиксированных точек.
    Первая часть представляет собой обычное определение сферы и однозначно определяет ее. Вторая часть может быть легко вывести и следует аналогичный результат из Apollonius Пергских для круга . Эта вторая часть также относится к самолету .
  2. Контуры и плоские сечения сферы представляют собой окружности.
    Это свойство однозначно определяет сферу.
  3. Сфера имеет постоянную ширину и постоянный обхват.
    Ширина поверхности - это расстояние между парами параллельных касательных плоскостей. Многие другие замкнутые выпуклые поверхности имеют постоянную ширину, например тело Мейснера . Обхват поверхности - это длина окружности границы ее ортогональной проекции на плоскость. Каждое из этих свойств подразумевает другое.
  4. Все точки сферы - омбилики .
    В любой точке поверхности нормальное направление находится под прямым углом к ​​поверхности, потому что сфера - это линии, исходящие из центра сферы. Пересечение плоскости, содержащей нормаль, с поверхностью образует кривую, которая называется нормальным сечением, а кривизна этой кривой является нормальной кривизной . Для большинства точек на большинстве поверхностей разные секции будут иметь разную кривизну; их максимальные и минимальные значения называются главными кривизнами . На любой замкнутой поверхности будет не менее четырех точек, называемых омбилическими точками . В шлангокабеле все кривизны в разрезе равны; в частности основные кривизныравны. Пупочные точки можно рассматривать как точки, где поверхность близко аппроксимируется сферой.
    Для сферы кривизны всех нормальных сечений равны, поэтому каждая точка является омбиликой. Сфера и плоскость - единственные поверхности с этим свойством.
  5. У сферы нет поверхности центров.
    Для данного нормального сечения существует окружность кривизны, равная кривизне сечения, касательная к поверхности, а центральные линии которой лежат на нормальной линии. Например, два центра, соответствующие максимальной и минимальной секционной кривизне, называются фокальными точками , а совокупность всех таких центров образует фокальную поверхность .
    Для большинства поверхностей фокальная поверхность образует два листа, каждый из которых является поверхностью и соединяется в точках шлангокабеля. Некоторые случаи особенные:
    * Для поверхностей каналов один лист образует кривую, а другой лист - поверхность
    * Для конусов , цилиндров, торов и циклидов оба листа образуют кривые.
    * Для сферы центр каждого соприкасающегося круга находится в центре сферы, а фокальная поверхность образует единую точку. Это свойство уникально для сферы.
  6. Все геодезические сферы - замкнутые кривые.
    Геодезические - это кривые на поверхности, которые дают кратчайшее расстояние между двумя точками. Они являются обобщением концепции прямой линии на плоскости. Для сферы геодезические - большие круги. Многие другие поверхности обладают этим свойством.
  7. Из всех твердых тел, имеющих данный объем, сфера имеет наименьшую площадь поверхности; из всех твердых тел с заданной площадью поверхности сфера имеет наибольший объем.
    Это следует из изопериметрического неравенства . Эти свойства однозначно определяют сферу, и их можно увидеть в мыльных пузырях : мыльный пузырь будет охватывать фиксированный объем, а поверхностное натяжение минимизирует его площадь поверхности для этого объема. Таким образом, свободно плавающий мыльный пузырь приближается к сфере (хотя такие внешние силы, как гравитация, немного искажают форму пузыря). Это также можно увидеть на планетах и ​​звездах, где гравитация минимизирует площадь поверхности больших небесных тел.
  8. Сфера имеет наименьшую общую среднюю кривизну среди всех выпуклых тел с данной площадью поверхности.
    Средняя кривизна представляет собой среднее из двух главных кривизна, который является постоянным , потому что две главными кривизны являются постоянными во всех точках сферы.
  9. Сфера имеет постоянную среднюю кривизну.
    Сфера - единственная вложенная поверхность, на которой отсутствуют границы или особенности с постоянной положительной средней кривизной. Другие такие погруженные поверхности, как минимальные, имеют постоянную среднюю кривизну.
  10. Сфера имеет постоянную положительную гауссову кривизну.
    Гауссова кривизна - это произведение двух основных кривизны. Это внутреннее свойство, которое можно определить путем измерения длины и углов, и оно не зависит от того, как поверхность встроена в пространство. Следовательно, изгиб поверхности не изменит гауссовой кривизны, а другие поверхности с постоянной положительной гауссовой кривизной могут быть получены путем вырезания небольшой щели в сфере и ее изгиба. Все эти другие поверхности будут иметь границы, и сфера - единственная поверхность, у которой отсутствует граница с постоянной положительной гауссовой кривизной. Псевдосфера является примером поверхности с постоянной отрицательной гауссовой кривизны.
  11. Сфера превращается в себя с помощью трехпараметрического семейства жестких движений.
    При вращении вокруг любой оси единичная сфера в начале координат отобразит сферу на себя. Любой поворот вокруг линии, проходящей через начало координат, может быть выражен как комбинация поворотов вокруг трехкоординатной оси (см. Углы Эйлера ). Следовательно, существует трехпараметрическое семейство вращений, при котором каждое вращение преобразует сферу в себя; это семейство - группа вращений SO (3) . Плоскость - единственная другая поверхность с трехпараметрическим семейством преобразований ( перемещения по осям x и y и повороты вокруг начала координат). Круглые цилиндры - единственные поверхности с двухпараметрическими семействами жестких движений и поверхностей вращения и геликоидов. являются единственными поверхностями с однопараметрическим семейством.

Галерея [ править ]

  • Изображение одной из самых точных сфер, созданных руками человека, поскольку оно преломляет изображение Эйнштейна на заднем плане. Эта сфера представляла собой гироскоп из плавленого кварца для эксперимента Gravity Probe B и по форме отличается от идеальной сферы не более чем на 40 атомов (менее 10 нм) толщиной. 1 июля 2008 года было объявлено, что австралийские ученые создали еще более почти идеальные сферы с точностью до 0,3 нм в рамках международной охоты за новым глобальным стандартным килограммом . [18]  

  • Колода игральных карт с изображением инженерных инструментов, Англия, 1702 год. Пиковый король : Сферы.

Регионы [ править ]

  • Сферическая крышка
  • Сферический многоугольник
  • Сферический сектор
  • Сферический сегмент
  • Сферический клин
  • Сферическая зона

См. Также [ править ]

  • 3-сфера
  • Аффинная сфера
  • Александр рогатый шар
  • Небесные сферы
  • Куб
  • Кривизна
  • Направленная статистика
  • Купол (математика)
  • Сфера Дайсона
  • Рука с отражающей сферой , рисунок автопортрета М.К. Эшера, иллюстрирующий отражение и оптические свойства зеркальной сферы
  • Сфера Хобермана
  • Сфера гомологии
  • Гомотопические группы сфер
  • Гомотопическая сфера
  • Гиперсфера
  • Ленарт Сфера
  • Проблема с кольцом для салфеток
  • Сфера (оптика)
  • Псевдосфера
  • Сфера Римана
  • Телесный угол
  • Упаковка сфер
  • Сферические координаты
  • Сферическая земля
  • Сферическая спираль, касательная индикатриса кривой постоянной прецессии
  • Сферическая оболочка
  • Сферичность
  • Теорема о теннисном мяче
  • Zoll сфера

Примечания и ссылки [ править ]

Примечания [ править ]

  1. ^ r рассматривается как переменная в этом вычислении.
  2. ^ Неважно, какое направление выбрано, расстояние равно радиусу сферы × π .
  3. ^ Расстояние между двумя неотличимыми точками (то есть точкой и самой собой) на сфере равно нулю.
  4. ^ Несмотря на то, что сфера не плоская, она двумерна, поскольку состоит только из поверхности твердого шара.

Ссылки [ править ]

  1. ^ σφαῖρα , Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский лексикон , о Персее.
  2. ^ а б Альберт 2016 , стр. 54.
  3. ^ a b c Woods 1961 , стр. 266.
  4. ^ Kreyszig (1972 , стр. 342).
  5. ^ Альберт 2016 , стр. 60.
  6. Steinhaus 1969 , стр. 223.
  7. ^ "Объем сферы - Math Central" . mathcentral.uregina.ca . Проверено 10 июня 2019 .
  8. ^ а б Э.Дж. Боровски; JM Borwein. Математический словарь Коллинза . стр. 141, 149. ISBN 978-0-00-434347-1.
  9. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Сфера" . MathWorld .
  10. Steinhaus 1969 , стр. 221.
  11. ^ Оссерман, Роберт (1978). «Изопериметрическое неравенство» . Бюллетень Американского математического общества . 84 : 1187 . Проверено 14 декабря 2019 .
  12. ^ Альберт 2016 , стр. 55.
  13. ^ Альберт 2016 , стр. 57.
  14. ^ Вудс 1961 , стр. 267.
  15. ^ Альберт 2016 , стр. 58.
  16. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Сферическое сечение" . MathWorld .
  17. ^ Гильберт, Дэвид ; Кон-Фоссен, Стефан (1952). Геометрия и воображение (2-е изд.). Челси. ISBN 978-0-8284-1087-8.
  18. ^ Новый ученый | Технологии | Созданы самые грубые объекты в мире .

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Альберт, Абрахам Адриан (2016) [1949], Solid Analytic Geometry , Dover, ISBN 978-0-486-81026-3.
  • Данэм, Уильям (1997). Математическая вселенная: путешествие по алфавиту через великие доказательства, проблемы и личности . Вайли . Нью-Йорк. стр.  28 , 226. Bibcode : 1994muaa.book ..... D . ISBN 978-0-471-17661-9.
  • Крейсциг, Эрвин (1972), Advanced Engineering Mathematics (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 978-0-471-50728-4.
  • Steinhaus, H. (1969), Mathematical Snapshots (Третье американское издание), Oxford University Press.
  • Вудс, Фредерик С. (1961) [1922], Высшая геометрия / Введение в передовые методы аналитической геометрии , Dover.

Внешние ссылки [ править ]

  • Mathematica / Равномерное сферическое распределение
  • Площадь поверхности доказательства сферы