В математике , А спираль представляет собой кривую , которая исходит из точки, двигаясь дальше , как она вращается вокруг точки. [1] [2] [3] [4]
Спирали
Два основных определения слова «спираль» в словаре американского наследия : [5]
- кривая на плоскости, которая огибает фиксированную центральную точку на постоянно увеличивающемся или уменьшающемся расстоянии от точки.
- трехмерная кривая, которая вращается вокруг оси на постоянном или непрерывно изменяющемся расстоянии при движении параллельно оси; спираль .
Первое определение описывает плоскую кривую, которая проходит в обоих перпендикулярных направлениях в своей плоскости; канавка на одной стороне пластинки очень похожа на плоскую спираль (и именно благодаря конечной ширине и глубине канавки, но не более широкому расстоянию между дорожками, чем внутри дорожек, она не является идеальным примером); Обратите внимание, что следующие друг за другом петли различаются диаметром. В другом примере, «центр линии» на руках у спиральных галактик следовых логарифмических спиралей .
Второе определение включает два вида трехмерных родственников спиралей:
- коническая или спиральная пружина (включая пружину, используемую для удержания и контакта с отрицательными выводами батареек AA или AAA в батарейном отсеке ), и вихрь, который создается, когда вода сливается в раковину, часто описывается как спираль, или в виде конической спирали.
- совершенно точно, определение 2 также включает цилиндрическую спиральную пружину и нить ДНК , обе из которых имеют довольно спиралевидную форму, так что «спираль» является более полезным описанием, чем «спираль» для каждого из них; в общем, «спираль» применяется редко, если последовательные «петли» кривой имеют одинаковый диаметр. [5]
На боковой картинке черная кривая внизу - это спираль Архимеда , а зеленая кривая - это спираль. Кривая, показанная красным, представляет собой коническую спираль.
Двумерный
Двумерный , или плоскость, спираль может быть описана наиболее легко с помощью полярных координат , где радиус является монотонной непрерывной функцией угла:
Круг можно рассматривать как вырожденный случай ( функция не является строго монотонной, а скорее постоянной ).
В --координатная кривая имеет параметрическое представление:
Примеры
Некоторые из наиболее важных видов двумерных спиралей включают:
- Резьб :
- Гиперболическая спираль :
- Спираль Ферма :
- Литуус :
- Логарифмическая спираль :
- Корень спираль или клотоида
- Спираль Фибоначчи и золотой спираль
- Спираль Theodorus : аппроксимация архимедовой спирали , состоящий из смежных прямоугольных треугольников
- Эвольвентная окружность, используется дважды на каждый зубе почти во всех современных снастях
Архимедова спираль
гиперболическая спираль
Спираль Ферма
литуус
логарифмическая спираль
Спираль Cornu
спираль Феодора
Спираль Фибоначчи (золотая спираль)
Эвольвента круга (черная) не идентична спирали Архимеда (красная).
Например, спираль Архимеда образуется при свертывании ковра. [6]
Гиперболическая спираль появляется как изображение спирали с помощью специальной центральной проекции (см схемы). Гиперболическую спираль иногда называют обратной спиралью, потому что это изображение архимедовой спирали с инверсией круга (см. Ниже). [7]
Название « логарифмическая спираль» связано с уравнением. Приближения к этому можно найти в природе.
Спирали, не вписывающиеся в эту схему первых 5 примеров:
Корень спираль имеет две асимптотических точки. Спираль Феодора представляет собой многоугольник. Фибоначчи спираль состоит из последовательности дуг окружности. Эвольвентный круг выглядит как Архимед, но это не так : см эвольвентных # Примеров .
Геометрические свойства
Следующие соображения относятся к спиралям, которые можно описать полярным уравнением , особенно для случаев (Архимедова, гиперболическая, ферма, спираль литууса) и логарифмическая спираль .
- Полярный угол наклона
Угол между касательной к спирали и соответствующим полярным кругом (см. диаграмму) называется углом полярного наклона иполярный склон .
Из векторного исчисления в полярных координатах получается формула
Отсюда наклон спирали является
В случае спирали Архимеда () полярный наклон равен
Логарифмическая спираль представляет собой особый случай, из - за постоянный !
- кривизна
Кривизна кривой с полярным уравнением является
Для спирали с один получает
В случае (Архимедова спираль) .
Только дляспираль имеет точку перегиба .
Кривизна логарифмической спирали является
- Площадь сектора
Площадь сектора кривой (см. Диаграмму) с полярным уравнением является
Для спирали с уравнением один получает
Формула логарифмической спирали является
- Длина дуги
Длина дуги кривой с полярным уравнением является
Для спирали длина
Не все эти интегралы можно решить с помощью подходящей таблицы. В случае спирали Ферма интеграл можно выразить только эллиптическими интегралами .
Длина дуги логарифмической спирали является
- Инверсия круга
Инверсии на единичной окружности имеют в полярных координатах простого описания:.
- Изображение спирали под инверсией на единичном круге изображена спираль с полярным уравнением . Например: спираль, обратная спирали Архимеда, - это гиперболическая спираль.
- Логарифмическая спираль отображается на логарифмическую спираль
Ограниченные спирали
Функция спирали, как правило , строго monotnic, непрерывна и ип ограничена . Для стандартных спиралейявляется либо степенной функцией, либо экспоненциальной функцией. Если выбратьограниченная функция спиральная ограничена, тоже. Подходящей ограниченной функцией является функция arctan :
- Пример 1
Параметр и выбор дает спираль, которая начинается в начале координат (как спираль Архимеда) и приближается к окружности с радиусом (диаграмма слева).
- Пример 2
Для а также получается спираль, которая приближается к началу координат (как гиперболическая спираль) и приближается к окружности с радиусом (диаграмма справа).
Трехмерный
Конические спирали
Если в --плоскость спирали с параметрическим представлением
задана, то можно добавить третью координату , такая, что пространственная кривая лежит на конусе с уравнением:
Спирали, основанные на этой процедуре, называются коническими спиралями .
- Пример
Начиная с архимедовой спирали получается коническая спираль (см. схему)
Сферические спирали
Если один представляет сферу радиуса от:
и устанавливает линейную зависимость для угловых координат получается сферическая кривая, называемая сферической спиралью [8] с параметрическим представлением (с равно удвоенному количеству витков)
Паппу были известны и сферические спирали.
Замечание: а локсодромия это не сферическая спираль в этом смысле.
Сферическая спираль
Локсодромия
Линия румба (также известная как локсодромия или «сферическая спираль») - это кривая на сфере, очерченная кораблем с постоянным пеленгом (например, при перемещении от одного полюса к другому при сохранении фиксированного угла относительно меридианов ). Локсодрома имеет бесконечное количество оборотов , причем расстояние между ними уменьшается по мере приближения кривой к любому из полюсов, в отличие от спирали Архимеда, которая поддерживает одинаковый межстрочный интервал независимо от радиуса.
В природе
Изучение спиралей в природе имеет долгую историю. Кристофер Рен заметил, что многие оболочки образуют логарифмическую спираль ; Ян Сваммердам наблюдал общие математические характеристики широкого диапазона раковин от спирали до спирулы ; и Генри Ноттидж Мозли описал математику раковин единичных моллюсков. В книге Д'Арси Вентворта Томпсона « О росте и форме» эти спирали подробно рассматриваются. Он описывает, как оболочки образуются путем вращения замкнутой кривой вокруг фиксированной оси: форма кривой остается неизменной, но ее размер увеличивается в геометрической прогрессии . В некоторых раковинах, таких как Nautilus и аммониты , образующая кривая вращается в плоскости, перпендикулярной оси, и раковина будет образовывать плоскую дискообразную форму. В других случаях следует перекос путь , образующий Helico -spiral узор. Томпсон также изучал спирали в рогах , зубах , когтях и растениях . [9] [ необходима страница ]
Модель рисунка цветочков на головке подсолнечника [10] была предложена Х. Фогелем. Это имеет вид
где n - порядковый номер цветочка, а c - постоянный коэффициент масштабирования и представляет собой форму спирали Ферма . Угол 137,5 ° - это золотой угол, который связан с золотым сечением и дает плотную упаковку цветков. [11]
Спирали у растений и животных часто называют мутовками . Это также название, данное спиралевидным отпечаткам пальцев .
Художественная визуализация спиральной галактики.
Кочан подсолнечника с цветочками, образующими спираль из 34 и 55 вокруг внешней стороны.
В лаборатории
Когда сульфат калия нагревают в воде и подвергают завихрению в химическом стакане, кристаллы образуют спиральную структуру с множеством рукавов, когда дают возможность осесть. [12]
Сульфат калия в растворе образует спиральную структуру.
Как символ
Спиралевидная форма была найдена в Мезине , Украина , как часть декоративного объекта, датируемого 10 000 годом до нашей эры. [ необходима цитата ]
Мотив спирали и тройной спирали является символом неолита в Европе ( мегалитические храмы Мальты ). Кельтский символ тройной спирали является фактически докельтским символом. [13] Он высечен в скале каменного ромба возле главного входа в доисторический памятник Ньюгрейндж в графстве Мит , Ирландия . Ньюгрейндж был построен около 3200 г. до н.э., раньше кельтов, а тройные спирали были вырезаны по крайней мере за 2500 лет до того, как кельты достигли Ирландии, но уже давно вошли в кельтскую культуру. [14] трискелион символ, состоящий из трех сблокированных спиралей или три согнутых ног человека, появляется во многих ранних культурах, в том числе микенских сосудов, на монетах в Ликии , на статеры из Памфилии (в Аспендосе , 370-333 до н.э.) и Писидия , как а также на геральдическом гербе на воинских щитах, изображенном на греческой керамике. [15]
Спирали можно встретить в доколумбовом искусстве Латинской и Центральной Америки. Более 1400 петроглифов (наскальных рисунков ) в Лас-Пласуэлас , Мексика , Гуанахуато , датируемых 750–1200 годами нашей эры, в основном изображают спирали, точечные фигуры и масштабные модели. [16] В Колумбии фигуры обезьян, лягушек и ящериц, изображенные на петроглифах или в виде золотых подношений, часто включают спирали, например, на ладонях. [17] В Нижней Центральной Америке спирали вместе с кругами, волнистыми линиями, крестами и точками являются универсальными символами петроглифов. [18] Спирали также можно найти среди линий Наска в прибрежной пустыне Перу, датируемых периодом с 200 г. до н.э. по 500 г. н.э. Геоглифы исчисляются тысячами и изображают животных, растений и геометрических мотивов, в том числе спиралей. [19]
Спиральные формы, в том числе свастика , трискеле и т. Д., Часто интерпретировались как солярные символы . [ необходима цитата ] Черепицы на крыше времен династии Тан с этим символом были найдены к западу от древнего города Чанъань (современный Сиань). [ необходима цитата ] [ требуется год ]
Спирали также являются символом гипноза , происходящим из клише людей и героев мультфильмов, которые загипнотизированы, глядя во вращающуюся спираль (одним из примеров является Каа в Диснеевской книге джунглей ). Они также используются как символ головокружения , когда глаза мультипликационного персонажа, особенно в аниме и манге , превращаются в спирали, чтобы показать, что он головокружен или ошеломлен. Спираль также встречается в структурах размером с двойную спираль ДНК и размером с галактику . Из-за этого частого естественного явления спираль является официальным символом Всемирного пантеистического движения . [20] Спираль также является символом диалектического процесса и диалектического монизма .
В искусстве
Спираль вдохновляла художников на протяжении веков. Среди самых известных произведений искусства, вдохновленных спиралями, - земляные работы Роберта Смитсона « Спиральная пристань » у Большого Соленого озера в Юте. [21] Тема спирали также присутствует в Спиральном резонансном поле Дэвида Вуда в Музее воздушных шаров в Альбукерке, а также в получившем признание критиков концептуальном альбоме Nine Inch Nails 1994 года The Downward Spiral . Спираль также является важной темой в аниме Гуррен Лаганн , где она представляет философию и образ жизни. Это также центральное место в творчестве Марио Мерца и Энди Голдсуорси. Спираль - центральная тема хоррор-манги « Узумаки » Джунджи Ито , где маленький прибрежный городок подвергся проклятию, включающему спирали. 2012 Часть разума Уэйн Бил также изображает большую спираль в этой книге снов и образов. [22] [ требуется полная ссылка ] [23] [ требуется проверка ]
Смотрите также
- Кельтский лабиринт (прямолинейная спираль)
- Концентрические круги
- ДНК
- Число Фибоначчи
- Гипогей Хал-Сафлиени
- Мегалитические храмы Мальты
- Узоры в природе
- Поверхность ракушки
- Спирангл
- Спиральная овощерезка
- Винтовая лестница
- Трискелион
Рекомендации
- ^ «Спираль | математика» . Британская энциклопедия . Проверено 8 октября 2020 .
- ^ «Спиральное определение (иллюстрированный математический словарь)» . www.mathsisfun.com . Проверено 8 октября 2020 .
- ^ "spiral.htm" . www.math.tamu.edu . Проверено 8 октября 2020 .
- ^ «Математические закономерности в природе» . Институт Франклина . 2017-06-01 . Проверено 8 октября 2020 .
- ^ a b " Spiral , Словарь английского языка американского наследия , компания Houghton Mifflin, четвертое издание, 2009 г."
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Архимедова спираль» . mathworld.wolfram.com . Проверено 8 октября 2020 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Гиперболическая спираль» . mathworld.wolfram.com . Проверено 8 октября 2020 .
- ^ Куно Fladt: Analytische Geometrie spezieller Flächen унд Raumkurven , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3322853659 , 9783322853653, S. 132
- ^ Томпсон, Д'Арси (1942) [1917]. О росте и форме . Кембридж: Издательство университета; Нью-Йорк: Макмиллан.
- ^ Бен Спаркс. «Геогебра: подсолнухи иррационально красивы» .
- ^ Прусинкевич, Пшемыслав ; Линденмайер, Аристид (1990). Алгоритмическая красота растений . Springer-Verlag. С. 101–107 . ISBN 978-0-387-97297-8.
- ^ Томас, Сунил (2017). «Сульфат калия при растворении в растворе образует спиральную структуру». Русский J Phys Chem Б . 11 : 195–198. DOI : 10.1134 / S1990793117010328 . S2CID 99162341 .
- ↑ Энтони Мерфи и Ричард Мур, Остров Заходящего Солнца: В поисках древних астрономов Ирландии, 2-е изд., Дублин: The Liffey Press, 2008, стр. 168-169
- ^ «Ньюгрейндж, Ирландия - Мегалитическая гробница - объект всемирного наследия» . Knowth.com. 21 декабря 2007 г. Архивировано 26 июля 2013 года . Проверено 16 августа 2013 .
- ^ Например, trislele на Ахиллес круглого щита "на чердаке конца шестого века гидрии в Бостонском музее изящных искусств , показанном на Джон Бордман, Джасперли Гриффина и Освины Мюррея, Грецию и эллинистический мир (Оксфорд история античного мира ) т. I (1988), стр. 50.
- ^ "Наскальное искусство Латинской Америки и Карибского бассейна" (PDF) . Международный совет по памятникам и достопримечательностям. Июнь 2006. с. 5. Архивировано 5 января 2014 года (PDF) . Проверено 4 января 2014 года .
- ^ "Наскальное искусство Латинской Америки и Карибского бассейна" (PDF) . Международный совет по памятникам и достопримечательностям. Июнь 2006. с. 99. Архивировано 5 января 2014 года (PDF) . Проверено 4 января 2014 года .
- ^ "Наскальное искусство Латинской Америки и Карибского бассейна" (PDF) . Международный совет по памятникам и достопримечательностям. Июнь 2006. с. 17. Архивировано (PDF) из оригинала 5 января 2014 года . Проверено 4 января 2014 года .
- ^ Джарус, Оуэн (14 августа 2012 г.). «Линии Наски: загадочные геоглифы Перу» . LiveScience. Архивировано 4 января 2014 года . Проверено 4 января 2014 года .
- ^ Харрисон, Пол. «Пантеистическое искусство» (PDF) . Мировое пантеистическое движение . Проверено 7 июня 2012 года .
- ^ Израиль, Нико (2015). Спирали: закрученный образ в литературе и искусстве двадцатого века . Издательство Нью-Йоркского Колумбийского университета. С. 161–186. ISBN 978-0-231-15302-7.
- ^ 2012 Часть разума Уэйн Бил
- ^ http://www.blurb.com/distribution?id=573100/#/project/573100/project-details/edit (требуется подписка)
Связанные публикации
- Кук Т., 1903. Спирали в природе и искусстве . Природа 68 (1761), 296.
- Кук, Т., 1979. Кривые жизни . Дувр, Нью-Йорк.
- Хабиб, З., Сакаи, М., 2005. Кривые спирального перехода и их приложения . Scientiae Mathematicae Japonicae 61 (2), 195 - 206.
- Димулё, Сарпоно; Хабиб, Зульфикар; Сакаи, Манабу (2009). «Справедливый кубический переход между двумя окружностями, при этом одна окружность находится внутри или касается другой». Численные алгоритмы . 51 (4): 461–476. DOI : 10.1007 / s11075-008-9252-1 . S2CID 22532724 .
- Харари, Г., Таль, А., 2011. Естественная трехмерная спираль . Форум компьютерной графики 30 (2), 237 - 246 [1] .
- Сюй, Л., Молд, Д., 2009. Магнитные кривые: эстетические кривые, контролируемые кривизной, с использованием магнитных полей . В: Деуссен, О., Холл, П. (ред.), Вычислительная эстетика в графике, визуализации и визуализации. Еврографическая ассоциация [2] .
- Ван, Юйлинь; Чжао, Бинъянь; Чжан, Лузоу; Сюй, Цзячуань; Ван, Канчанг; Ван, Шучунь (2004). «Создание хороших кривых с использованием монотонных элементов кривизны». Компьютерный геометрический дизайн . 21 (5): 515–527. DOI : 10.1016 / j.cagd.2004.04.001 .
- Курносенко, А. (2010). «Применение инверсии для построения плоских рациональных спиралей, удовлетворяющих двухточечным данным Эрмита G2». Компьютерный геометрический дизайн . 27 (3): 262–280. arXiv : 0902.4834 . DOI : 10.1016 / j.cagd.2009.12.004 .
- А. Курносенко. Двухточечная интерполяция Эрмита G2 со спиралями путем обращения гиперболы . Компьютерное геометрическое проектирование, 27 (6), 474–481, 2010.
- Миура, К.Т., 2006. Общее уравнение эстетических кривых и его самоаффинность . Компьютерное проектирование и приложения 3 (1–4), 457–464 [3] .
- Миура, К., Соне, Дж., Ямасита, А., Канеко, Т., 2005. Вывод общей формулы эстетических кривых . В: 8-я Международная конференция по людям и компьютерам (HC2005). Айзу-Вакамуцу, Япония, стр. 166–171 [4] .
- Кроткий, DS; Уолтон, ди-джей (1989). «Использование спиралей Корню для рисования плоских кривых контролируемой кривизны» . Журнал вычислительной и прикладной математики . 25 : 69–78. DOI : 10.1016 / 0377-0427 (89) 90076-9 .
- Томас, Сунил (2017). «Сульфат калия при растворении в растворе образует спиральную структуру». Русский Журнал физической химии B . 11 : 195–198. DOI : 10.1134 / S1990793117010328 . S2CID 99162341 .
- Фарин, Джеральд (2006). «Кривые Безье класса А». Компьютерный геометрический дизайн . 23 (7): 573–581. DOI : 10.1016 / j.cagd.2006.03.004 .
- Фаруки, Р.Т., 1997. Пифагорово-годографические пятые переходные кривые монотонной кривизны . Компьютерное проектирование 29 (9), 601–606.
- Йошида, Н., Сайто, Т., 2006. Интерактивные эстетические сегменты кривой . Визуальный компьютер 22 (9), 896–905 [5] .
- Йошида, Н., Сайто, Т., 2007. Квазиэстетические кривые в рациональных кубических формах Безье . Компьютерное проектирование и приложения 4 (9–10), 477–486 [6] .
- Зиатдинов, Р., Йошида, Н., Ким, Т., 2012. Аналитические параметрические уравнения логарифмических эстетических кривых в терминах неполных гамма-функций . Компьютерное геометрическое проектирование 29 (2), 129–140 [7] .
- Зиатдинов, Р., Йошида, Н., Ким, Т., 2012. Подгонка многоспиральной переходной кривой G2, соединяющей две прямые , Компьютерное проектирование 44 (6), 591–596 [8] .
- Зятдинов, Р., 2012. Семейство суперспиралей с полностью монотонной кривизной, заданное в терминах гипергеометрической функции Гаусса . Компьютерное геометрическое проектирование 29 (7): 510–518, 2012 [9] .
- Зиатдинов, Р., Миура К.Т., 2012. О разнообразии плоских спиралей и их применении в автоматизированном проектировании . European Researcher 27 (8-2), 1227–1232 [10] .
Внешние ссылки
- Jamnitzer -Galerie: 3D-Спираль
- SpiralZoom.com , образовательный сайт о науке формирования узоров, спиралях в природе и спиралях в мифическом воображении.
- Спирали Юргена Кёллера
- Спирали - сборник "Энциклопедия жизни" с примерами спиралей в природе.
- Спираль Архимеда трансформируется в спираль Галилея. Михаил Гайченков, OEIS
- Образовательная веб-страница, соединяющая спирали с природой, искусством и узорами.
- Texto en Espiral