Спираль Теодора

Спираль Теодора до треугольника с гипотенузой

{\ displaystyle {\ sqrt {17}}}

В геометрии , то спираль Theodorus (также называемой квадратным корень спираль , Эйнштейн спирали или Пифагор спирали ) ^[1] представляет собой спираль , состоящая из правильных треугольников , расположенная от края до края. Он был назван в честь Феодора Киренского .

Строительство [ править ]

Спираль начинается с равнобедренного прямоугольного треугольника, каждая ножка которого имеет единичную длину . Образуется другой прямоугольный треугольник, автомедианный прямоугольный треугольник, в котором одно катето является гипотенузой предыдущего треугольника (с длиной √ 2 ), а другое катетом имеет длину 1; длина гипотенузы этого второго треугольника равна √ 3 . Затем процесс повторяется; п - й треугольник в последовательности представляет собой прямоугольный треугольник с длинами сторон √ п и 1, а также с гипотенузой √ п + 1 . Например, у 16-го треугольника есть стороны размером 4 (=√ 16 ), 1 и гипотенуза √ 17 .

История и использование [ править ]

Хотя все работы Теодора были утеряны, Платон поместил Теодора в свой диалог Theaetetus , который рассказывает о его работах. Предполагается, что Теодор доказал, что все квадратные корни из неквадратных целых чисел от 3 до 17 иррациональны, с помощью Спирали Теодора. ^[2]

Платон не приписывает Теодору иррациональность квадратного корня из 2 , потому что он был хорошо известен до него. Теодор и Теэтет разделили рациональные числа и иррациональные числа на разные категории. ^[3]

Гипотенуза [ править ]

Каждая из гипотену треугольников h _n дает квадратный корень из соответствующего натурального числа , причем h ₁ = √ 2 .

Платон, наставник Теодора, спросил, почему Теодор остановился на √ 17 . Обычно считается, что причина в том, что гипотенуза √ 17 принадлежит последнему треугольнику, который не перекрывает фигуру. ^[4]

Перекрытие [ править ]

В 1958 году Эрих Тойфель доказал, что никакие две гипотенузы никогда не совпадут, независимо от того, как далеко продолжается спираль. Кроме того, если стороны единицы длины вытянуты в линию , они никогда не пройдут через другие вершины общей фигуры. ^[4]^[5]

Расширение [ править ]

Цветная протяженная спираль Феодора со 110 треугольниками

Теодор остановил свою спираль в треугольнике с гипотенузой √ 17 . Если продолжить спираль до бесконечного числа треугольников, обнаружится еще много интересных характеристик.

Скорость роста [ править ]

Угол [ править ]

Если φ _n - угол n- го треугольника (или отрезка спирали), то:

{\ displaystyle \ tan \ left (\ varphi _ {n} \ right) = {\ frac {1} {\ sqrt {n}}}.}

Следовательно, рост угла φ _n следующего треугольника n равен: ^[1]

{\ displaystyle \ varphi _ {n} = \ arctan \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {n}}} \ right).}

Сумма углов первых k треугольников называется общим углом φ ( k ) для k- го треугольника. Он растет пропорционально квадратному корню из k с ограниченным поправочным членом c ₂ : ^[1]

{\ displaystyle \ varphi \ left (k \ right) = \ sum _ {n = 1} ^ {k} \ varphi _ {n} = 2 {\ sqrt {k}} + c_ {2} (k)}

куда

{\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} c_ {2} (k) = - 2,157782996659 \ ldots}

( OEIS : A105459 ).

Треугольник или отрезок спирали

Радиус [ править ]

Рост радиуса спирали в некотором треугольнике n равен

{\ displaystyle \ Delta r = {\ sqrt {n + 1}} - {\ sqrt {n}}.}

Архимедова спираль [ править ]

Спираль Теодора приближается к спирали Архимеда . ^[1] Так же, как расстояние между двумя витками спирали Архимеда равно математической константе пи , так же как количество витков спирали Теодора приближается к бесконечности , расстояние между двумя последовательными витками быстро приближается к π. ^[6]

Ниже представлена таблица, показывающая две обмотки спирали, приближающейся к пи:

№ обмотки:	Расчетное среднее расстояние намотки	Точность среднего расстояния намотки по сравнению с π
2	3,1592037	99,44255%
3	3,1443455	99,91245%
4	3,14428	99,91453%
5	3,142395	99,97447%
→ ∞	→ π	→ 100%

Как показано, только после пятой обмотки расстояние составляет 99,97% приближения к π. ^[1]

Непрерывная кривая [ править ]

Аналитическое продолжение Дэвиса Спирали Теодора, включая расширение в направлении, противоположном исходному (отрицательные числа узлов).

Вопрос о том, как интерполировать дискретные точки спирали Теодора с помощью гладкой кривой, был предложен и дан ответ в ( Davis 2001 , стр. 37–38) по аналогии с формулой Эйлера для гамма-функции в качестве интерполянта для факториальной функции. Дэвис нашел функцию

{\ displaystyle T (x) = \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1 + i / {\ sqrt {k}}} {1 + i / {\ sqrt {x + k} }}} \ qquad (-1 <x <\ infty)}

который в дальнейшем изучался его учеником Лидером ^[7] и Изерлесом (в приложении к ( Davis 2001 )). Аксиоматическая характеристика этой функции дана в ( Gronau 2004 ) как единственная функция, которая удовлетворяет функциональному уравнению

{\ displaystyle f (x + 1) = \ left (1 + {\ frac {i} {\ sqrt {x + 1}}} \ right) \ cdot f (x),}

начальное условие и монотонность как по аргументу, так и по модулю ; альтернативные условия и ослабления также изучаются там. Альтернативный вывод дан в ( Heuvers, Moak & Boursaw 2000 ). ${\ displaystyle f (0) = 1,}$

Аналитическое продолжение непрерывной формы спирали Теодора Дэвиса, которая простирается в противоположном направлении от начала координат, дано в ( Waldvogel 2009 ).

На рисунке узлы исходной (дискретной) спирали Теодора показаны маленькими зелеными кружками. Синие - это те, которые добавлены в направлении, противоположном спирали. На рисунке пронумерованы только узлы с целым значением полярного радиуса . Пунктирная окружность в начале координат - это окружность кривизны в точке . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle r_ {n} = \ pm {\ sqrt {| n |}}}$ ${\ displaystyle O}$ ${\ displaystyle O}$

См. Также [ править ]

Спираль Ферма
Список спиралей

Ссылки [ править ]

^ a b c d e Хан, Гарри К. "Упорядоченное распределение натуральных чисел по спирали квадратного корня". arXiv : 0712.2184 .
^ Нахин, Пол Дж. (1998), Воображаемая сказка: История [квадратного корня из минус единицы] , Princeton University Press, стр. 33, ISBN 0-691-02795-1
^ Платон; Дайд, Сэмюэл Уолтерс (1899), Теэтет Платона , Дж. Маклехоз, стр. 86–87.
^ a b Долго, Кейт. «Урок корневой спирали» . Архивировано из оригинального 11 апреля 2013 года . Проверено 30 апреля 2008 года .
^ Эрих Teuffel, Eine Eigenschaft дер Quadratwurzelschnecke, Math.-Phys. Семестр. 6 (1958), стр. 148-152.
^ Хан, Гарри К. (2008). «Распределение натуральных чисел, делящихся на 2, 3, 5, 7, 11, 13 и 17 по спирали квадратного корня». arXiv : 0801.4422 .
^ Лидер, JJ The Generalized Theodorus Iteration (диссертация), 1990, Университет Брауна

Дальнейшее чтение [ править ]

Дэвис, П.Дж. (2001), Спирали от Теодора к Хаосу , AK Peters / CRC Press
Гронау, Детлеф (март 2004), "Спираль Феодор", Американский Математический Месячный , Математическая ассоциация Америки, 111 (3): 230-237, DOI : 10,2307 / 4145130 , JSTOR 4145130
Heuvers, J .; Моак, DS; Boursaw, B (2000), "Функциональное уравнение спирали квадратного корня", в TM Rassias (ed.), Functional Equations and Inequalities , pp. 111–117
Вальдфогель, Йорг (2009), Аналитическое продолжение спирали Теодора (PDF)

[KAHN2-1] Хан, Гарри К. "Упорядоченное распределение натуральных чисел по спирали квадратного корня". arXiv : 0712.2184 .

[2] Нахин, Пол Дж. (1998), Воображаемая сказка: История [квадратного корня из минус единицы] , Princeton University Press, стр. 33, ISBN 0-691-02795-1

[3] Платон; Дайд, Сэмюэл Уолтерс (1899), Теэтет Платона , Дж. Маклехоз, стр. 86–87.

[LONG-4] Долго, Кейт. «Урок корневой спирали» . Архивировано из оригинального 11 апреля 2013 года . Проверено 30 апреля 2008 года .

[5] Эрих Teuffel, Eine Eigenschaft дер Quadratwurzelschnecke, Math.-Phys. Семестр. 6 (1958), стр. 148-152.

[6] Хан, Гарри К. (2008). «Распределение натуральных чисел, делящихся на 2, 3, 5, 7, 11, 13 и 17 по спирали квадратного корня». arXiv : 0801.4422 .

[7] Лидер, JJ The Generalized Theodorus Iteration (диссертация), 1990, Университет Брауна

[1]