Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Анимация стоячей волны ( красная ), созданная суперпозицией бегущей левой ( синяя ) и правой ( зеленая ) волн

В физике , А стоячая волна , также известная как стационарная волна , является волной , которая колеблется во время , но чья пиковой амплитуда профиль не перемещается в пространстве. Пиковая амплитуда колебаний волны в любой точке пространства постоянна во времени, а колебания в разных точках волны синфазны . Места, в которых абсолютное значение амплитуды минимально, называются узлами , а места, где абсолютное значение амплитуды является максимальным, называются пучностями .

Стоячие волны были впервые замечены Майклом Фарадеем в 1831 году. Фарадей наблюдал стоячие волны на поверхности жидкости в вибрирующем сосуде. [1] [2] Франц Мельде ввел термин «стоячая волна» (нем. Stehende Welle или Stehwelle ) около 1860 года и продемонстрировал это явление в своем классическом эксперименте с вибрирующими струнами. [3] [4] [5] [6]

Это явление может возникать из-за того, что среда движется в направлении, противоположном направлению волны, или может возникать в неподвижной среде в результате интерференции двух волн, движущихся в противоположных направлениях. Наиболее частой причиной стоячих волн является явление резонанса , при котором стоячие волны возникают внутри резонатора из-за интерференции между волнами, отраженными назад и вперед на резонансной частоте резонатора .

Для волн равной амплитуды, распространяющихся в противоположных направлениях, в среднем нет чистого распространения энергии .

Подвижная среда [ править ]

Каякеры на стоячей волне в национальном парке Грейт-Фолс .

Как пример первого типа, при определенных метеорологических условиях в атмосфере с подветренной стороны горных хребтов образуются стоячие волны . Такие волны часто используются пилотами планеров .

Стоячие волны и гидравлические прыжки также образуются на быстрых речных порогах и приливных течениях, таких как водоворот Saltstraumen . Многие стоячие волны на реке являются популярным местом для занятий речным серфингом .

Противодействующие волны [ править ]

Анализ переходных процессов затухающей бегущей волны, отражающейся от границы.

В качестве примера второго типа стоячая волна в линии передачи - это волна, в которой распределение тока , напряжения или напряженности поля формируется суперпозицией двух волн одной и той же частоты, распространяющихся в противоположных направлениях. Эффект представляет собой серию узлов (нулевое смещение ) и антиузлов (максимальное смещение ) в фиксированных точках вдоль линии передачи. Такая стоячая волна может образовываться, когда волна передается на один конец линии передачи и отражается от другого конца посредством Несоответствие импеданса , т. е. нарушение непрерывности, такое как обрыв цепи или короткое замыкание . [7] Неспособность линии передавать мощность на частоте стоячей волны обычно приводит к искажению затухания .

На практике потери в линии передачи и других компонентах означают, что идеальное отражение и чистая стоячая волна никогда не достигаются. В результате получается частичная стоячая волна , которая представляет собой суперпозицию стоячей и бегущей волн. Степень, в которой волна похожа либо на чистую стоячую волну, либо на чистую бегущую волну, измеряется коэффициентом стоячей волны (КСВ). [8]

Другой пример - стоячие волны в открытом океане, образованные волнами с одинаковым периодом волн, движущимися в противоположных направлениях. Они могут образовываться возле очагов штормов или в результате отражения волн от берега и являются источником микробаром и микросейсмов .

Математическое описание [ править ]

В этом разделе рассматриваются репрезентативные одномерные и двумерные случаи стоячих волн. Во-первых, пример струны бесконечной длины показывает, как одинаковые волны, распространяющиеся в противоположных направлениях, интерферируют, создавая стоячие волны. Затем два примера струн конечной длины с разными граничными условиями демонстрируют, как граничные условия ограничивают частоты, которые могут образовывать стоячие волны. Далее, пример звуковых волн в трубе демонстрирует, как те же принципы могут быть применены к продольным волнам с аналогичными граничными условиями.

Стоячие волны также могут возникать в двух- или трехмерных резонаторах . В случае стоячих волн на двумерных мембранах, таких как барабанные пластинки , как показано на анимации выше, узлы становятся узловыми линиями, линиями на поверхности, на которых нет движения, которые разделяют области, вибрирующие с противоположной фазой. Эти узоры из узловых линий называются фигурами Хладни . В трехмерных резонаторах, таких как звуковые коробки музыкальных инструментов и полые микроволновые резонаторы , имеются узловые поверхности. Этот раздел включает пример двумерной стоячей волны с прямоугольной границей, чтобы проиллюстрировать, как расширить концепцию до более высоких измерений.

Стоячая волна на бесконечной струне [ править ]

Для начала рассмотрим строку бесконечной длины вдоль оси x, которую можно растянуть в поперечном направлении в направлении y .

Для гармонической волны, движущейся вправо вдоль струны, смещение струны в направлении y как функция положения x и времени t равно [9]

Смещение в направлении y для идентичной гармонической волны, бегущей влево, равно

куда

  • y max - амплитуда смещения струны для каждой волны,
  • ω - угловая частота или, что то же самое, в раз больше частоты f ,
  • λ - длина волны.

Для одинаковых бегущих вправо и влево волн на одной и той же струне полное смещение струны представляет собой сумму y R и y L ,

Используя тригонометрическое тождество суммы к произведению ,

Обратите внимание, что уравнение ( 1 ) не описывает бегущую волну. При любом положении х , у ( х , т ) просто осциллирует во время с амплитудой, изменяющейся в й -направлении качества . [9] Анимация в начале этой статьи показывает, что происходит. Поскольку бегущая влево синяя волна и бегущая вправо зеленая волна интерферируют, они образуют стоячую красную волну, которая не распространяется, а вместо этого колеблется на месте.

Поскольку струна имеет бесконечную длину, у нее нет граничных условий для ее смещения в любой точке вдоль оси x . В результате стоячая волна может образовываться на любой частоте.

В местах на оси x , которые даже кратны четверти длины волны,

амплитуда всегда равна нулю. Эти места называются узлами . В местах на оси x , нечетных кратных четверти длины волны

амплитуда максимальна, ее значение в два раза больше амплитуды бегущих вправо и влево волн, которые мешают формировать эту картину стоячей волны. Эти места называются антиузлами . Расстояние между двумя последовательными узлами или анузлами составляет половину длины волны λ / 2.

Стоячая волна на веревке с двумя закрепленными концами [ править ]

Далее рассмотрим строку с фиксированными концами в х = 0 и х = L . Струна будет иметь некоторое демпфирование, поскольку она растягивается бегущими волнами, но предположим, что демпфирование очень мало. Предположим, что к фиксированному концу x = 0 приложена синусоидальная сила, которая перемещает струну вверх и вниз в направлении y с небольшой амплитудой на некоторой частоте f . В этой ситуации движущая сила создает бегущую вправо волну. Эта волна отражаетот правого фиксированного конца и возвращается влево, снова отражается от левого фиксированного конца и возвращается вправо, и так далее. В конце концов, достигается установившееся состояние, при котором струна имеет одинаковые бегущие вправо и влево волны, как и в случае бесконечной длины, а мощность, рассеиваемая за счет демпфирования в струне, равна мощности, подаваемой движущей силой, поэтому волны имеют постоянную амплитуду.

Уравнение ( 1 ) по-прежнему описывает структуру стоячей волны, которая может образоваться на этой струне, но теперь уравнение ( 1 ) подчиняется граничным условиям, когда y = 0 при x = 0 и x = L, поскольку струна зафиксирована на x = L и потому что мы предполагаем, что движущая сила на фиксированном конце x = 0 имеет небольшую амплитуду. Проверяя значения y на двух концах,

Стоячие волны в струне - основная мода и первые 5 гармоник .

Последнее граничное условие выполняется, когда . L задано, поэтому граничное условие ограничивает длину волны стоячих волн значением [10]

Волны могут образовывать только стоячие волны на этой строке , если они имеют длину волны , которая удовлетворяет этому связь с L . Если волны движутся по струне со скоростью v , то эквивалентным образом частота стоячих волн ограничивается [10] [11]

Стоячая волна с n = 1 колеблется на основной частоте и имеет длину волны, которая в два раза превышает длину струны. Более высокие целые значения n соответствуют режимам колебаний, называемым гармониками или обертонами . Любая стоячая волна на струне будет иметь n + 1 узел, включая фиксированные концы и n пучностей.

Чтобы сравнить узлы этого примера с описанием узлов для стоячих волн в цепочке бесконечной длины, обратите внимание, что уравнение ( 2 ) можно переписать как

В этом варианте выражения для длины волны n должно быть четным. Крест умножения мы видим , что , поскольку L является узлом, это даже кратна четверти длины волны,

Этот пример демонстрирует тип резонанса, а частоты, которые создают стоячие волны, можно назвать резонансными частотами . [10] [12] [13]

Стоячая волна на веревке с одним фиксированным концом [ править ]

Затем рассмотрим ту же строку длины L , но на этот раз она зафиксирована только на x = 0 . При x = L струна может свободно двигаться в направлении y . Например, веревка может быть привязана в точке x = L к кольцу, которое может свободно скользить вверх и вниз по шесту. Струна снова имеет небольшое демпфирование и приводится в движение небольшой движущей силой при x = 0 .

В этом случае уравнение ( 1 ) по-прежнему описывает структуру стоячей волны, которая может образовываться на струне, и струна имеет то же граничное условие y = 0 при x = 0 . Однако при x = L, где струна может двигаться свободно, должен быть антиузел с максимальной амплитудой y . Рассматривая уравнение ( 1 ), при x = L наибольшая амплитуда y возникает, когда

Это приводит к другому набору длин волн, чем в примере с двумя фиксированными концами. Здесь длина стоячей волны ограничена

Аналогично, частота ограничена до

Обратите внимание, что в этом примере n принимает только нечетные значения. Поскольку L является анти-узел, он является нечетным кратным четверти длины волны. Таким образом, основная мода в этом примере имеет только одну четверть полного синусоидального цикла - ноль при x = 0 и первый пик при x = L - первая гармоника имеет три четверти полного синусоидального цикла и так далее.

Этот пример также демонстрирует тип резонанса, а частоты, вызывающие стоячие волны, называются резонансными частотами .

Стоячая волна в трубе [ править ]

Рассмотрим стоячую волну в трубе длиной L . Воздух внутри трубы служит средой для продольных звуковых волн, распространяющихся по трубе вправо или влево. В то время как поперечные волны на струне из предыдущих примеров различаются по своему смещению перпендикулярно направлению волнового движения, волны, распространяющиеся через воздух в трубе, различаются с точки зрения их давления и продольного смещения вдоль направления волнового движения. Волна распространяется путем попеременного сжатия и расширения воздуха в сегментах трубы, что немного смещает воздух из его положения покоя и передает энергию соседним сегментам за счет сил, создаваемых чередующимися высокими и низкими давлениями воздуха. [14]Уравнения, подобные уравнениям для волны на струне, могут быть записаны для изменения давления Δ p из-за бегущей вправо или влево волны в трубе.

куда

  • p max - амплитуда давления или максимальное увеличение или уменьшение давления воздуха из-за каждой волны,
  • ω - угловая частота или, что то же самое, в раз больше частоты f ,
  • λ - длина волны.

Если по трубе распространяются одинаковые бегущие вправо и влево волны, полученная суперпозиция описывается суммой

Обратите внимание, что эта формула для давления имеет ту же форму, что и уравнение ( 1 ), поэтому образуется стационарная волна давления, которая фиксируется в пространстве и колеблется во времени.

Если конец трубы закрыт, давление будет максимальным, поскольку закрытый конец трубы оказывает силу, ограничивающую движение воздуха. Это соответствует противоузлу давления. Если конец трубы открыт, колебания давления очень малы, что соответствует узлу давления. [15] [16] Точное расположение узла давления на открытом конце на самом деле немного превышает открытый конец трубы, поэтому эффективная длина трубы для определения резонансных частот немного больше, чем ее физическая длина. [17]В этом примере эта разница в длине игнорируется. Что касается отражений, открытые концы частично отражают волны обратно в трубу, позволяя выделять некоторую энергию в наружный воздух. В идеале закрытые концы отражают всю волну в обратном направлении. [17] [18]

Сначала рассмотрим трубу, которая открыта с обоих концов, например трубу открытого органа или флейту . Учитывая, что давление должно быть нулевым на обоих открытых концах, граничные условия аналогичны колонне с двумя закрепленными концами:

что происходит только при длине волны стоячих волн [17]

или эквивалентно, когда частота [17] [19]

где v - скорость звука .

Далее рассмотрим трубу, которая открыта и , следовательно , имеет узел давления при х = 0 и закрывается и , следовательно , имеет давление анти-узел при х = L . Примеры включают бутылку и кларнет . Эта труба имеет граничные условия, аналогичные колонне с одним закрепленным концом. Его стоячие волны имеют длину волны, ограниченную [17]

или, что то же самое, частота стоячих волн ограничена [20] [19]

Обратите внимание, что для случая, когда один конец закрыт, n принимает только нечетные значения, как и в случае строки, закрепленной только на одном конце.

Молекулярное представление стоячей волны с n = 2 для трубы, закрытой с обоих концов. Рассматривая продольное смещение, обратите внимание, что молекулы на концах и молекулы в середине не смещаются волной, представляя узлы продольного смещения. На полпути между узлами возникают пучности продольных смещений, в которых молекулы смещены максимально. Учитывая давление, обратите внимание, что молекулы максимально сжаты и расширены на концах и в середине, представляя собой антиузлы давления. На полпути между антиузлами находятся узлы давления, в которых молекулы не сжимаются и не расширяются при движении.

До сих пор волна была записана в терминах ее давления как функции положения x и времени. В качестве альтернативы, волна может быть записана в терминах ее продольного смещения воздуха, когда воздух в сегменте трубы слегка перемещается вперед и назад в направлении оси x, когда давление изменяется, а волны распространяются в одном или обоих направлениях. Изменение давления Δ p и продольное смещение s связаны соотношением [21]

где ρ - плотность воздуха. С точки зрения продольного смещения, закрытые концы труб соответствуют узлам, поскольку движение воздуха ограничено, а открытые концы соответствуют узлам, поскольку воздух может свободно перемещаться. [17] [22] Аналогичное, более легкое для визуализации явление происходит в продольных волнах, распространяющихся вдоль пружины. [23]

Мы также можем рассмотреть трубу, которая закрыта с обоих концов. В этом случае оба конца будут противоузлами давления или, что эквивалентно, оба конца будут узлами смещения. Этот пример аналогичен случаю , когда оба конца открыт, за исключением стоячей волны шаблон имеет π / 2 фазу сдвиг по й -направлению , чтобы сместить расположение узлов и пучность. Например, самая длинная резонирующая длина волны - основная мода - снова в два раза больше длины трубы, за исключением того, что на концах трубы есть антиузлы давления вместо узлов давления. Между концами находится один узел давления. В случае двух закрытых концов длина волны снова ограничивается

и частота снова ограничена

А трубка Рубенса обеспечивает способ визуализировать вариации давления стоячей волны в трубке с двумя закрытыми концами. [24]

2D стоячая волна с прямоугольной границей [ править ]

Затем рассмотрим поперечные волны, которые могут двигаться вдоль двумерной поверхности в пределах прямоугольной границы длиной L x в направлении x и длиной L y в направлении y . Примерами такого типа волн являются волны на воде в бассейне или волны на натянутом прямоугольном полотне. Волны смещают поверхность в z- направлении, где z = 0 определяется как высота неподвижной поверхности.

В двух измерениях и в декартовых координатах волновое уравнение имеет вид

куда

  • z ( x , y , t ) - смещение поверхности,
  • c - скорость волны.

Чтобы решить это дифференциальное уравнение, давайте сначала решим его преобразование Фурье с

Взяв преобразование Фурье волнового уравнения,

Это проблема собственных значений, когда частоты соответствуют собственным значениям, которые затем соответствуют частотно-зависимым режимам или собственным функциям. В частности, это форма уравнения Гельмгольца, и ее можно решить с помощью разделения переменных . [25] Предположим

Разделив уравнение Гельмгольца на Z ,

Это приводит к двум связанным обыкновенным дифференциальным уравнениям. Член x равен константе по отношению к x, которую мы можем определить как

Решая для X ( x ),

Эта зависимость от x является синусоидальной - напоминая формулу Эйлера - с константами A k x и B k x, определяемыми граничными условиями. Точно так же член y равен константе по отношению к y, которую мы можем определить как

и поэтому дисперсионное уравнение для этой волны имеет вид

Решая дифференциальное уравнение для члена y ,

Умножая эти функции вместе и применяя обратное преобразование Фурье, z ( x , y , t ) представляет собой суперпозицию режимов, где каждая мода является произведением синусоидальных функций для x , y и t ,

Константы, определяющие точные синусоидальные функции, зависят от граничных и начальных условий. Чтобы увидеть, как применяются граничные условия, рассмотрим такой пример, как лист, который был натянут, где z ( x , y , t ) должен быть равен нулю по всей прямоугольной границе. Для зависимости от x z ( x , y , t ) должен изменяться таким образом, чтобы он мог быть нулевым как при x = 0, так и при x = L x для всех значений y и t.. Как и в одномерном примере струны, закрепленной на обоих концах, синусоидальная функция, удовлетворяющая этому граничному условию, имеет вид

с k x ограничено

Аналогично, у зависимость г ( х , у , т ) должен быть равен нулю как при у = 0 и у = L у , которая удовлетворяет

Ограничение волновых чисел этими значениями также ограничивает резонирующие частоты до

Если начальные условия для z ( x , y , 0) и его производная по времени ż ( x , y , 0) выбраны так, чтобы t- зависимость была косинусоидальной функцией, то стоячие волны для этой системы принимают вид

Таким образом, стоячие волны внутри этой фиксированной прямоугольной границы колеблются во времени на определенных резонансных частотах, параметризованных целыми числами n и m . Поскольку они колеблются во времени, они не перемещаются, и их пространственное изменение является синусоидальным как в x-, так и в y- направлениях, так что они удовлетворяют граничным условиям. Основная мода, n = 1 и m = 1 , имеет единственную пучность в середине прямоугольника. Изменение n и m дает сложные, но предсказуемые двумерные модели узлов и пучностей внутри прямоугольника. [26]

Обратите внимание на дисперсионное соотношение, что в определенных ситуациях разные моды - означающие различные комбинации n и m - могут резонировать на одной и той же частоте, даже если они имеют разные формы для их x- и y- зависимостей. Например, если граница квадратная, L x = L y , моды n = 1 и m = 7 , n = 7 и m = 1 , и n = 5 и m = 5 все резонируют в

Вспоминая, что ω определяет собственное значение в приведенном выше уравнении Гельмгольца, количество мод, соответствующих каждой частоте, относится к кратности частоты как собственному значению.

Коэффициент стоячей волны, фаза и передача энергии [ править ]

Если две противоположно движущиеся бегущие волны имеют разную амплитуду, они не будут полностью подавляться в узлах, точках, где волны сдвинуты по фазе на 180 °, поэтому амплитуда стоячей волны не будет равна нулю в узлах, но только минимум. Коэффициент стоячей волны (КСВ) - это отношение амплитуды в пучности (максимум) к амплитуде в узле (минимум). Чистая стоячая волна будет иметь бесконечный КСВ. Он также будет иметь постоянную фазу в любой точке пространства (но может претерпевать инверсию на 180 ° каждые полцикла). Конечный ненулевой КСВ указывает на то, что волна является частично стационарной и частично бегущей. Такие волны можно разложить на суперпозициюдвух волн: составляющей бегущей волны и составляющей стационарной волны. КСВ, равный единице, указывает на то, что волна не имеет стационарной составляющей - это чисто бегущая волна, поскольку отношение амплитуд равно 1. [27]

Чистая стоячая волна не передает энергию от источника к месту назначения. [28] Однако волна по-прежнему подвержена потерям в среде. Такие потери будут проявляться в виде конечного КСВ, указывая на то, что компонент бегущей волны покидает источник, чтобы восполнить потери. Даже несмотря на то, что КСВ теперь конечен, все же может случиться так, что энергия не достигает места назначения, потому что движущийся компонент просто обеспечивает потери. Однако в среде без потерь конечный КСВ подразумевает определенную передачу энергии к месту назначения.

Примеры [ править ]

Один простой пример для понимания стоячих волн - это два человека, которые трясут один конец скакалки . Если они трясутся синхронно, веревка может образовывать регулярную структуру волн, колеблющихся вверх и вниз, с неподвижными точками вдоль веревки, где веревка почти неподвижна (узлы), и точками, где дуга веревки максимальна (пучности).

Акустический резонанс [ править ]

Гексагональное облако на северном полюсе Сатурна первоначально считалось стоячими волнами Россби . [29] Однако это объяснение недавно было оспорено. [30]

Стоячие волны также наблюдаются в физических средах, таких как струны и столбы воздуха. Любые волны, движущиеся по среде, будут отражаться назад, когда достигнут конца. Этот эффект наиболее заметен в музыкальных инструментах , где, при различных кратных вибрирующей струне или воздушной колонки «с собственной частотой , создаются стоячая волна, позволяя гармоники , которые будут определены. Узлы встречаются на фиксированных концах, а анузлы - на открытых. Если зафиксирован только на одном конце, доступны только гармоники с нечетными номерами. На открытом конце трубы противоузел не будет точно на конце, так как он изменяется из-за его контакта с воздухом, и поэтому коррекция концаиспользуется для его точного размещения. Плотность струны влияет на частоту, на которой будут воспроизводиться гармоники; чем больше плотность, тем ниже должна быть частота для создания стоячей волны той же гармоники.

Видимый свет [ править ]

Стоячие волны также наблюдаются в оптических средах, таких как оптические волноводы и оптические резонаторы . В лазерах используются оптические резонаторы в виде пары обращенных зеркал, которые составляют интерферометр Фабри – Перо . Средний коэффициент усиления в полости (такие как кристалл ) испускает свет когерентны , захватывающие стоячие волны света в полости. [31] Длина световой волны очень мала (в диапазоне нанометров , 10 -9 м), поэтому стоячие волны имеют микроскопические размеры. Одно из применений стоячих световых волн - измерение небольших расстояний с помощью оптических плоскостей .

Рентген [ править ]

Интерференция между рентгеновскими лучами может формировать поле стоячей волны рентгеновского излучения (XSW). [32] Из-за короткой длины волны рентгеновского излучения (менее 1 нанометра) это явление можно использовать для измерения событий атомного масштаба на поверхности материалов . XSW генерируется в области, где рентгеновский луч интерферирует с дифрагированным лучом от почти идеальной поверхности монокристалла или отражением от рентгеновского зеркала . Регулируя геометрию кристалла или длину волны рентгеновского излучения, XSW может перемещаться в пространстве, вызывая сдвиг рентгеновской флуоресценции или фотоэлектроннойвыход из атомов у поверхности. Этот сдвиг может быть проанализирован, чтобы точно определить местоположение определенного вида атомов относительно кристаллической структуры или поверхности зеркала. Метод XSW использовался для уточнения деталей атомарного масштаба примесей в полупроводниках, [33] атомной и молекулярной адсорбции на поверхности [34] и химических превращений, участвующих в катализе . [35]

Механические волны [ править ]

Стоячие волны можно механически вызвать в твердую среду с помощью резонанса. Один простой для понимания пример - это два человека, которые трясут оба конца скакалки. Если они трясутся синхронно, веревка будет образовывать регулярный узор с узлами и пучностями и будет казаться неподвижной, отсюда и название стоячей волны. Точно так же консольная балка может иметь стоячую волну, наложенную на нее путем применения базового возбуждения. В этом случае свободный конец перемещается вбок на наибольшее расстояние по сравнению с любым местом вдоль балки. Такое устройство можно использовать в качестве датчика для отслеживания изменений частоты или фазы резонанса волокна. Одно из приложений - это измерительный прибор для метрологии размеров . [36] [37]

Сейсмические волны [ править ]

Стоячие поверхностные волны на Земле наблюдаются как свободные колебания Земли .

Волны Фарадея [ править ]

Волны Фарадея является нелинейной стоячей волны на границе раздела воздух-жидкость , индуцированной гидродинамической неустойчивости. Его можно использовать в качестве шаблона на жидкой основе для сборки микромасштабных материалов. [38]

См. Также [ править ]

Волны [ править ]

  • Указатель волновых статей :
  • Амфидромная точка
  • Клапотис
  • Продольный режим
  • Режим синхронизации
  • Метахрональный ритм
  • Резонансные режимы комнаты
  • Seiche
  • Труба
  • Трубка Кундта

Электроника [ править ]

  • Указатель статей по электронике :
  • Полостной резонатор
  • Характеристический импеданс
  • Киматика
  • Импеданс
  • Нормальный режим

Примечания [ править ]

  1. ^ Элвин Скотт (редактор), Энциклопедия нелинейных наук , с. 683, Рутледж, 2006 ISBN  1135455589 .
  2. ^ Теодор Ю. Ву, "Устойчивость нелинейных волн, поддерживаемая резонансом", Нелинейная неустойчивость непараллельных потоков: Симпозиум IUTAM в Потсдаме, Нью-Йорк , с. 368, Springer, 2012 ISBN 3642850847 . 
  3. ^ Мельде, Франц. Ueber einige krumme Flächen, welche von Ebenen, parallel einer bestimmten Ebene, durchschnitten, als Durchschnittsfigur einen Kegelschnitt liefern: инаугурационная диссертация ... Кох, 1859.
  4. ^ Мельде, Франц. «Ueber die Erregung stehender Wellen eines fadenförmigen Körpers». Annalen der Physik 185, вып. 2 (1860): 193–215.
  5. ^ Мельде, Франц. Die Lehre von den Schwingungscurven ...: mit einem Atlas von 11 Tafeln in Steindruck. Дж. А. Барт, 1864.
  6. ^ Мельде, Франц. "Akustische Experimentaluntersuchungen". Annalen der Physik 257, вып. 3 (1884): 452–470.
  7. ^  Эта статья включает  материалы, являющиеся общественным достоянием, из документа Управления общих служб : «Федеральный стандарт 1037C» .
  8. ^ Блэксток, Дэвид Т. (2000), Основы физической акустики , Wiley – IEEE, стр. 141, ISBN 0-471-31979-1
  9. ^ a b Халлидей, Резник и Уокер 2005 , стр. 432.
  10. ^ a b c Холлидей, Резник и Уокер 2005 , стр. 434.
  11. ^ Serway & Faughn 1992 , стр. 472.
  12. ^ Serway & Faughn 1992 , стр. 475-476.
  13. ^ Резонанс струн . Цифровой звук и музыка. 21 мая 2014 г. Идентификатор видео на YouTube: oZ38Y0K8e-Y . Проверено 22 августа 2020 года .
  14. ^ Холлидей, Резник & Walker 2005 , стр. 450.
  15. Перейти ↑ Nave, CR (2016). «Стоячие волны» . Гиперфизика. Государственный университет Джорджии . Проверено 23 августа 2020 года .
  16. ^ Улицы 2010 , стр. 6.
  17. ^ Б с д е е Холлидей, Резник & Walker 2005 , с. 457.
  18. ^ Улицы 2010 , стр. 15.
  19. ^ a b Serway & Faughn 1992 , стр. 478.
  20. ^ Холлидей, Резник & Walker 2005 , стр. 458.
  21. ^ Холлидей, Резник & Walker 2005 , стр. 451.
  22. ^ Serway & Faughn 1992 , стр. 477.
  23. Томас-Палмер, Джонатан (16 октября 2019 г.). Демонстрация продольных стоячих волн . Перелистывание физики. Событие происходит в 4:11. Идентификатор видео на YouTube: 3QbmvunlQR0 . Проверено 23 августа 2020 года .
  24. Mold, Steve (13 апреля 2017 г.). Лучшее описание резонанса . YouTube. Событие происходит в 6:04. Идентификатор видео на YouTube: dihQuwrf9yQ . Проверено 23 августа 2020 года .
  25. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Дифференциальное уравнение Гельмгольца - декартовы координаты" . MathWorld - Интернет-ресурс Wolfram . Проверено 2 января 2021 года .
  26. ^ Галлис, Michael R. (15 февраля 2008). 2D модели стоячей волны (прямоугольные фиксированные границы) . Анимации для физики и астрономии. Государственный университет Пенсильвании. Также доступно как YouTube Video ID: NMlys8A0_4s . Проверено 28 декабря 2020 года .
  27. ^ RS Рао, СВЧ Engineering , стр. 153-154, PHI Learning, 2015 ISBN 8120351592 . 
  28. KA Tsokos, Physics for the IB Diploma , p. 251, Cambridge University Press, 2010 ISBN 0521138213 . 
  29. ^ Волна Динамическая интерпретация полярная область Сатурна Архивированные 2011-10-21 в Wayback Machine , М. Эллисон, Д. Годфри, РФ Биба, наука об. 247, стр. 1061 (1990)
  30. ^ Барбоса Агиар, Ana C. (2010). "Лабораторная модель северного полярного шестиугольника Сатурна". Икар . 206 (2): 755–763. Bibcode : 2010Icar..206..755B . DOI : 10.1016 / j.icarus.2009.10.022 .
  31. ^ Педротти, Франк L .; Педротти, Лено М. (2017). Введение в оптику (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-1108428262.
  32. ^ Баттерман, Борис В .; Коул, Хендерсон (1964). «Динамическая дифракция рентгеновских лучей на совершенных кристаллах». Обзоры современной физики . 36 (3): 681–717. Bibcode : 1964RvMP ... 36..681B . DOI : 10.1103 / RevModPhys.36.681 .
  33. ^ Batterman Борис W. (1969). «Обнаружение чужеродных атомных узлов по их рассеянию рентгеновской флуоресценции». Письма с физическим обзором . 22 (14): 703–705. Bibcode : 1969PhRvL..22..703B . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.22.703 .
  34. ^ Головченко, JA; Патель, младший; Каплан Д.Р .; Cowan, PL; Бедзык, MJ (1982). «Решение проблемы регистрации поверхности с помощью стоячих рентгеновских волн» (PDF) . Письма с физическим обзором . 49 (8): 560–563. Bibcode : 1982PhRvL..49..560G . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.49.560 .
  35. ^ Feng, Z .; Kim, C.-Y .; Элам, JW; Ma, Q .; Zhang, Z .; Бедзык, MJ (2009). «Прямое наблюдение в атомном масштабе динамики катионов, индуцированной окислительно-восстановительным потенциалом, в однослойном катализаторе на оксидной основе: WO x / α-Fe 2 O 3 (0001)». Варенье. Chem. Soc . 131 (51): 18200–18201. DOI : 10.1021 / ja906816y . PMID 20028144 . 
  36. ^ Bauza, Marcin B .; Хоккен, Роберт Дж .; Смит, Стюарт Т .; Вуди, Шейн С. (2005). «Разработка виртуального наконечника зонда с применением микромасштабных функций с высоким соотношением сторон». Обзор научных инструментов . 76 (9): 095112–095112–8. Bibcode : 2005RScI ... 76i5112B . DOI : 10.1063 / 1.2052027 .
  37. ^ «Точное машиностроение и производственные решения - IST Precision» . www.insitutec.com . Архивировано 31 июля 2016 года . Проверено 28 апреля 2018 .
  38. Перейти ↑ Chen, Pu (2014). «Сборка микромасштабов, управляемая жидким шаблоном» . Современные материалы . 26 (34): 5936–5941. DOI : 10.1002 / adma.201402079 . PMC 4159433 . PMID 24956442 .  

Ссылки [ править ]

  • Холлидей, Дэвид; Резник, Роберт; Уокер, Джерл (2005). Основы физики (7-е изд.). Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-42959-7.
  • Serway, Raymond A .; Фаун, Джерри С. (1992). Колледж физики (3-е изд.). Издательство колледжа Сондерс. ISBN 0-03-076377-0.
  • Улицы, J. (2010). «Глава 16 - Суперпозиция и стоячие волны» (PDF) . Кафедра физики. PHYS122 Основы физики II. Университет Мэриленда . Проверено 23 августа 2020 года .