Лемма Штейн , [1] назван в честь Чарльза Штейна , является теорема о теории вероятностей , что представляет интерес в первую очередь из - за ее применения в статистических выводов - в частности, для оценки Джеймса-Стейна и эмпирические Байеса методы - и ее приложения в портфель теория выбора . Теорема дает формулу ковариации одной случайной величины со значением функции другой, когда две случайные величины совместно нормально распределены .
Утверждение леммы
Предположим, что X - нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием μ и дисперсией σ 2 . Далее предположим, что g - функция, для которой существуют два ожидания E ( g ( X ) ( X - μ)) и E ( g ′ ( X )). (Существование ожидания любой случайной величины равносильно конечности ожидания ее абсолютного значения .) Тогда
В общем, предположим, что X и Y совместно нормально распределены. потом
Доказательство
Одномерная функция плотности вероятности для одномерного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1 имеет вид
а плотность для нормального распределения с математическим ожиданием μ и дисперсией σ 2 равна
Затем используйте интеграцию по частям .
Более общее заявление
Предположим, что X принадлежит экспоненциальному семейству , то есть X имеет плотность
Предположим, у этой плотности есть поддержка где может быть и, как , где - любая дифференцируемая функция такая, что или же если конечный. потом
Вывод такой же, как и в частном случае, а именно интегрирование по частям.
Если бы мы только знали имеет поддержку , тогда может случиться так, что но . Чтобы увидеть это, просто положите а также с бесконечными скачками к бесконечности, но все же интегрируемым Один такой пример может быть адаптирован из чтобы гладко.
Также существуют расширения для распределений с эллиптическими контурами. [2] [3] [4]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Ингерсолл, Дж., Теория принятия финансовых решений , Роуман и Литтлфилд, 1987: 13-14.
- ^ Селье, Доминик; Фурдринье, Доминик; Роберт, Кристиан (1989). «Робастные оценки усадки параметра местоположения для эллиптически симметричных распределений». Журнал многомерного анализа . 29 (1): 39–52. DOI : 10.1016 / 0047-259X (89) 90075-4 .
- ^ Хамада, Махмуд; Вальдес, Эмилиано А. (2008). «CAPM и ценообразование опционов с эллиптически очерченными распределениями». Журнал рисков и страхования . 75 (2): 387–409. CiteSeerX 10.1.1.573.4715 . DOI : 10.1111 / j.1539-6975.2008.00265.x .
- ^ Ландсман, Зиновий; Нешлехова, Йоханна (2008). «Лемма Штейна для эллиптических случайных векторов». Журнал многомерного анализа . 99 (5): 912––927. DOI : 10.1016 / j.jmva.2007.05.006 .