Волна Стокса

В гидродинамике волна Стокса представляет собой нелинейную и периодическую поверхностную волну на невязком слое жидкости постоянной средней глубины. Этот тип моделирования берет свое начало в середине 19 века, когда сэр Джордж Стоукс , используя подход ряда возмущений , теперь известный как разложение Стокса , получил приближенные решения для нелинейного волнового движения.

Теория волн Стокса имеет непосредственное практическое применение для волн на средних и глубоких водах. Используется при проектировании береговых и морских сооружений , для определения кинематики волнения ( высота свободной поверхности и скорости течения ). Кинематика волн впоследствии необходима в процессе проектирования для определения волновых нагрузок на конструкцию. ^[2] Для длинных волн (по сравнению с глубиной) — и при использовании лишь нескольких членов в разложении Стокса — его применимость ограничена волнами малой амплитуды . На таком мелководье кноидальная волнатеория часто обеспечивает лучшие приближения периодических волн.

В то время как в строгом смысле волна Стокса относится к прогрессивным периодическим волнам постоянной формы, этот термин также используется в связи со стоячими волнами ^[3] и даже для случайных волн . ^{[4] [5]}

В приведенных ниже примерах описываются волны Стокса под действием силы тяжести (без эффектов поверхностного натяжения ) в случае чисто волнового движения, то есть без окружающего среднего течения.

Согласно теории Стокса третьего порядка высота свободной поверхности η , потенциал скорости Φ, фазовая скорость (или быстрота) c и фаза волны θ равны для прогрессивной поверхностной гравитационной волны на глубокой воде, т. е. слой жидкости имеет бесконечную глубина: ^[6]

Параметр расширения ka известен как крутизна волны. Фазовая скорость увеличивается с увеличением нелинейности ka волн. Высота волны H , представляющая собой разность отметок поверхности η на гребне и впадине , равна: ^[7]

Возвышение поверхности глубоководной волны по теории третьего порядка Стокса . Крутизна волны: ka  = 0,3, где k — волновое число , a — амплитуда волны . Типичными для этих поверхностных гравитационных волн являются острые гребни и плоские впадины .

Испытания модели с периодическими волнами в резервуаре с волнами и буксиром в Лаборатории океанических инженерных исследований Джера А. Чейза, Университет Нью-Гэмпшира .

Волнистый бур и щенки у устья реки Арагуари на северо-востоке Бразилии. Вид наклонен в сторону рта с самолета на высоте примерно 100 футов (30 м). ^[1] Волны , следующие за фронтом ствола скважины, выглядят как медленно модулированные волны Стокса.

Стоксова волна третьего порядка в глубокой воде под действием силы тяжести. Крутизна волны: ka  = 0,3.

Согласно теории третьего порядка Стокса, три гармоники способствуют подъему поверхности глубоководной волны. Крутизна волны: ka  = 0,3. Для наглядности вертикальный масштаб искажается в четыре раза по сравнению с горизонтальным масштабом.
Описание:
• темно-синяя линия — возвышение поверхности стоксовой волны 3-го порядка,
• черная линия — основная компонента волны с волновым числом k ( длина волны λ, k  = 2π / λ),
• светло-синяя линия — гармоника при  2k (длина волны ½ λ), а
• красная линия — гармоника при  3k (длина волны ⅓ λ).

Отношение S = a ₂ / a амплитуды a ₂ гармоники с удвоенным волновым числом (2  k ) к амплитуде a основной гармоники согласно теории второго порядка Стокса для поверхностных гравитационных волн. По горизонтальной оси отложена относительная глубина воды h  / λ, где h — средняя глубина, а λ — длина волны , а по вертикальной оси — параметр Стокса S , деленный на крутизну волны ka (при k  = 2π / λ).
Описание:
• синяя линия действительна для произвольной глубины воды, а
• пунктирная красная линия — это предел для мелководья (глубина воды мала по сравнению с длиной волны), и
• штрих-пунктирная зеленая линия — это асимптотический предел для глубоководных волн.

Нелинейное увеличение фазовой скорости c  = ω /  k - согласно теории Стокса третьего порядка для поверхностных гравитационных волн и с использованием первого определения Стокса скорости - по сравнению с фазовой скоростью линейной теории c ₀ . По горизонтальной оси отложена относительная глубина воды h  / λ, где h — средняя глубина, а λ — длина волны , а по вертикальной оси — нелинейное увеличение фазовой скорости ( c  −  c ₀ ) /  c ₀ , деленное на квадрат крутизны волны ka . .
Описание:
• сплошная синяя линия действительна для произвольной глубины воды,
• пунктирная красная линия — это предел для мелководья (глубина воды мала по сравнению с длиной волны), и
• штрихпунктирная зеленая линия — это асимптотический предел для глубоководных волн.

Волны в следе Кельвина от корабля на реке Маас-Ваалканал в Нидерландах. Поперечные волны в этом следе Кельвина представляют собой почти плоские волны Стокса.

Корабль NOAA Delaware II в плохую погоду на берегу Джорджес . Хотя эти океанские волны являются случайными , а не волнами Стокса (в строгом смысле), они указывают на типичные острые гребни и плоские впадины , которые обнаруживаются в нелинейных поверхностных гравитационных волнах.

Справедливость нескольких теорий периодических волн на воде согласно Ле Меотэ (1976). ^[13] Светло-голубая область показывает область применимости теории кноидальных волн ; светло-желтый для волновой теории Эйри ; а пунктирные синие линии разграничивают требуемый порядок в волновой теории Стокса. Светло-серая заливка дает расширение диапазона за счет численных приближений с использованием теории функции тока пятого порядка для высоких волн ( H  > ¼ ​​H ₎ .

Некоторые интегральные свойства волн Стокса на глубокой воде в зависимости от крутизны волны. ^[23] Крутизна волны определяется как отношение высоты волны H к длине волны λ. Волновые свойства обезразмериваются с использованием волнового числа k = 2π/ λ , ускорения свободного падения g и плотности жидкости ρ .
Показаны плотность кинетической энергии T , плотность потенциальной энергии V , плотность полной энергии E  =  T  + V , плотность импульса горизонтальной волны I и относительное увеличение фазовой скорости c . Плотности волновой энергии T , V и E интегрируются по глубине и усредняются по одной длине волны, поэтому они являются энергиями на единицу горизонтальной площади; плотность волнового импульса I аналогична. Черные пунктирные линии показывают 1/16 ( kH ) ² и 1/8 ( kH ) ² , являющиеся значениями интегральных свойств, полученных из (линейной) волновой теории Эйри . Максимальная высота волны возникает при крутизне волны H /λ ≈ 0,1412 , выше которого периодические поверхностные гравитационные волны не существуют. ^[24]
Обратите внимание, что показанные волновые свойства имеют максимум для высоты волны, меньшей, чем максимальная высота волны (см., например , Longuet-Higgins 1975 ; Cokelet 1977 ).

Волны Стокса максимальной высоты волны на глубокой воде под действием силы тяжести.

Воспроизвести медиа

Анимация крутых волн Стокса в глубокой воде с длиной волны , примерно вдвое превышающей глубину воды, для трех последовательных волновых периодов . Высота волны составляет 90% от максимальной высоты волны.
Описание анимации : Белые точки — это жидкие частицы, за которыми следует время. В показанном здесь случае средняя эйлерова горизонтальная скорость ниже впадины волны равна нулю. ^[51]