Стокса поток

На объект, движущийся в газе или жидкости, действует сила, противоположная его движению. Конечная скорость достигается, когда сила сопротивления равна по величине, но противоположна по направлению силе, толкающей объект. Показана сфера в потоке Стокса при очень низком числе Рейнольдса .

Стокс поток (названный в честь Джорджа Габриэль Стокса ), также названный ползучий поток или ползущий , ^[1] представляет собой тип потока текучей среды , где адвективные инерционные силы малы по сравнению с вязкими силами. ^[2] число Рейнольдса является низким, то есть . Это типичная ситуация в потоках, где скорости жидкости очень малы, вязкость очень велика или масштабы потока очень малы. Ползучий поток был впервые изучен для понимания смазки . В природе этот тип течения встречается при плавании микроорганизмов и${\ Displaystyle \ mathrm {Re} \ ll 1}$сперма ^[3] и поток лавы . В технике это происходит в красках , устройствах MEMS и вообще в потоках вязких полимеров .

Уравнения движения для Стокса поток, называются уравнениями Стокса, являются линеаризацией из уравнений Навьего-Стокса , и таким образом могут быть решены с помощью ряда хорошо известных методов для линейных дифференциальных уравнений. ^[4] первичной функция Грина потока Стокса является стокслет , который связан с особой точкой силы , погруженной в Стоксе потока. Из его производных можно получить другие фундаментальные решения . ^[5] Стокслет был впервые выведен лауреатом Нобелевской премии Хендриком Лоренцем еще в 1896 году. Несмотря на свое название, Стокслет никогда не знал о Стокслете; название было придумано Хэнкоком в 1953 году.фундаментальные решения для обобщенных нестационарных течений Стокса и Озеена, связанных с произвольными нестационарными поступательными и вращательными движениями, были получены для ньютоновской ^[6] и микрополярной ^[7] жидкостей.

Уравнения Стокса [ править ]

Уравнение движения для потока Стокса может быть получено путем линеаризации стационарных уравнений Навье-Стокса . Предполагается, что силы инерции пренебрежимо малы по сравнению с силами вязкости, и устранение инерционных членов баланса импульса в уравнениях Навье – Стокса сводит его к балансу импульса в уравнениях Стокса: ^[1]

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ sigma + \ mathbf {f} = {\ boldsymbol {0}}}$

где - напряжение (сумма вязких напряжений и напряжений давления), ^{[8] [9]} и приложенная объемная сила. Полные уравнения Стокса также включают уравнение сохранения массы , обычно записываемое в форме:${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ mathbf {f}}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ набла \ cdot (\ rho \ mathbf {u}) = 0}$

где - плотность жидкости и скорость жидкости. Чтобы получить уравнения движения для потока несжимаемой жидкости, предполагается, что плотность является постоянной величиной.${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle \ rho}$

Кроме того, иногда можно рассматривать нестационарные уравнения Стокса, в которых член добавляется к левой части уравнения баланса импульса. ^[1]${\ displaystyle \ rho {\ frac {\ partial \ mathbf {u}} {\ partial t}}}$

Свойства [ править ]

Уравнения Стокса представляют собой значительное упрощение полных уравнений Навье – Стокса , особенно в несжимаемом ньютоновском случае. ^{[2] [4] [8] [9]} Они представляют собой упрощение в главном порядке полных уравнений Навье – Стокса, справедливых в выделенном пределе. ${\ displaystyle \ mathrm {Re} \ до 0.}$

Мгновенность

Поток Стокса не зависит от времени, кроме как через зависящие от времени граничные условия . Это означает, что, учитывая граничные условия потока Стокса, поток можно найти без знания потока в любое другое время.

Обратимость во времени

Непосредственное следствие мгновенности, обратимости во времени означает, что обращенный во времени поток Стокса решает те же уравнения, что и исходный поток Стокса. Это свойство иногда можно использовать (в сочетании с линейностью и симметрией граничных условий) для получения результатов о потоке, не решая его полностью. Обратимость по времени означает, что смешивание двух жидкостей с помощью ползучего потока затруднительно.

Обратимость во времени стоксовых потоков: краситель был введен в вязкую жидкость, зажатую между двумя концентрическими цилиндрами (верхняя панель). Затем стержневой цилиндр вращают, чтобы преобразовать краситель в спираль, если смотреть сверху. Краситель кажется смешанным с жидкостью, если смотреть сбоку (средняя панель). Затем вращение меняется на противоположное, приводя цилиндр в исходное положение. Краситель «размешивается» (нижняя панель). Реверс не идеален, потому что происходит некоторая диффузия красителя. ^{[10] [11]}

Хотя эти свойства верны для несжимаемых ньютоновских потоков Стокса, нелинейный и иногда зависящий от времени характер неньютоновских жидкостей означает, что они не выполняются в более общем случае.

Парадокс Стокса

Интересное свойство потока Стокса известно как парадокс Стокса : не может быть стоксовского потока жидкости вокруг диска в двух измерениях; или, что то же самое, тот факт, что нет нетривиального решения для уравнений Стокса вокруг бесконечно длинного цилиндра. ^[12]

Демонстрация обратимости времени [ править ]

Система Тейлора – Куэтта может создавать ламинарные потоки, в которых концентрические цилиндры жидкости движутся мимо друг друга по кажущейся спирали. ^[13] Жидкость, такая как кукурузный сироп с высокой вязкостью, заполняет зазор между двумя цилиндрами, при этом цветные участки жидкости видны через прозрачный внешний цилиндр. Цилиндры вращаются относительно друг друга с низкой скоростью, что вместе с высокой вязкостью жидкости и тонкостью зазора дает низкое число Рейнольдса , так что кажущееся смешение цветов на самом деле является ламинарным, а затем может быть обращено приблизительно к исходное состояние. Это создает впечатляющую демонстрацию кажущегося смешивания жидкости с последующим ее размешиванием путем изменения направления миксера на противоположное. ^{[14][15] [16]}

Несжимаемый поток ньютоновских жидкостей [ править ]

В общем случае несжимаемой ньютоновской жидкости уравнения Стокса принимают (векторизованный) вид:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mu \ nabla ^ {2} \ mathbf {u} - {\ boldsymbol {\ nabla}} p + \ mathbf {f} & = {\ boldsymbol {0}} \\ {\ полужирный символ {\ набла}} \ cdot \ mathbf {u} & = 0 \ конец {выровнено}}}$

где - скорость жидкости, - градиент давления , - динамическая вязкость, и приложенная объемная сила. Результирующие уравнения линейны по скорости и давлению, и поэтому могут использоваться различные средства решения линейных дифференциальных уравнений. ^[4]${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} p}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mathbf {f}}$

Декартовы координаты [ править ]

Расширяя вектор скорости, как и вектор объемной силы , мы можем явно записать векторное уравнение:${\displaystyle \mathbf {u} =(u,v,w)}$${\displaystyle \mathbf {f} =(f_{x},f_{y},f_{z})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial x}}+f_{x}&=0\\\mu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial y}}+f_{y}&=0\\\mu \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial z}}+f_{z}&=0\\{\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}+{\partial w \over \partial z}&=0\end{aligned}}}$

Мы приходим к этим уравнениям, делая предположения, что и плотность постоянна. ^[8]${\displaystyle \mathbb {P} =\mu \left({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)-p\mathbb {I} }$${\displaystyle \rho }$

Методы решения [ править ]

По функции потока [ править ]

Уравнение несжимаемого ньютоновского течения Стокса может быть решено методом функции тока в плоском или трехмерном осесимметричном случаях.

Тип функции	Геометрия	Уравнение	Комментарии
Функция потока ,${\displaystyle \psi }$	2-мерный плоский	${\displaystyle \nabla ^{4}\psi =0}$или ( бигармоническое уравнение )${\displaystyle \Delta ^{2}\psi =0}$	${\displaystyle \Delta }$является лапласовским оператором в двух измерениях
Функция тока Стокса ,${\displaystyle \Psi }$	3-D сферический	${\displaystyle E^{2}\Psi =0,}$ куда ${\displaystyle E={\partial ^{2} \over \partial r^{2}}+{\sin {\theta } \over r^{2}}{\partial \over \partial \theta }\left({1 \over \sin {\theta }}{\partial \over \partial \theta }\right)}$	Для вывода оператора см. Функцию потока Стокса # Завихренность${\displaystyle E}$
	3-х мерный цилиндрический	${\displaystyle L_{-1}^{2}\Psi =0,}$ куда ${\displaystyle L_{-1}={\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \rho ^{2}}}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}}$	Для Престола [17]${\displaystyle L_{-1}}$

По функции Грина: Стокслет [ править ]

Линейность Стокса в случае несжимаемой ньютоновской жидкости означает , что функция Грина , , существует. Функция Грина находится путем решения уравнений Стокса с заменой вынуждающего члена точечной силой, действующей в начале координат, и граничными условиями, исчезающими на бесконечности:${\displaystyle \mathbb {J} (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} -{\boldsymbol {\nabla }}p&=-\mathbf {F} \cdot \mathbf {\delta } (\mathbf {r} )\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {u} &=0\\|\mathbf {u} |,p&\to 0\quad {\mbox{as}}\quad r\to \infty \end{aligned}}}$

где - дельта-функция Дирака , а представляет точечную силу, действующую в начале координат. Решение для давления p и скорости u с | u | а p, равное нулю на бесконечности, дается формулой ^[1]${\displaystyle \mathbf {\delta } (\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \delta (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} \cdot \mathbb {J} (\mathbf {r} ),\qquad p(\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} \cdot \mathbf {r} }{4\pi |\mathbf {r} |^{3}}}}$

куда

${\displaystyle \mathbb {J} (\mathbf {r} )={1 \over 8\pi \mu }\left({\frac {\mathbb {I} }{|\mathbf {r} |}}+{\frac {\mathbf {r} \mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)}$- тензор второго ранга (или, точнее, тензорное поле ), известный как тензор Озеена (в честь Карла Вильгельма Озеена ). ^{[ требуется разъяснение ]}

Для описания используются термины Стокслета и решение с точечной силой . Подобно точечному заряду в электростатике , Стокслет лишен силы везде, кроме начала координат, где он содержит силу силы .${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbb {J} (\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {F} }$

Для непрерывного распределения силы (плотности) решение (снова исчезающее на бесконечности) может быть построено суперпозицией:${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {r} )=\int \mathbf {f} \left(\mathbf {r'} \right)\cdot \mathbb {J} \left(\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right)\mathrm {d} \mathbf {r'} ,\qquad p(\mathbf {r} )=\int {\frac {\mathbf {f} \left(\mathbf {r'} \right)\cdot \left(\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right)}{4\pi \left|\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right|^{3}}}\,\mathrm {d} \mathbf {r'} }$

Это интегральное представление скорости можно рассматривать как уменьшение размерности: от трехмерного уравнения в частных производных к двумерному интегральному уравнению для неизвестных плотностей. ^[1]

По решению Папковича – Нейбера [ править ]

Решение Папковича – Нейбера представляет поля скорости и давления несжимаемого ньютоновского стоксова потока в терминах двух гармонических потенциалов.

Методом граничных элементов [ править ]

Некоторые задачи, такие как эволюция формы пузырька в стоксовом потоке, позволяют численно решать методом граничных элементов . Этот метод может применяться как к 2-, так и к 3-мерным потокам.

Некоторые геометрические формы [ править ]

Поток Хеле-Шоу [ править ]

Течение Хеле-Шоу является примером геометрии, для которой силы инерции незначительны. Он определяется двумя параллельными пластинами, расположенными очень близко друг к другу, причем пространство между пластинами занято частично жидкостью, а частично препятствиями в виде цилиндров с генераторами, перпендикулярными пластинам. ^[8]

Теория стройного тела [ править ]

Теория тонких тел в стоксовом потоке представляет собой простой приближенный метод определения безвихревого поля обтекания тел, длина которых велика по сравнению с их шириной. Основа метода - выбрать такое распределение особенностей потока вдоль линии (поскольку тело тонкое) так, чтобы их безвихревое течение в сочетании с однородным потоком приблизительно удовлетворяло условию нулевой нормальной скорости. ^[8]

Сферические координаты [ править ]

Общее решение Лэмба вытекает из того факта, что давление удовлетворяет уравнению Лапласа и может быть разложено на серию твердых сферических гармоник в сферических координатах. В результате решение уравнений Стокса можно записать:${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} &=\sum _{n=-\infty ,n\neq 1}^{n=\infty }\left[{\frac {(n+3)r^{2}\nabla p_{n}}{2\mu (n+1)(2n+3)}}-{\frac {n\mathbf {x} p_{n}}{\mu (n+1)(2n+3)}}\right]+\sum _{n=-\infty }^{n=\infty }[\nabla \Phi _{n}+\nabla \times (\mathbf {x} \chi _{n})]\\p&=\sum _{n=-\infty }^{n=\infty }p_{n}\end{aligned}}}$

где и - твердые сферические гармоники порядка :${\displaystyle p_{n},\Phi _{n},}$${\displaystyle \chi _{n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(a_{mn}\cos m\phi +{\tilde {a}}_{mn}\sin m\phi )\\\Phi _{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(b_{mn}\cos m\phi +{\tilde {b}}_{mn}\sin m\phi )\\\chi _{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(c_{mn}\cos m\phi +{\tilde {c}}_{mn}\sin m\phi )\end{aligned}}}$

и - соответствующие полиномы Лежандра . Решение Лэмба можно использовать для описания движения жидкости внутри или вне сферы. Например, его можно использовать для описания движения жидкости вокруг сферической частицы с заданным поверхностным потоком, так называемого сквирмера , или для описания потока внутри сферической капли жидкости. Для внутренних потоков члены с опускаются, в то время как для внешних потоков члены с опускаются (часто для внешних потоков принято соглашение, чтобы избежать индексации по отрицательным числам). ^[1]${\displaystyle P_{n}^{m}}$${\displaystyle n<0}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle n\to -n-1}$

Теоремы [ править ]

Решение Стокса и связанная с ним теорема Гельмгольца [ править ]

Здесь резюмируется сопротивление сопротивлению движущейся сфере, также известное как решение Стокса. Для сферы радиуса , движущейся со скоростью в стоксовой жидкости с динамической вязкостью , сила сопротивления определяется выражением ^[8]${\displaystyle a}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle F_{D}}$

${\displaystyle F_{D}=6\pi \mu aU}$

Решение Стокса рассеивает меньше энергии, чем любое другое соленоидальное векторное поле с такими же граничными скоростями: это известно как теорема Гельмгольца о минимальной диссипации . ^[1]

Теорема взаимности Лоренца [ править ]

Теорема взаимности Лоренца устанавливает связь между двумя стоксовыми потоками в одной и той же области. Рассмотрим заполненную жидкостью область, ограниченную поверхностью . Пусть поля скоростей и решают уравнения Стокса в области , каждое с соответствующими полями напряжений и . Тогда имеет место следующее равенство:${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {u} '}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {\sigma } }$${\displaystyle \mathbf {\sigma } '}$

${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u} \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}'\cdot \mathbf {n} )dS=\int _{S}\mathbf {u} '\cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} )dS}$

Где находится единица нормали на поверхности . Теорема взаимности Лоренца может использоваться, чтобы показать, что поток Стокса «передает» неизменными полную силу и крутящий момент от внутренней замкнутой поверхности к внешней окружающей поверхности. ^[1] Теорема взаимности Лоренца также может использоваться, чтобы связать скорость плавания микроорганизма, такого как цианобактерии , с поверхностной скоростью, которая задается деформациями формы тела через реснички или жгутики . ^[18]${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle S}$

Законы Факсена [ править ]

В законах Faxén в прямых отношениях, выражающие мультипольные моменты с точкой зрения окружающего потока и его производных. Впервые разработанные Хильдингом Факсеном для расчета силы и крутящего момента на сфере, они приняли следующую форму:${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {T} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=6\pi \mu a\left(1+{\frac {a^{2}}{6}}\nabla ^{2}\right)\mathbf {v} ^{\infty }(\mathbf {x} )|_{x=0}-6\pi \mu a\mathbf {U} \\\mathbf {T} &=8\pi \mu a^{3}(\mathbf {\Omega } ^{\infty }(\mathbf {x} )-\mathbf {\omega } )|_{x=0}\end{aligned}}}$

где - динамическая вязкость, - радиус частицы, - окружающий поток, - скорость частицы, - угловая скорость фонового потока, - угловая скорость частицы.${\displaystyle \mu }$${\displaystyle a}$${\displaystyle \mathbf {v} ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbf {U} }$${\displaystyle \mathbf {\Omega } ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbf {\omega } }$

Законы Факсена можно обобщить для описания моментов других форм, таких как эллипсоиды, сфероиды и сферические капли. ^[1]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

• Окендон Х. и Окендон Дж. Р. (1995) Viscous Flow , Cambridge University Press. ISBN 0-521-45881-1 . 

Внешние ссылки [ править ]

• Видеодемонстрация обратимости во времени потока Стокса от UNM Physics and Astronomy