Стресс (механика)

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) ‹Приведенный ниже шаблон ( необходим эксперт ) рассматривается для удаления. См. Шаблоны для обсуждения, чтобы помочь достичь консенсуса. › Эта статья требует внимания специалиста по механике . Добавьте причину или параметр обсуждения в этот шаблон, чтобы объяснить проблему со статьей. WikiProject Mechanics может помочь нанять эксперта. ( Март 2013 г. ) Фактическая точность этой статьи оспаривается . Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . Пожалуйста, помогите обеспечить надежный источник спорных утверждений . ( Март 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Стресс
Остаточные напряжения внутри пластикового транспортира выявляются поляризованным светом .
Общие символы	σ
Единица СИ	Паскаль
Прочие единицы	фунт-сила на квадратный дюйм (фунт-сила / дюйм 2 ) psi, бар
В базовых единицах СИ	Па = кг ⋅ м -1 ⋅ с -2
Измерение	${\displaystyle {\mathsf {L}}^{-1}{\mathsf {M}}{\mathsf {T}}^{-2}}$

В механике сплошной среды , стресс является физической величиной , которая выражает внутренние силы , что соседние частицы из непрерывного материала оказывают друг на друга, в то время как штамм является мерой деформации материала. Например, когда сплошная вертикальная штанга поддерживает верхний груз , каждая частица в штанге давит на частицы, находящиеся непосредственно под ней. Когда жидкость находится в закрытом контейнере под давлением , каждая частица сталкивается со всеми окружающими частицами. Стенки контейнера и давление-индуцирующая поверхность (например, поршень) давит на них в (ньютоновской) реакции . Эти макроскопические силы на самом деле являются чистым результатом очень большого количества межмолекулярных сил и столкновений между частицами в этих молекулах . Напряжение часто обозначается строчной греческой буквой сигма ( σ ).

Деформация внутри материала может возникать в результате различных механизмов, таких как напряжение, приложенное внешними силами к массивному материалу (например, гравитация ) или к его поверхности (например, контактные силы , внешнее давление или трение ). Любая деформация (деформация) твердого материала создает внутреннее упругое напряжение , аналогичное силе реакции пружины , которое стремится вернуть материал в его исходное недеформированное состояние. В жидкостях и газах только деформации, которые изменяют объем, создают постоянное упругое напряжение. Однако, если деформация постепенно изменяется со временем, даже в жидкостях обычно возникает некоторое вязкое напряжение., выступая против этого изменения. Упругие и вязкие напряжения обычно объединяют под названием механическое напряжение .

Значительное напряжение может существовать, даже когда деформация незначительна или отсутствует (обычное предположение при моделировании потока воды). Напряжение может существовать и при отсутствии внешних сил; такое встроенное напряжение важно, например, в предварительно напряженном бетоне и закаленном стекле . Напряжение также может быть наложено на материал без приложения общих сил , например, из-за изменений температуры или химического состава или внешних электромагнитных полей (как в пьезоэлектрических и магнитострикционных материалах).

Связь между механическим напряжением, деформацией и скоростью изменения деформации может быть довольно сложной, хотя на практике может быть адекватным линейное приближение, если величины достаточно малы. Напряжение, превышающее определенные пределы прочности материала, приведет к необратимой деформации (например, пластическому течению , разрушению , кавитации ) или даже к изменению его кристаллической структуры и химического состава .

В некоторых отраслях техники термин « напряжение» иногда используется в более широком смысле как синоним «внутренней силы». Например, при анализе ферм это может относиться к общей силе тяги или сжатия, действующей на балку, а не к силе, деленной на площадь ее поперечного сечения .

История [ править ]

С древних времен люди осознавали стресс внутри материалов. До 17 века понимание стресса было в основном интуитивным и эмпирическим; и все же это привело к появлению некоторых удивительно сложных технологий, таких как композитный лук и выдувание стекла . ^[1]

В течение нескольких тысячелетий архитекторы и строители, в частности, научились соединять тщательно продуманные деревянные балки и каменные блоки, чтобы выдерживать, передавать и распределять нагрузку наиболее эффективным способом с помощью таких оригинальных устройств, как капители , арки , купола , фермы и т. Д. на контрфорсы из готических соборов .

Древние и средневековые архитекторы разработали некоторые геометрические методы и простые формулы для вычисления надлежащих размеров столбов и балок, но научное понимание напряжений стало возможным только после того, как в 17 и 18 веках были изобретены необходимые инструменты: строгие экспериментальные исследования Галилео Галилея метод , Рене Декарт «S координаты и аналитическую геометрию , и Ньютон » ы законы движения и равновесия и исчисления бесконечно малых . ^[2] С этими инструментами Огюстен-Луи Кошисмог дать первую строгую и общую математическую модель напряжения в однородной среде. ^{[ необходима цитата ]} Коши заметил, что сила, действующая на воображаемую поверхность, была линейной функцией ее вектора нормали; и, более того, что это должна быть симметричная функция (с нулевым полным импульсом). ^{[ необходима цитата ]}

Понимание напряжения в жидкостях началось с Ньютона, который предоставил дифференциальную формулу для сил трения (напряжения сдвига) в параллельном ламинарном потоке .

Обзор [ править ]

Определение [ править ]

Напряжение определяется как сила, действующая через «маленькую» границу на единицу площади этой границы для всех ориентаций границы. ^[3] Будучи производным от фундаментальной физической величины (силы) и чисто геометрической величины (площади), напряжение также является фундаментальной величиной, такой как скорость, крутящий момент или энергия , которые могут быть количественно определены и проанализированы без явного учета природы материальных или физических причин.

Следуя основным положениям механики сплошных сред, напряжение - это макроскопическое понятие. А именно, частицы, рассматриваемые в его определении и анализе, должны быть достаточно маленькими, чтобы их можно было рассматривать как однородные по составу и состоянию, но все же достаточно большими, чтобы игнорировать квантовые эффекты и детальные движения молекул. Таким образом, сила между двумя частицами на самом деле является средним значением очень большого числа атомных сил между их молекулами; и предполагается, что физические величины, такие как масса, скорость и силы, которые действуют через объем трехмерных тел, например гравитация, плавно распределены по ним. ^{[4] : с.90–106}В зависимости от контекста, можно также предположить, что частицы достаточно большие, чтобы позволить усреднить другие микроскопические особенности, такие как зерна металлического стержня или волокна куска дерева .

Количественно, стресс выражается Коши вектором тяги Т определяется как сила тяги F между соседними частями материала поперек воображаемой разделительной поверхности S , деленной на площадь S . ^{[5] : с.41–50} В ^{покоящейся} жидкости сила перпендикулярна поверхности и представляет собой знакомое давление . В твердом теле или в потоке вязкой жидкости сила F не может быть перпендикулярна S; следовательно, напряжение на поверхности следует рассматривать как векторную величину, а не как скаляр. Кроме того, направление и величина , как правило , зависят от ориентации S . Таким образом, напряженное состояние материала должно описываться тензором , называемым тензором напряжений (Коши) ; которая представляет собой линейную функцию , которая связывает вектор нормали п от поверхности S до напряжений Т через S . По отношению к любой выбранной системе координат тензор напряжений Коши может быть представлен в виде симметричной матрицы вещественных чисел 3 × 3. Даже в однородномbody тензор напряжений может меняться от места к месту и может меняться со временем; следовательно, напряжение в материале, как правило, является изменяющимся во времени тензорным полем .

Нормальное напряжение и напряжение сдвига [ править ]

В общем, стресс Т , что частица Р применяется на другую частицу Q по поверхности S может иметь любое направление относительно S . Вектор T можно рассматривать как сумму двух компонентов: нормального напряжения ( сжатия или растяжения ), перпендикулярного поверхности, и напряжения сдвига , параллельного поверхности.

Если единичный вектор нормали n поверхности (указывающий от Q к P ) предполагается фиксированным, нормальный компонент может быть выражен одним числом - скалярным произведением T · n . Это число будет положительным, если P « растягивает » Q (растягивающее напряжение), и отрицательным, если P «толкает» Q (сжимающее напряжение). Компонент сдвига тогда является вектором T - ( T · n ) n .

Единицы [ править ]

Размер напряжения - это размер давления , и поэтому его координаты обычно измеряются в тех же единицах, что и давление: а именно, паскалях (Па, то есть ньютонах на квадратный метр ) в Международной системе , или фунтах на квадратный дюйм (psi). в имперской системе . Поскольку механические напряжения легко превышают миллион паскалей, МПа, что означает мегапаскаль, является обычной единицей измерения напряжения.

Причины и последствия [ править ]

Напряжение в материальном теле может быть вызвано множеством физических причин, включая внешние воздействия и внутренние физические процессы. Некоторые из этих агентов (например, сила тяжести, изменения температуры и фазы , а также электромагнитные поля) действуют на основную массу материала, непрерывно меняясь в зависимости от положения и времени. Другие агенты (например, внешние нагрузки и трение, давление окружающей среды и контактные силы) могут создавать напряжения и силы, которые сосредоточены на определенных поверхностях, линиях или точках; и, возможно, также на очень коротких временных интервалах (например, в импульсах из-за столкновений). В активном веществе самодвижение микроскопических частиц порождает макроскопические профили напряжения. ^[7]В общем, распределение напряжений в теле выражается как кусочно- непрерывная функция пространства и времени.

Напротив, напряжение обычно коррелирует с различными воздействиями на материал, возможно, включая изменения физических свойств, таких как двулучепреломление , поляризация и проницаемость . Приложение напряжения внешним фактором обычно создает некоторую деформацию (деформацию) в материале, даже если она слишком мала для обнаружения. В твердом материале такая деформация, в свою очередь, вызовет внутреннее упругое напряжение, аналогичное силе реакции растянутой пружины , стремящейся восстановить материал в его исходное недеформированное состояние. Жидкие материалы (жидкости, газы и плазма) по определению может противодействовать только деформациям, которые могут изменить их объем. Однако, если деформация изменяется со временем, даже в жидкостях обычно возникает некоторое вязкое напряжение, препятствующее этому изменению. Такие напряжения могут быть как сдвиговыми, так и нормальными. Молекулярная природа сдвиговых напряжений в жидкостях изложена в статье о вязкости . То же самое для нормальных вязких напряжений можно найти в Sharma (2019). ^[8]

Связь между напряжением и его последствиями и причинами, включая деформацию и скорость изменения деформации, может быть довольно сложной (хотя на практике может быть адекватным линейное приближение, если величины достаточно малы). Напряжение, превышающее определенные пределы прочности материала, приведет к необратимой деформации (например, пластическому течению , разрушению , кавитации ) или даже к изменению его кристаллической структуры и химического состава .

Простое напряжение [ править ]

В некоторых ситуациях напряжение внутри тела может быть адекватно описано одним числом или одним вектором (числом и направлением). Три таких простых стрессовых ситуации, которые часто встречаются в инженерном проектировании, - это одноосное нормальное напряжение , простое напряжение сдвига и изотропное нормальное напряжение . ^[9]

Одноосное нормальное напряжение [ править ]

Обычная ситуация с простой структурой напряжений - это когда прямой стержень с однородным материалом и поперечным сечением подвергается растяжению под действием сил противоположной величины вдоль своей оси. Если система находится в равновесии и не меняется со временем, и весом стержня можно пренебречь, то через каждое поперечное сечение стержня верхняя часть должна тянуть нижнюю часть с той же силой, F с непрерывностью на протяжении всего площадь поперечного сечения , А . Поэтому напряжение σ по всей панели, через любой горизонтальной поверхности, может быть выражен просто единой числа а, вычисленной просто с величиной этих сил, F , и площадь поперечного сечения, A .${\displaystyle F}$

$${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}}$$

Этот тип напряжения может быть назван (простым) нормальным напряжением или одноосным напряжением; в частности (одноосное, простое и т. д.) растягивающее напряжение. ^[9] Если нагрузка на стержень представляет собой сжатие , а не растяжение, анализ такой же, за исключением того, что сила F и знак напряжения меняют знак, и напряжение называется напряжением сжатия.${\displaystyle \sigma }$

Соотношение может быть только средним напряжением. Напряжение может быть неравномерно распределено по поперечному сечению ( м - м ), особенно вблизи точек крепления ( n - n ).${\displaystyle \sigma =F/A}$

Этот анализ предполагает, что напряжение равномерно распределено по всему поперечному сечению. На практике это предположение может быть неверным, в зависимости от того, как крепится стержень на концах и как он был изготовлен. В этом случае значение = F / A будет только средним напряжением, называемым инженерным напряжением или номинальным напряжением . Однако, если длина стержня L во много раз превышает его диаметр D , и он не имеет грубых дефектов или встроенного напряжения , то можно предположить, что напряжение равномерно распределено по любому поперечному сечению, которое более чем в несколько раз превышает D от оба конца. (Это наблюдение известно как${\displaystyle \sigma }$Принцип Сен-Венана ).

Нормальное напряжение возникает во многих других ситуациях, помимо осевого растяжения и сжатия. Если упругий стержень с однородным и симметричным поперечным сечением изгибается в одной из его плоскостей симметрии, результирующее напряжение изгиба все равно будет нормальным (перпендикулярным поперечному сечению), но будет изменяться по поперечному сечению: внешняя часть будет находиться под растягивающим напряжением, а внутренняя часть будет сжата. Другой вариант нормального напряжения - это кольцевое напряжение, которое возникает на стенках цилиндрической трубы или сосуда, заполненного жидкостью под давлением.

Простое напряжение сдвига [ править ]

Другой простой тип напряжения возникает, когда равномерно толстый слой эластичного материала, такого как клей или резина, прочно прикреплен к двум жестким телам, которые тянутся в противоположных направлениях силами, параллельными слою; или отрезок прутка из мягкого металла, который разрезают челюсти подобного ножницам инструмента . Пусть F - величина этих сил, а M - средняя плоскость этого слоя. Так же , как и в обычном стрессового случае часть слоя на одной стороне М должны тянуть другую часть с той же силой F . Предполагая, что направление сил известно, напряжение на M может быть просто выражено одним числом , рассчитываемым просто по величине этих сил,${\displaystyle \tau }$F , а площадь поперечного сечения, .

$${\displaystyle \tau ={\frac {F}{A}}}$$

Как и в случае стержня, нагруженного в осевом направлении, на практике напряжение сдвига не может быть равномерно распределено по слою; Итак, как и раньше, отношение F / A будет только средним («номинальным», «инженерным») напряжением. Однако для практических целей этого среднего часто бывает достаточно. ^{[10] : p.292 Напряжение} сдвига наблюдается также, когда цилиндрический стержень, такой как вал , подвергается воздействию противоположных моментов на концах. В этом случае напряжение сдвига в каждом поперечном сечении параллельно поперечному сечению, но ориентировано тангенциально относительно оси и увеличивается с увеличением расстояния от оси. Значительное напряжение сдвига возникает в средней пластине («стенке») двутавровых балок. под действием изгибающих нагрузок из-за стенки, сдерживающей концевые пластины («фланцы»).

Изотропное напряжение [ править ]

Изотропное растягивающее напряжение. Вверху слева: Каждая грань куба однородного материала вытягивается силой с магнитудой F , приложенной равномерно по всей поверхности, площадь которой . Сила, действующая на любую секцию S куба, должна уравновешивать силы, приложенные ниже секции. В трех показанных секциях силы: F (вверху справа), F (внизу слева) и F (внизу справа); а площадь S равна A , A и A соответственно. Таким образом, напряжение на S равно F / A во всех трех случаях.${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$

Другой простой тип напряжения возникает, когда материальное тело испытывает одинаковое сжатие или растяжение во всех направлениях. Это имеет место, например, в части покоящейся жидкости или газа, заключенной в какой-либо контейнер или как часть большей массы жидкости; или внутри куба из эластичного материала, который прижимается или растягивается на всех шести поверхностях одинаковыми перпендикулярными силами - при условии, что в обоих случаях материал является однородным, без встроенных напряжений и что влияние гравитации и других внешних сил можно пренебречь.

В этих ситуациях напряжение на любой воображаемой внутренней поверхности оказывается равным по величине и всегда направлено перпендикулярно поверхности независимо от ориентации поверхности. Этот тип напряжения можно назвать изотропным нормальным или просто изотропным ; если он сжимающий, это называется гидростатическим давлением или просто давлением . Газы по определению не могут выдерживать растягивающие напряжения, но некоторые жидкости могут выдерживать удивительно большие количества изотропного растягивающего напряжения при некоторых обстоятельствах. см. Z-образную трубку .

Напряжения в цилиндре [ править ]

Детали с осевой симметрией , такие как колеса, оси, трубы и стойки, очень распространены в технике. Часто картины напряжений, возникающие в таких деталях, имеют вращательную или даже цилиндрическую симметрию . Анализ таких цилиндрических напряжений может использовать симметрию для уменьшения размера области и / или тензора напряжений.

Общий стресс [ править ]

Часто механические тела испытывают одновременно более одного типа нагрузки; это называется комбинированным стрессом . При нормальном напряжении и напряжении сдвига величина напряжения максимальна для поверхностей, перпендикулярных определенному направлению , и равна нулю для любых поверхностей, которые параллельны ему . Когда напряжение сдвига равно нулю только на поверхностях, перпендикулярных одному конкретному направлению, напряжение называется двухосным , и его можно рассматривать как сумму двух нормальных напряжений или напряжений сдвига. В наиболее общем случае, называемом трехосным напряжением , напряжение отлично от нуля на каждом элементе поверхности.${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$

Тензор напряжений Коши[ редактировать ]

Комбинированные напряжения нельзя описать одним вектором. Даже если материал подвергается одинаковым нагрузкам во всем объеме тела, напряжение на любой воображаемой поверхности будет зависеть от ориентации этой поверхности нетривиальным образом.

Однако Коши заметил, что вектор напряжения на поверхности всегда будет линейной функцией вектора нормали к поверхности, вектора единичной длины, перпендикулярного ему. То есть, где функция удовлетворяет${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle T={\boldsymbol {\sigma }}(n)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\alpha u+\beta v)=\alpha {\boldsymbol {\sigma }}(u)+\beta {\boldsymbol {\sigma }}(v)}$

для любых векторов и любых действительных чисел . Функция , которая теперь называется тензором напряжений (Коши) , полностью описывает напряженное состояние равномерно напряженного тела. (Сегодня, любая линейная связь между двумя физическими векторными величинами называются тензор , отражающая оригинальное использование Кошами , чтобы описать «напряженность» (напряжения) в материале.) В тензорном исчислении , классифицируются как тензор второго порядка типа (0, 2) .${\displaystyle u,v}$${\displaystyle \alpha ,\beta }$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$

Как и любая линейная карта между векторами, тензор напряжений может быть представлен в любой выбранной декартовой системе координат матрицей вещественных чисел 3 × 3. В зависимости от того, пронумерованы координаты или названы , матрица может быть записана как${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$${\displaystyle x,y,z}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\quad \quad \quad }$ или же ${\displaystyle \quad \quad \quad {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{bmatrix}}}$

Вектор напряжения на поверхности с вектором нормали (который является ковариантным - «строка; горизонтальный» - вектор) с координатами тогда является матричным произведением (где T в верхнем индексе - транспонирование , и в результате мы получаем ковариантный вектор (вектор-строку)) (посмотрите на тензор напряжений Коши ), то есть${\displaystyle T={\boldsymbol {\sigma }}(n)}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3}}$${\displaystyle T=n\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{1}&T_{2}&T_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{21}&\sigma _{31}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{32}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}$

Линейная связь между и следует из фундаментальных законов сохранения количества движения и статического равновесия сил, и поэтому является математически точной для любого материала и любой напряженной ситуации. Компоненты тензора напряжений Коши в каждой точке материала удовлетворяют уравнениям равновесия ( уравнениям движения Коши при нулевом ускорении). Кроме того, принцип сохранения углового момента следует , что тензор напряжений симметричен , то есть , и${\displaystyle T}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{21}}$${\displaystyle \sigma _{13}=\sigma _{31}}$${\displaystyle \sigma _{23}=\sigma _{32}}$. Следовательно, напряженное состояние среды в любой момент и момент может быть задано только шестью независимыми параметрами, а не девятью. Это может быть написано

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{xy}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{xz}&\tau _{yz}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}}$

где элементы называются ортогональные нормальные напряжения ( по отношению к выбранной системе координат), а также на ортогональные напряжения сдвига .${\displaystyle \sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z}}$${\displaystyle \tau _{xy},\tau _{xz},\tau _{yz}}$

Изменение координат [ править ]

Тензор напряжений Коши подчиняется закону преобразования тензора при изменении системы координат. Графическим представлением этого закона преобразования является круг распределения напряжений Мора .

Как симметричная вещественная матрица 3 × 3, тензор напряжений имеет три взаимно ортогональных собственных вектора единичной длины и три действительных собственных значения , так что . Таким образом, в системе координат с осями , тензор напряжений является диагональной матрицей, и имеет только три нормальные компоненты в главных напряжений . Если три собственных значения равны, напряжение представляет собой изотропное сжатие или растяжение, всегда перпендикулярное любой поверхности, напряжение сдвига отсутствует, а тензор представляет собой диагональную матрицу в любой системе координат.${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3}}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}e_{i}=\lambda _{i}e_{i}}$${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3}}$${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$

Напряжение как тензорное поле [ править ]

В общем, напряжение распределяется по материальному телу неравномерно и может меняться со временем. Следовательно, тензор напряжений должен быть определен для каждой точки и каждого момента, рассматривая бесконечно малую частицу среды, окружающую эту точку, и принимая средние напряжения в этой частице как напряжения в этой точке.

Напряжение в тонких пластинах [ править ]

Искусственные объекты часто изготавливаются из стандартных пластин из различных материалов с помощью операций, которые не меняют их по существу двумерного характера, таких как резка, сверление, плавная гибка и сварка по краям. Описание напряжений в таких телах можно упростить, моделируя эти части как двумерные поверхности, а не как трехмерные тела.

С этой точки зрения каждый переопределяет «частицу» как бесконечно малый участок поверхности пластины, так что граница между соседними частицами становится бесконечно малым линейным элементом; оба неявно вытянуты в третьем измерении, перпендикулярно (прямо) пластине. Затем «напряжение» переопределяется как мера внутренних сил между двумя соседними «частицами», пересекающих их общий линейный элемент, деленная на длину этой линии. Некоторые компоненты тензора напряжений можно игнорировать, но поскольку частицы не являются бесконечно малыми в третьем измерении, нельзя больше игнорировать крутящий момент, который частица прикладывает к своим соседям. Этот крутящий момент моделируется как изгибающее напряжение, которое имеет тенденцию изменять кривизну.пластины. Однако эти упрощения могут быть неприменимы к сварным швам, к резким изгибам и складкам (где радиус кривизны сопоставим с толщиной листа).

Напряжение в тонких балках [ править ]

Анализ напряжений можно значительно упростить также для тонких стержней, балок или проволоки однородного (или плавно меняющегося) состава и поперечного сечения, которые подвергаются умеренному изгибу и скручиванию. Для этих тел можно рассматривать только поперечные сечения, перпендикулярные оси стержня, и переопределить «частицу» как кусок проволоки с бесконечно малой длиной между двумя такими поперечными сечениями. Обычное напряжение затем сводится к скаляру (растяжение или сжатие стержня), но необходимо также учитывать напряжение изгиба (которое пытается изменить кривизну стержня в некотором направлении, перпендикулярном оси) и напряжение скручивания ( который пытается повернуть или раскрутить его вокруг своей оси).

Другие описания стресса [ править ]

Тензор напряжений Коши используется для анализа напряжений материальных тел, испытывающих небольшие деформации, когда различиями в распределении напряжений в большинстве случаев можно пренебречь. Для больших деформаций, называемых также конечных деформаций , других мер стресса, таких как первый и второй тензоров напряжений Пиола-Кирхгофа , в тензора напряжений Biot , и тензора напряжений Кирхгофа , требуются.

Твердые тела, жидкости и газы имеют поля напряжений . Статические жидкости поддерживают нормальное напряжение, но текут под действием напряжения сдвига . Движущиеся вязкие жидкости могут выдерживать напряжение сдвига (динамическое давление). Твердые тела могут выдерживать как сдвиговые, так и нормальные напряжения, при этом пластичные материалы разрушаются при сдвиге, а хрупкие материалы - при нормальном напряжении. Все материалы обладают зависимыми от температуры изменениями свойств, связанных с напряжением, а неньютоновские материалы имеют изменения в зависимости от скорости.

Анализ напряжения [ править ]

Анализ напряжений - это раздел прикладной физики, который охватывает определение внутреннего распределения внутренних сил в твердых объектах. Это важный инструмент в инженерии для изучения и проектирования таких конструкций, как туннели, плотины, механические детали и каркасы конструкций, при заданных или ожидаемых нагрузках. Это также важно во многих других дисциплинах; например, в геологии для изучения таких явлений, как тектоника плит , вулканизм и лавины ; и в биологии, чтобы понять анатомию живых существ.

Цели и предположения [ править ]

Анализ напряжений обычно касается объектов и конструкций, которые, как можно предположить, находятся в макроскопическом статическом равновесии . Согласно законам движения Ньютона , любые внешние силы, прикладываемые к такой системе, должны уравновешиваться внутренними силами реакции ^{[11] : стр.97,} которые почти всегда являются силами поверхностного контакта между соседними частицами, то есть в виде напряжения. ^[5] Поскольку каждая частица должна находиться в равновесии, это реакционное напряжение обычно распространяется от частицы к частице, создавая распределение напряжения по всему телу.

Типичная проблема анализа напряжений состоит в том, чтобы определить эти внутренние напряжения с учетом внешних сил, действующих на систему. Последние могут быть объемными силами (такими как гравитация или магнитное притяжение), которые действуют во всем объеме материала; ^{[12] : стр.42–81} или сосредоточенные нагрузки (такие как трение между осью и подшипником или вес колеса поезда на рельсе), которые, как предполагается, действуют в двухмерной области или вдоль линии или в одной точке.

При анализе напряжений обычно не принимают во внимание физические причины сил или точную природу материалов. Вместо этого предполагается, что напряжения связаны с деформацией (и, в нестатических задачах, со скоростью деформации) материала с помощью известных определяющих уравнений . ^[13]

Методы [ править ]

Анализ напряжений может проводиться экспериментально, путем приложения нагрузок к фактическому артефакту или для масштабирования модели и измерения результирующих напряжений любым из нескольких доступных методов. Этот подход часто используется для сертификации и мониторинга безопасности. Однако большая часть анализа напряжений выполняется математическими методами, особенно во время проектирования. Основная задача анализа напряжений может быть сформулирована уравнениями движения Эйлера для сплошных тел (которые являются следствием законов Ньютона о сохранении количества движения и момента количества движения ) и принципом напряжений Эйлера-Коши вместе с соответствующими определяющими уравнениями. Таким образом, получается система дифференциальных уравнений в частных производныхс участием поля тензора напряжений и поля тензора деформации в качестве неизвестных функций, которые необходимо определить. Внешние объемные силы появляются как независимый («правая часть») члена в дифференциальных уравнениях, а сосредоточенные силы появляются как граничные условия. Таким образом, основная задача анализа напряжений - это краевая задача .

Расчет напряжений для упругих конструкций основан на теории упругости и теории бесконечно малых деформаций . Когда приложенные нагрузки вызывают остаточную деформацию, необходимо использовать более сложные материальные уравнения, которые могут учитывать вовлеченные физические процессы ( пластическое течение , разрушение , фазовый переход и т. Д.).

Однако инженерные конструкции обычно проектируются так, чтобы максимальные ожидаемые напряжения находились в пределах диапазона линейной упругости (обобщение закона Гука для сплошных сред); то есть деформации, вызванные внутренними напряжениями, связаны с ними линейно. В этом случае дифференциальные уравнения, определяющие тензор напряжений, являются линейными, и задача значительно упрощается. Во-первых, напряжение в любой точке также будет линейной функцией нагрузок. При достаточно малых напряжениях даже нелинейные системы обычно можно считать линейными.

Анализ напряжений упрощается, когда физические размеры и распределение нагрузок позволяют рассматривать конструкцию как одно- или двумерную. Например, при расчете ферм можно предположить, что поле напряжений является однородным и одноосным для каждого элемента. Тогда дифференциальные уравнения сводятся к конечной системе уравнений (обычно линейных) с конечным числом неизвестных. В других контекстах можно свести трехмерную задачу к двумерной и / или заменить общие тензоры напряжений и деформаций более простыми моделями, такими как одноосное растяжение / сжатие, простой сдвиг и т. Д.

Тем не менее, для двумерных или трехмерных случаев необходимо решить задачу уравнения в частных производных. Аналитические или замкнутые решения дифференциальных уравнений могут быть получены, когда геометрия, определяющие соотношения и граничные условия достаточно просты. В противном случае нужно вообще прибегать к численной аппроксимации , такие как метод конечных элементов , в методе конечных разностей , и метода граничных элементов .

Альтернативные меры стресса [ править ]

Другие полезные меры включают стресс первые и вторые Пиолы-Кирхгоф тензоры напряжений , в тензор напряжений Biot , и тензор напряжений Кирхгоф .

Тензор напряжений Пиолы – Кирхгофа [ править ]

Было предложено разделить этот раздел на другую статью под названием « Тензор напряжений Пиолы – Кирхгофа» . ( Обсудить ) (февраль 2021 г.)

В случае конечных деформаций , то тензоры напряжений Пиола-Кирхгофа выражают стресс по отношению к эталонной конфигурации. Это контрастирует с тензором напряжений Коши, который выражает напряжение относительно текущей конфигурации. Для бесконечно малых деформаций и поворотов тензоры Коши и Пиолы – Кирхгофа идентичны.

В то время как тензор напряжений Коши связывает напряжения в текущей конфигурации, градиент деформации${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$и тензоры деформации описываются путем соотнесения движения с эталонной конфигурацией; таким образом, не все тензоры, описывающие состояние материала, находятся в эталонной или текущей конфигурации. Описание напряжений, деформаций и деформаций в эталонной или текущей конфигурации упростило бы определение конститутивных моделей (например, тензор напряжений Коши является вариантом чистого вращения, в то время как тензор деформационных деформаций является инвариантным; таким образом, возникают проблемы при определении конститутивная модель, которая связывает изменяющийся тензор в терминах инвариантного во время чистого вращения; поскольку по определению конститутивные модели должны быть инвариантными к чистым вращениям). 1-й тензор напряжений Пиолы – Кирхгофа,${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$одно из возможных решений этой проблемы. Это определяет семейство тензоров, описывающих конфигурацию тела в любом токе или эталонного состояния.

Первый тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа связывает силы в текущей («пространственной») конфигурации с областями в эталонной («материальной») конфигурации.${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}~{\boldsymbol {F}}^{-T}~}$

где есть градиент деформации и является Якобиан детерминанты .${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$${\displaystyle J=\det {\boldsymbol {F}}}$

В терминах компонентов по отношению к ортонормированному базису первое напряжение Пиолы – Кирхгофа определяется выражением

${\displaystyle P_{iL}=J~\sigma _{ik}~F_{Lk}^{-1}=J~\sigma _{ik}~{\cfrac {\partial X_{L}}{\partial x_{k}}}~\,\!}$

Поскольку оно связывает разные системы координат, первое напряжение Пиолы – Кирхгофа является двухточечным тензором . В общем, это не симметрично. Первое напряжение Пиолы – Кирхгофа является трехмерным обобщением одномерной концепции инженерного напряжения .

Если материал вращается без изменения напряженного состояния (жесткое вращение), компоненты 1-го тензора напряжений Пиолы – Кирхгофа будут изменяться в зависимости от ориентации материала.

Первое напряжение Пиолы – Кирхгофа является энергией, сопряженной с градиентом деформации.

Второй тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа [ править ]

В то время как 1-е напряжение Пиолы-Кирхгофа связывает силы в текущей конфигурации с областями в эталонной конфигурации, 2-й тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа связывает силы в эталонной конфигурации с областями в эталонной конфигурации. Сила в эталонной конфигурации получается через отображение, которое сохраняет относительную взаимосвязь между направлением силы и нормалью к площади в эталонной конфигурации.${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}~.}$

В индексной записи относительно ортонормированного базиса

${\displaystyle S_{IL}=J~F_{Ik}^{-1}~F_{Lm}^{-1}~\sigma _{km}=J~{\cfrac {\partial X_{I}}{\partial x_{k}}}~{\cfrac {\partial X_{L}}{\partial x_{m}}}~\sigma _{km}\!\,\!}$

Этот тензор, одноточечный тензор, симметричен.

Если материал вращается без изменения напряженного состояния (жесткое вращение), компоненты 2-го тензора напряжений Пиолы – Кирхгофа остаются постоянными, независимо от ориентации материала.

Второй тензор напряжений Пиолы – Кирхгофа по энергии сопряжен с тензором конечных деформаций Грина – Лагранжа .

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]