Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Эйлер схема , показывающая
A является подмножеством B ,   AB , и наоборот B является собственным надмножеством А .

В математике , А множество является подмножеством из множества B , если все элементы из A также являются элементами B ; В это тогда надмножество из A . Возможно, что A и B равны; если они не равны, то является собственное подмножество из B . Отношения одного набора быть подмножеством другого, называется включение (или иногда защитной оболочки ). A является подмножеством Bможет быть также выражено как B включает в себя (или содержит) или включен (или содержаться) в B .

Отношение подмножества определяет частичный порядок на множествах. Фактически, подмножества данного множества образуют булеву алгебру с отношением подмножества, в котором соединение и встреча задаются пересечением и объединением , а само отношение подмножества является отношением булевого включения .

Определения [ править ]

Если и B являются множествами , и каждый элемент из A также является элементом B , то:

  • Является подмножеством из B , обозначается или , что эквивалентно
  • Б является подмножеством из А , обозначим через [1]

Если является подмножеством B , но не равна к B (т.е. существует , по меньшей мере , один элемент из В , который не является элементом А ), то:

  • Является собственно (или строгое ) подмножество из B , обозначим через (или [1] [ круговую отчетность? ] [2] [ лучший источник необходимо ] ). Или, что то же самое,
  • В это собственно (или строгое ) надмножество из А , обозначим через (или [1] [ круговую отчетность? ] ).
  • Пустое множество , написанное {} или ∅, является подмножеством любого множества X и собственное подмножество любого множества , кроме самой себя.

Для любого множества S , включение отношение ⊆ является частичным порядком на множестве ( множество мощности из S -The множество всех подмножеств S [3] ) , определенных . Мы также можем частично упорядочить включение обратного множества, определив

При количественной оценке AB представляется как x ( xAxB ) . [4]

Мы можем доказать утверждение AB , применив технику доказательства, известную как элементный аргумент [5] :

Пусть даны множества A и B. Чтобы доказать, что AB ,

  1. предположим, что a - частный, но произвольно выбранный элемент A,
  2. показывают , что является элементом B .

Справедливость этого метода можно рассматривать как следствие универсального обобщения : метод показывает cAcB для произвольно выбранного элемента c . Тогда универсальное обобщение влечет x ( xAxB ) , что эквивалентно AB , как указано выше.

Свойства [ править ]

  • Набор является подмножеством из B , если и только если их пересечение равно А.
Формально:
  • Набор является подмножеством из B , если и только если их объединение равно B.
Формально:
  • Конечное множество является подмножеством из B , тогда и только тогда , когда мощность их пересечения равна мощности А.
Формально:

Символы ⊂ и ⊃ [ править ]

Некоторые авторы используют символы ⊂ и ⊃ для обозначения подмножества и надмножества соответственно; то есть, с тем же значением и вместо символов ⊆ и ⊇. [6] Так , например, для этих авторов, это верно для любого множества A , что AA .

Другие авторы предпочитают использовать символы ⊂ и ⊃ для обозначения надлежащего (также называемого строгим) подмножества и надлежащего надмножества соответственно; то есть, с тем же значением и вместо символов ⊊ и ⊋. [7] [1] Это использование делает ⊆ и ⊂ аналогичными символам неравенства ≤ и <. Например, если Купитьу , то х может или не может быть равна у , но если х < у , то х определенно не равен у , а это меньше , чем у . Аналогично, используя соглашение, что ⊂ - собственное подмножество, еслиB , томожет быть или может не совпадать B , но еслиB , тоопределенно не равно B .

Примеры подмножеств [ править ]

Правильные многоугольники образуют подмножество многоугольников
  • Множество A = {1, 2} является собственным подмножеством B = {1, 2, 3}, поэтому оба выражения A ⊆ B и A ⊊ B истинны.
  • Множество D = {1, 2, 3} является подмножеством (но не собственным подмножеством) E = {1, 2, 3}, таким образом, D ⊆ E истинно, а D ⊊ E не истинно (ложно).
  • Любой набор - это подмножество самого себя, но не собственное подмножество. (X ⊆ X истинно, а X ⊊ X ложно для любого множества X.)
  • Набор { x : x - простое число больше 10} является правильным подмножеством { x : x - нечетное число больше 10}
  • Набор натуральных чисел является собственным подмножеством набора рациональных чисел ; аналогично, набор точек в линейном сегменте является надлежащим подмножеством набора точек в линии . Это два примера, в которых как подмножество, так и все множество бесконечно, а подмножество имеет такую ​​же мощность (понятие, которое соответствует размеру, то есть количеству элементов конечного набора), как и все; такие случаи могут идти вразрез с первоначальной интуицией.
  • Набор рациональных чисел - это собственное подмножество набора действительных чисел . В этом примере оба набора бесконечны, но последний набор имеет большую мощность (или мощность ), чем первый набор.

Другой пример на диаграмме Эйлера :

  • A - собственное подмножество B

  • C является подмножеством, но не является собственным подмножеством B

Другие свойства включения [ править ]

AB и BC влечет AC

Включение - это канонический частичный порядок в том смысле, что каждое частично упорядоченное множество ( X , ) изоморфно некоторому набору множеств, упорядоченных по включению. Эти порядковые номера представляют собой простой пример: если каждый порядковый п идентифицируются с множеством [ п ] все порядковых меньше или равно п , то ≤ б тогда и только тогда , когда [ ] ⊆ [ б ].

Для набора мощности из множества S , включение частичный порядок- с точностью до изоморфизма порядка -The декартово произведение из к = | S | ( мощность из S ) копии частичного порядка на {0,1} , для которых 0 <1. Это можно проиллюстрировать путем перечисления S = { ев 1 , ев 2 , ..., s к }, и ассоциирование с каждым подмножество TS (т.е. каждый элемент 2 S ) k -набор из {0,1} k , из которыхя й координата 1 тогда и только тогда , когда х я являюсь членом T .

См. Также [ править ]

  • Порядок включения
  • Область, край
  • Проблема суммы подмножества
  • Субсумптивное сдерживание
  • Всего подмножество

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b c d "Полный список символов теории множеств" . Математическое хранилище . 2020-04-11 . Проверено 23 августа 2020 .
  2. ^ «Введение в наборы» . www.mathsisfun.com . Проверено 23 августа 2020 .
  3. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Подмножество» . mathworld.wolfram.com . Проверено 23 августа 2020 .
  4. ^ Розен, Кеннет Х. (2012). Дискретная математика и ее приложения (7-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 119 . ISBN 978-0-07-338309-5.
  5. Перейти ↑ Epp, Susanna S. (2011). Дискретная математика с приложениями (Четвертое изд.). п. 337. ISBN 978-0-495-39132-6.
  6. ^ Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: МакГроу-Хилл , стр. 6, ISBN 978-0-07-054234-1, Руководство по ремонту  0924157
  7. ^ Подмножества и правильные подмножества (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 23 января 2013 г. , получено 07 сентября 2012 г.

Библиография [ править ]

  • Jech, Томас (2002). Теория множеств . Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.

Внешние ссылки [ править ]

  • СМИ, относящиеся к подмножествам на Викискладе?
  • Вайсштейн, Эрик В. «Подмножество» . MathWorld .