В топологии и смежных областях математики , А подпространство из топологического пространства X является подмножество S из X , который оснащен топологией , индуцированной из , что из X называется топология подпространства (или относительная топология , или индуцированная топология , или след топология ).
Определение [ править ]
Учитывая топологическое пространство и подмножество из , то топология подпространства на определяется
То есть, подмножество открыто в топологии подпространства тогда и только тогда , когда оно является пересечением из с открытым множеством в . Если оборудовано с топологией подпространства , то это топологическое пространство , в своем собственном праве, и называется подпространство в . Обычно предполагается, что подмножества топологических пространств снабжены топологией подпространств, если не указано иное.
В качестве альтернативы можно определить топологию подпространства для подмножества в качестве топологии грубом , для которых включение карты
является непрерывным .
В более общем смысле, предположим, что это инъекция из набора в топологическое пространство . Тогда топология подпространства на определяется как грубейшая топология, для которой непрерывна. Открытые множества в этой топологии являются именно те видом для открытых ин . тогда гомеоморфно своему образу в (также с топологией подпространства) и называется топологическим вложением .
Подпространство называется открытым подпространством, если инъекция является открытой картой , т. Е. Если прямое изображение открытого набора открыто в . Точно так же оно называется замкнутым подпространством, если инъекция является замкнутым отображением .
Терминология [ править ]
Для удобства различие между множеством и топологическим пространством часто размывается в обозначениях, что может стать источником путаницы, когда кто-то впервые сталкивается с этими определениями. Таким образом, всякий раз, когда является подмножеством топологического пространства и является топологическим пространством, неприкрашенные символы " " и " " часто могут использоваться для обозначения и рассмотрения как двух подмножеств , а также и как топологических пространств, связанных, как обсуждалось над. Таким образом, фразы, такие как « открытое подпространство из », используются для обозначения того, что это открытое подпространство в смысле, используемом ниже, а именно: (i) ; и (ii) считается наделенным топологией подпространства.
Примеры [ править ]
Ниже представлены действительные числа с их обычной топологией.
- Топология подпространства натуральных чисел , как подпространство , является дискретной топологией .
- В рациональные числа , рассматриваемые как подпространства не имеют дискретную топологию ({0}, например, не является открытым множеством в ). Если a и b рациональны, то интервалы ( a , b ) и [ a , b ] соответственно открыты и замкнуты, но если a и b иррациональны, то множество всех рациональных x с a < x < b одновременно открытые и закрытые.
- Множество [0,1] как подпространство одновременно открыто и закрыто, тогда как как его подмножество только закрыто.
- Как подпространство [0, 1] ∪ [2, 3] составлено из двух непересекающихся открытых подмножеств (которые также оказываются замкнутыми) и, следовательно, является несвязным пространством .
- Пусть S = [0, 1) - подпространство вещественной прямой . Тогда [0, 1 / 2 ) открыто в S , но не в . Аналогично [ 1 / 2 , 1) замкнуто в S , но не в . S является одновременно открытым и закрытым как подмножество самого себя, но не как подмножество .
Свойства [ править ]
Топология подпространства обладает следующим характерным свойством. Позвольте быть подпространством и позвольте быть отображением включения. Тогда для любого топологического пространства карта непрерывна тогда и только тогда, когда составная карта непрерывна.
Это свойство характерно в том смысле, что его можно использовать для определения топологии подпространства на .
Перечислим некоторые дополнительные свойства топологии подпространств. В дальнейшем пусть будет подпространством .
- Если непрерывно, то ограничение на непрерывно.
- Если непрерывно, то непрерывно.
- Замкнутые множества в - это в точности пересечения с замкнутыми множествами в .
- Если является подпространством, то также является подпространством с той же топологией. Другими словами, топология подпространства, от которой наследуется, такая же, как и топология, от которой наследуется .
- Предположим , это открытое подпространство в (так ). Тогда подмножество открыто в том и только в том случае, если оно открыто в .
- Предположим, что это замкнутое подпространство в (so ). Тогда подмножество замкнуто в том и только в том случае, если оно замкнуто в .
- Если это базис для затем является основой для .
- Топология, индуцированная на подмножестве метрического пространства ограничением метрики этим подмножеством, совпадает с топологией подпространства для этого подмножества.
Сохранение топологических свойств [ править ]
Если топологическое пространство, обладающее некоторым топологическим свойством, подразумевает, что его подпространства обладают этим свойством, то мы говорим, что это свойство является наследственным . Если только замкнутые подпространства должны обладать этим свойством, мы называем его слабо наследственным .
- Всякое открытое и всякое замкнутое подпространство вполне метризуемого пространства вполне метризуемо.
- Каждое открытое подпространство пространства Бэра является пространством Бэра.
- Каждое замкнутое подпространство компакта компактно.
- Быть пространством Хаусдорфа наследственно.
- Будучи нормальным пространством слабо наследственным.
- Тотальная ограниченность наследственна.
- Будучи полностью отсоединен является наследственным.
- Первая и вторая счетность наследственные.
См. Также [ править ]
- двойственное понятие факторпространства
- топология продукта
- топология прямой суммы
Ссылки [ править ]
- Бурбаки, Николас, Элементы математики: общая топология , Эддисон-Уэсли (1966)
- Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур мл. (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( переиздание Dover 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, Руководство по ремонту 0507446
- Уиллард, Стивен. Общая топология , Dover Publications (2004) ISBN 0-486-43479-6