Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике , суммирование является дополнением из последовательности любого вида чисел , называемых аддендов или слагаемых ; результат - их сумма или итог . Помимо чисел, можно суммировать и другие типы значений: функции , векторы , матрицы , полиномы и, в общем, элементы любого типа математических объектов, для которых определена операция, обозначенная знаком «+».

Суммирования бесконечных последовательностей называются сериями . Они включают понятие лимита и не рассматриваются в этой статье.

Суммирование явной последовательности обозначается как последовательность сложений. Например, суммирование [1, 2, 4, 2] обозначается 1 + 2 + 4 + 2 и дает 9, то есть 1 + 2 + 4 + 2 = 9 . Поскольку сложение является ассоциативным и коммутативным , скобки не нужны, и результат один и тот же независимо от порядка слагаемых. Суммирование последовательности только одного элемента приводит к получению самого этого элемента. Суммирование пустой последовательности (последовательности без элементов) по соглашению приводит к 0.

Очень часто элементы последовательности определяются с помощью регулярного шаблона в зависимости от их места в последовательности. Для простых шаблонов суммирование длинных последовательностей может быть представлено с заменой большинства слагаемых на эллипсы. Например, суммирование первых 100 натуральных чисел может быть записано как 1 + 2 + 3 + 4 + + 99 + 100 . В противном случае суммирование обозначается с использованием обозначения Σ , где - увеличенная заглавная греческая буква сигма . Например, сумму первых n натуральных чисел можно обозначить как

Для длинных суммирований и суммирований переменной длины (определяемых с помощью эллипсов или обозначений Σ) поиск выражений результата в замкнутой форме является общей проблемой . Например, [a]

Хотя такие формулы не всегда существуют, было обнаружено множество формул суммирования, при этом некоторые из наиболее распространенных и элементарных из них перечислены в оставшейся части этой статьи.

Обозначение [ править ]

Обозначение заглавной буквы [ править ]

Символ суммирования

Математические обозначения используется символ , который компактно представляет суммирование многих подобных слагаемых: символ суммирования , , увеличенный вид вертикального капитала греческой буквы сигма . Это определяется как

где i - индекс суммирования ; a i - индексированная переменная, представляющая каждый член суммы; m - нижняя граница суммирования , а n - верхняя граница суммирования . « I = m » под символом суммирования означает, что индекс i начинается равным m . Индекс i увеличивается на единицу для каждого последующего члена, останавливаясь, когда i = n . [b]

Это читается как «сумма a i от i = m до n ».

Вот пример, показывающий суммирование квадратов:

В общем, хотя в качестве индекса суммирования можно использовать любую переменную (при условии, что не возникает двусмысленности), некоторые из наиболее распространенных переменных включают такие буквы, как , и . [1]

В качестве альтернативы, индекс и границы суммирования иногда не включаются в определение суммирования, если контекст достаточно ясен. Это особенно актуально, когда индекс работает от 1 до n. [2] Например, можно написать так:

Часто встречаются обобщения этой нотации, в которых предоставляется произвольное логическое условие, а сумма предназначена для взятия всех значений, удовлетворяющих условию. Например:

является суммой всех (целых чисел) в указанном диапазоне,

является суммой всех элементов в наборе , а

является суммой всех делящих натуральных чисел . [c]

Есть также способы обобщить использование многих сигма-знаков. Например,

такой же как

Аналогичное обозначение применяется, когда дело доходит до обозначения произведения последовательности , которое похоже на его суммирование, но которое использует операцию умножения вместо сложения (и дает 1 для пустой последовательности вместо 0). Используется та же основная структура с увеличенной формой греческой заглавной буквы пи , заменяющей .

Особые случаи [ править ]

Можно суммировать менее 2 чисел:

  • Если в суммировании есть одно слагаемое , то оцененная сумма равна .
  • Если в суммировании нет слагаемых, то вычисленная сумма равна нулю , поскольку ноль является единицей для сложения. Это называется пустой суммой .

Эти вырожденные случаи обычно используются только тогда, когда обозначение суммирования дает вырожденный результат в частном случае. Например, если в приведенном выше определении имеется только один член в сумме; если , то нет.

Формальное определение [ править ]

Суммирование может быть определено рекурсивно следующим образом

, при b < a .
, при ba .

Обозначения теории меры [ править ]

В обозначениях теории меры и интегрирования сумма может быть выражена в виде определенного интеграла ,

где - подмножество целых чисел от до , а где - счетная мера .

Исчисление конечных разностей [ править ]

Для функции f , определенной над целыми числами в интервале [ m , n ] , выполняется следующее уравнение:

Это аналог основной теоремы исчисления в исчислении конечных разностей , которая гласит, что:

куда

- производная от f .

Пример применения приведенного выше уравнения следующий:

Используя биномиальную теорему , это можно переписать как:

Вышеупомянутая формула чаще используется для инвертирования разностного оператора , определяемого следующим образом:

где f - функция, определенная на неотрицательных целых числах. Таким образом, при такой функции F , проблема в том , чтобы вычислить antidifference из F , функции такой , что . То есть эта функция определена с точностью до добавления константы и может быть выбрана как [3]

Не всегда существует выражение в замкнутой форме для такого суммирования, но формула Фаульхабера обеспечивает замкнутую форму в случае, когда и, по линейности , для каждой полиномиальной функции от n .

Аппроксимация определенными интегралами [ править ]

Многие из таких приближений могут быть получены с помощью следующей связи между суммами и интегралами , которая имеет место для любой возрастающей функции f :

и для любой убывающей функции f :

Для более общих приближений см. Формулу Эйлера – Маклорена .

Для суммирования, в котором слагаемое задается (или может быть интерполировано) интегрируемой функцией индекса, суммирование можно интерпретировать как сумму Римана, входящую в определение соответствующего определенного интеграла. Поэтому можно ожидать, например, что

так как правая часть по определению является пределом для левой части. Однако для данного суммирования n фиксировано, и мало что можно сказать об ошибке в приведенном выше приближении без дополнительных предположений относительно f : ясно, что для сильно осциллирующих функций сумма Римана может быть сколь угодно далека от интеграла Римана.

Личности [ править ]

В приведенных ниже формулах используются конечные суммы; для бесконечных суммирований или конечных суммирований выражений, содержащих тригонометрические функции или другие трансцендентные функции , см. список математических рядов .

Общая идентичность [ править ]

( распределительность ) [4]
( коммутативность и ассоциативность ) [4]
(сдвиг индекса)
для биекции σ из конечного множества A на множество B (смена индекса); это обобщает предыдущую формулу.
(разбиение суммы с использованием ассоциативности )
(вариант предыдущей формулы)
(сумма от первого члена до последнего равна сумме от последнего до первого)
(частный случай формулы выше)
(снова коммутативность и ассоциативность)
(еще одно приложение коммутативности и ассоциативности)
(разбиение суммы на нечетную и четную части для четных индексов)
(разбиение суммы на нечетные и четные части, для нечетных индексов)
( распределенность )
(дистрибутивность допускает факторизацию)
( логарифм продукта - это сумма логарифмов факторов)
( экспонента суммы - произведение экспоненты слагаемых)

Степени и логарифм арифметических прогрессий [ править ]

для любого c , не зависящего от i
(Сумма простейшей арифметической прогрессии , состоящей из первых n натуральных чисел .) [3] : 52
(Сумма первых нечетных натуральных чисел)
(Сумма первых четных натуральных чисел)
(Сумма логарифмов - это логарифм произведения)
(Сумма первых квадратов , см. Квадрат пирамидального числа .) [3] : 52
( Теорема Никомаха ) [3] : 52

В более общем смысле, есть формула Фаульхабера

где обозначает число Бернулли , а - биномиальный коэффициент .

Индекс суммирования в экспонентах [ править ]

В следующих суммированиях предполагается , что a отличается от 1.

(сумма геометрической прогрессии )
(частный случай для a = 1/2 )
( a, умноженное на производную геометрической прогрессии по a )
(сумма арифметико-геометрической последовательности )

Биномиальные коэффициенты и факториалы [ править ]

Существует очень много тождеств суммирования, включающих биномиальные коэффициенты (целая глава Конкретной математики посвящена только основным методам). Вот некоторые из самых основных из них.

Использование биномиальной теоремы [ править ]

бином Ньютона
частный случай, когда a = b = 1
, частный случай, когда p = a = 1 - b , что для выражает сумму биномиального распределения
значение в виде = Ь = 1 в производной по отношению к биномиальным теоремам
значение в виде = Ь = 1 из первообразной относительно биномиального теоремы

Вовлечение номеров перестановок [ править ]

В следующих суммах - количество k -перестановок числа n .

, где и обозначает функцию пола .

Другое [ править ]

Гармонические числа [ править ]

(это номер n- й гармоники )
(это обобщенное гармоническое число )

Темпы роста [ править ]

Ниже приведены полезные приближения (с использованием тета-записи ):

для действительного c больше -1
(См. Число гармоник )
для действительного c больше 1
для неотрицательного действительного c
для неотрицательных вещественных c , d
для неотрицательных вещественных b > 1, c , d

См. Также [ править ]

  • Обозначения Эйнштейна
  • Кронштейн Айверсона
  • Итерированная двоичная операция
  • Алгоритм суммирования Кахана
  • Продукты последовательностей
  • Продукт (математика)
  • Суммирование по частям
  • ∑ одинарный глиф суммирования (U + 2211 N-ARY SUMMATION )
  • ⎲ начало парного символа (U + 23B2 SUMMATION TOP )
  • ⎳ конец парного глифа (U + 23B3 СУММАЦИЯ ВНИЗ )

Примечания [ править ]

  1. ^ Подробнее см. Треугольное число .
  2. ^ Подробное описание обозначений суммирования и арифметики с суммами см. В Graham, Ronald L .; Knuth, Donald E .; Паташник, Орен (1994). «Глава 2: Итоги». Конкретная математика: Фонд компьютерных наук (PDF) (2-е изд.). Эддисон-Уэсли Профессионал. ISBN 978-0201558029.[ постоянная мертвая ссылка ]
  3. ^ Хотя имя фиктивной переменной не имеет значения (по определению), обычно используются буквы от середины алфавита (до) для обозначения целых чисел, если есть риск путаницы. Например, даже если не должно быть никаких сомнений в интерпретации, многим математикам может показаться немного запутанным, еслив приведенных выше формулахвместо. См. Также типографские обозначения в математических формулах .

Источники [ править ]

  1. ^ "Сборник математических символов" . Математическое хранилище . 2020-03-01 . Проверено 16 августа 2020 .
  2. ^ «Обозначение суммирования» . www.columbia.edu . Проверено 16 августа 2020 .
  3. ^ a b c d Справочник по дискретной и комбинаторной математике , Кеннет Х. Розен, Джон Г. Майклс, CRC Press, 1999, ISBN 0-8493-0149-1 . 
  4. ^ a b «Исчисление I - Обозначение суммирования» . tutorial.math.lamar.edu . Проверено 16 августа 2020 .

Внешние ссылки [ править ]

  • СМИ, связанные с суммированием на Викискладе?