Для жесткого объекта, находящегося в контакте с фиксированной средой и на который действует сила тяжести в вертикальном направлении, его опорный многоугольник представляет собой горизонтальную область, над которой должен располагаться центр масс для достижения статической устойчивости. [1] Например, для объекта, лежащего на горизонтальной поверхности (например, на столе), многоугольник поддержки представляет собой выпуклую оболочку его «следа» на столе.
Опорный многоугольник кратко представляет условия, необходимые для того, чтобы объект находился в равновесии под действием силы тяжести. То есть, если центр масс объекта лежит над многоугольником опоры, то в области контакта существует набор сил, который точно противодействует силам тяжести. Обратите внимание, что это необходимое условие устойчивости, но не достаточное .
Вывод [2]
Пусть объект контактирует в конечном числе точек . В каждой точке, позволять набор сил, которые могут быть применены к объекту в этой точке. Здесь,известен как конус трения , и для кулоновской модели трения на самом деле представляет собой конус с вершиной в начале координат, простирающейся до бесконечности в нормальном направлении контакта.
Позволять быть (неуказанными) силами в точках контакта. Чтобы уравновесить объект в статическом равновесии, следующие уравнения Ньютона-Эйлера должны быть выполнены на:
- для всех
где сила тяжести на объекте, и это его центр масс. Первые два уравнения - это уравнения Ньютона-Эйлера , а третье требует, чтобы все силы действовали. Если нет набора сил при соблюдении всех этих условий объект не будет находиться в равновесии.
Второе уравнение не зависит от вертикальной составляющей центра масс, и, следовательно, если решение существует для одного , одно и то же решение работает для всех . Следовательно, набор всехкоторые имеют решения для вышеуказанных условий, представляет собой набор, который бесконечно простирается в направлениях вверх и вниз. Опорный многоугольник - это просто проекция этого множества на горизонтальную плоскость.
Эти результаты могут быть легко распространены на различные модели трения и бесконечное количество точек контакта (т.е. области контакта).
Характеристики
Хотя слово «многоугольник» используется для описания этой области, в целом это может быть любая выпуклая форма с изогнутыми краями. Опорный многоугольник инвариантен относительно перемещений и поворотов относительно вектора силы тяжести (то есть, если точки контакта и конусы трения были перемещены и повернуты вокруг вектора силы тяжести, многоугольник опоры просто перемещается и вращается).
Если конусы трения являются выпуклыми конусами (как обычно), многоугольник опоры всегда является выпуклой областью. Он также инвариантен к массе объекта (при условии, что она не равна нулю).
Если все контакты лежат в (не обязательно горизонтальной) плоскости, а конусы трения на всех контактах содержат отрицательный вектор силы тяжести , то опорный многоугольник - это выпуклая оболочка точек контакта, спроецированная на горизонтальную плоскость.
Рекомендации
- ^ МакГи, РБ; Франк, AA (1968-08-01). «Об устойчивости ползучих походок четвероногих». Математические биологические науки . 3 : 331–351. DOI : 10.1016 / 0025-5564 (68) 90090-4 . ISSN 0025-5564 .
- ^ Bretl, T .; Лалл, С. (август 2008 г.). «Проверка статического равновесия для роботов на ногах». IEEE Transactions по робототехнике . 24 (4): 794–807. DOI : 10.1109 / TRO.2008.2001360 . ISSN 1552-3098 .