Площадь поверхности

Сфера радиуса г имеет площадь поверхности 4 πr ² .

Площадь поверхности из твердого объекта является мерой общей площади , что поверхность объекта занимает. ^[1] Математическое определение площади поверхности при наличии криволинейных поверхностей значительно сложнее, чем определение длины дуги одномерных кривых или площади поверхности для многогранников (т. Е. Объектов с плоскими многоугольными гранями ), для которых Площадь поверхности - это сумма площадей его граней. Гладким поверхностям, таким как сфера , назначается площадь поверхности с использованием их представления как параметрических поверхностей.. Это определение площади поверхности основано на методах исчисления бесконечно малых и включает частные производные и двойное интегрирование .

Общее определение площади поверхности искали Анри Лебег и Герман Минковский на рубеже двадцатого века. Их работа привела к развитию геометрической теории меры , которая изучает различные понятия площади поверхности для нерегулярных объектов любого размера. Важным примером является содержание Минковского на поверхности.

Определение [ править ]

Хотя площади многих простых поверхностей были известны с древних времен, строгое математическое определение площади требует большой осторожности. Это должно обеспечить функцию

${\ Displaystyle S \ mapsto A (S)}$

который присваивает положительное действительное число определенному классу поверхностей , удовлетворяющему нескольким естественным требованиям. Самым фундаментальным свойством площади поверхности является ее аддитивность : площадь целого - это сумма площадей частей . Более строго, если поверхность S представляет собой объединение конечного числа частей S ₁ ,…, S _r, которые не перекрываются, кроме как на своих границах, то

${\ Displaystyle A (S) = A (S_ {1}) + \ cdots + A (S_ {r}).}$

Площади плоских многоугольников должны совпадать с их геометрически определенной площадью . Поскольку площадь поверхности - это геометрическое понятие, площади конгруэнтных поверхностей должны быть одинаковыми, и площадь должна зависеть только от формы поверхности, но не от ее положения и ориентации в пространстве. Это означает, что площадь поверхности инвариантна относительно группы евклидовых движений . Эти свойства однозначно характеризуют площадь поверхности для широкого класса геометрических поверхностей, называемых кусочно-гладкими . Такие поверхности состоят из конечного числа частей, которые можно представить в параметрическом виде

${\displaystyle S_{D}:{\vec {r}}={\vec {r}}(u,v),\quad (u,v)\in D}$

с непрерывно дифференцируемой функцией Площадь отдельного предмета определяется по формуле${\displaystyle {\vec {r}}.}$

${\displaystyle A(S_{D})=\iint _{D}\left|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right|\,du\,dv.}$

Таким образом, площадь S _D получается путем интегрирования длины вектора нормали к поверхности по соответствующей области D в параметрической плоскости uv . Площадь всей поверхности затем получается путем сложения площадей частей с использованием аддитивности площади поверхности. Основная формула может быть специализирована для различных классов поверхностей, давая, в частности, формулы для площадей графов z = f ( x , y ) и поверхностей вращения .${\displaystyle {\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}}$

Фонарь Шварца с осевыми срезами и радиальными вершинами. Предел области , как и стремится к бесконечности не сходится. В частности, он не сходится к площади цилиндра.${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$

Одна из тонкостей площади поверхности по сравнению с длиной дуги кривых заключается в том, что площадь поверхности не может быть определена просто как предел площадей многогранных форм, приближающихся к данной гладкой поверхности. Герман Шварц продемонстрировал, что уже для цилиндра разные варианты аппроксимации плоских поверхностей могут приводить к различным предельным значениям площади; этот пример известен как фонарь Шварца . ^{[2] [3]}

Различные подходы к общему определению площади поверхности были разработаны в конце девятнадцатого и начале двадцатого века Анри Лебегом и Германом Минковски . В то время как для кусочно-гладких поверхностей существует уникальное естественное понятие площади поверхности, если поверхность очень неровная или шероховатая, то может быть вообще невозможно присвоить ей площадь. Типичный пример - поверхность с плотно разбросанными по всей поверхности шипами. Многие поверхности этого типа встречаются при изучении фракталов . В геометрической теории меры изучаются расширения понятия площади, которые частично выполняют свою функцию и могут быть определены даже для очень сильно нерегулярных поверхностей . Конкретным примером такого расширения являетсяСодержание Минковского на поверхности.

Общие формулы [ править ]

Площадь поверхности обычных твердых тел

Форма	Уравнение	Переменные
Куб	${\displaystyle 6s^{2}\,}$	s = длина стороны
Кубоид	${\displaystyle 2(\ell w+\ell h+wh)\,}$	ℓ = длина, w = ширина, h = высота
Треугольная призма	${\displaystyle bh+l(p+q+r)}$	b = длина основания треугольника, h = высота треугольника, l = расстояние между основаниями треугольника, p , q , r = стороны треугольника
Все призмы	${\displaystyle 2B+Ph\,}$	B = площадь одной базы, P = периметр одной базы, h = высота
Сфера	${\displaystyle 4\pi r^{2}=\pi d^{2}\,}$	r = радиус сферы, d = диаметр
Сферическая луна	${\displaystyle 2r^{2}\theta \,}$	r = радиус сферы, θ = двугранный угол
Тор	${\displaystyle (2\pi r)(2\pi R)=4\pi ^{2}Rr}$	r = малый радиус (радиус трубы), R = большой радиус (расстояние от центра трубы до центра тора)
Закрытый цилиндр	${\displaystyle 2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r(r+h)\,}$	r = радиус круглого основания, h = высота цилиндра
Площадь боковой поверхности конуса	${\displaystyle \pi r\left({\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)=\pi rs\,}$	${\displaystyle s={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$ s = наклонная высота конуса, r = радиус круглого основания, h = высота конуса
Полная площадь конуса	${\displaystyle \pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)=\pi r(r+s)\,}$	s = наклонная высота конуса, r = радиус круглого основания, h = высота конуса
Пирамида	${\displaystyle B+{\frac {PL}{2}}}$	B = площадь основания, P = периметр основания, L = высота наклона
Квадратная пирамида	${\displaystyle b^{2}+2bs=b^{2}+2b{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}}$	b = длина основания, s = наклонная высота, h = вертикальная высота
Прямоугольная пирамида	${\displaystyle lw+l{\sqrt {\left({\frac {w}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}+w{\sqrt {\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}}$	ℓ = длина, w = ширина, h = высота
Тетраэдр	${\displaystyle {\sqrt {3}}a^{2}}$	a = длина стороны

Соотношение площадей поверхности сферы и цилиндра одинакового радиуса и высоты [ править ]

Приведенные ниже формулы можно использовать, чтобы показать, что площадь поверхности сферы и цилиндра одинакового радиуса и высоты находится в соотношении 2: 3 , как показано ниже.

Пусть радиус равен r, а высота равна h (что равно 2 r для сферы).

${\displaystyle {\begin{array}{rlll}{\text{Sphere surface area}}&=4\pi r^{2}&&=(2\pi r^{2})\times 2\\{\text{Cylinder surface area}}&=2\pi r(h+r)&=2\pi r(2r+r)&=(2\pi r^{2})\times 3\end{array}}}$

Открытие этого соотношения приписывают Архимеду . ^[4]

По химии [ править ]

Площадь поверхности важна в химической кинетике . Увеличение площади поверхности вещества , как правило , увеличивает скорость в виде химической реакции . Например, железо в мелком порошке воспламеняется , а в твердых блоках оно достаточно стабильно для использования в конструкциях. Для различных применений может потребоваться минимальная или максимальная площадь поверхности.

В биологии [ править ]

Площадь поверхности организма важна по нескольким причинам, например, по регулированию температуры тела и пищеварения . Животные используют свои зубы, чтобы измельчать пищу на более мелкие частицы, увеличивая площадь поверхности, доступную для пищеварения. Эпителиальная ткань, выстилающая пищеварительный тракт, содержит микроворсинки , значительно увеличивая площадь, доступную для всасывания. У слонов большие уши , что позволяет им регулировать температуру собственного тела. В других случаях животным нужно будет минимизировать площадь поверхности; например, когда холодно, люди скрещивают руки на груди, чтобы минимизировать потерю тепла.

Отношение площади поверхности к объему (SA: V) клетки накладывает верхние пределы на размер, поскольку объем увеличивается намного быстрее, чем площадь поверхности, тем самым ограничивая скорость, с которой вещества диффундируют изнутри через клеточную мембрану в интерстициальные пространства. или в другие клетки. Действительно, представляя ячейку в виде идеализированной сферы радиуса r , объем и площадь поверхности равны, соответственно, V = (4/3) πr ³ и SA = 4 πr ² . Следовательно, результирующее отношение площади поверхности к объему составляет 3 / r.. Таким образом, если ячейка имеет радиус 1 мкм, соотношение SA: V равно 3; тогда как если радиус ячейки вместо 10 мкм, то соотношение SA: V становится 0,3. При радиусе соты 100 отношение SA: V составляет 0,03. Таким образом, площадь поверхности резко уменьшается с увеличением объема.

См. Также [ править ]

• Длина периметра
• Теория БЭТ , методика измерения удельной поверхности материалов.
• Сферическая область
• Поверхностный интеграл

Ссылки [ править ]

• Ю.Д. Бураго; В.А. Залгаллер; Л.Д. Кудрявцев (2001) [1994], «Площадь» , Математическая энциклопедия , EMS Press

Внешние ссылки [ править ]

• Видео о площади поверхности в Thinkwell