Трехмерное пространство

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Апрель 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Представление трехмерной декартовой системы координат с осью x, направленной в сторону наблюдателя.

Геометрия
Проецирование в сферу на плоскости
Контур История
ветви Евклидово Неевклидово Эллиптический Сферический Гиперболический Неархимедова геометрия Проективный Аффинный Синтетический Аналитический Алгебраический Арифметика Диофантин Дифференциальный Риманов Симплектический Дискретный дифференциал Сложный Конечный Дискретный / Комбинаторный Цифровой Выпуклый Вычислительная Фрактал Заболеваемость
Концепции Функции Измерение Конструкции линейки и компаса Угол Изгиб Диагональ Ортогональность ( перпендикулярность ) Параллельный Вершина Конгруэнтность Сходство Симметрия
Нульмерный Точка
Одномерный Линия сегмент луч Длина
Двумерный Самолет Площадь Многоугольник Треугольник Высота Гипотенуза теорема Пифагора Параллелограмм Квадрат Прямоугольник Ромб Ромбовидный Четырехугольник Трапеция летающий змей Круг Диаметр Длина окружности Площадь
Трехмерный Объем Куб кубовид Цилиндр Пирамида Сфера
Четырех- / другое измерение Тессеракт Гиперсфера
Геометры
по имени Аида Арьябхата Ахмес Альхазен Аполлоний Архимед Атья Баудхаяна Бойяи Брахмагупта Картан Coxeter Декарт Евклид Эйлер Гаусс Громов Гильберта Джиешхадева Катьяяна Хайям Кляйн Лобачевский Манава Минковский Минггату Паскаль Пифагор Парамешвара Пуанкаре Риман Сакабэ Sijzi ат-Туси Веблен Вирасена Ян Хуэй аль-Ясамин Чжан Список геометров
по периоду До н.э. Ахмес Баудхаяна Манава Пифагор Евклид Архимед Аполлоний 1–1400 Чжан Катьяяна Арьябхата Брахмагупта Вирасена Альхазен Sijzi Хайям аль-Ясамин ат-Туси Ян Хуэй Парамешвара 1400–1700 гг. Джиешхадева Декарт Паскаль Минггату Эйлер Сакабэ Аида 1700–1900-е гг. Гаусс Лобачевский Бойяи Риман Кляйн Пуанкаре Гильберта Минковский Картан Веблен Coxeter Сегодняшний день Атья Громов
v т е

Трехмерное пространство (также: 3-пространство , или, реже, три-мерное пространство ) представляет собой геометрический параметр , в котором три значения ( так называемые параметры ) необходимы для определения положения элемента (т.е. точки ). Это неформальное значение термина « измерение» .

В физике и математике , А последовательность из п чисел можно понимать как место в п - мерном пространстве. Когда n = 3 , набор всех таких местоположений называетсятрехмерное евклидово пространство (или просто евклидово пространство, если контекст ясен). Обычно обозначается символом ℝ ³ . ^{[1] [2]} Это трехпараметрическая модель физической вселенной (то есть пространственной части без учета времени), в которой существует вся известная материя . Хотя это пространство остается наиболее убедительным и полезным способом моделирования мира в том виде, в каком он ощущается, ^[3] это только один пример большого разнообразия пространств в трех измерениях, называемых 3-многообразиями . В этом классическом примере, когда три значения относятся к измерениям в разных направлениях ( координаты), можно выбрать любые три направления при условии, что не все векторы в этих направлениях лежат в одном и том же 2-пространстве ( плоскости ). Кроме того, в этом случае эти три значения могут быть помечены любой комбинацией трех значений, выбранных из терминов ширина , высота , глубина и длина .

В евклидовой геометрии [ править ]

Системы координат [ править ]

В математике аналитическая геометрия (также называемая декартовой геометрией) описывает каждую точку в трехмерном пространстве с помощью трех координат. Даны три координатные оси , каждая перпендикулярная двум другим в начале координат , точке, в которой они пересекаются. Обычно они обозначаются буквами x , y и z . Относительно этих осей положение любой точки в трехмерном пространстве задается упорядоченной тройкой действительных чисел , каждое число дает расстояние этой точки от начала координат, измеренное вдоль данной оси, которое равно расстоянию до этой оси. точка из плоскости, определяемой двумя другими осями. ^[4]

Другие популярные методы описания местоположения точки в трехмерном пространстве включают цилиндрические координаты и сферические координаты , хотя существует бесконечное количество возможных методов. Для получения дополнительной информации см. Евклидово пространство .

Ниже представлены изображения вышеупомянутых систем.

• Декартова система координат

• Цилиндрическая система координат

• Сферическая система координат

Линии и плоскости [ править ]

Две различные точки всегда определяют (прямую) линию . Три различные точки либо коллинеарны, либо определяют уникальную плоскость. С другой стороны, четыре различных точки могут быть либо коллинеарными, либо компланарными , либо определять все пространство.

Две различные прямые могут пересекаться, быть параллельны или наклонены . Две параллельные линии или две пересекающиеся линии лежат в одной плоскости, поэтому наклонные линии - это линии, которые не пересекаются и не лежат в общей плоскости.

Две разные плоскости могут либо пересекаться на общей линии, либо быть параллельными (т. Е. Не пересекаться). Три различных плоскости, ни одна пара которых не параллельна, могут либо пересекаться на общей линии, встречаться в единственной общей точке, либо не иметь общей точки. В последнем случае три линии пересечения каждой пары плоскостей взаимно параллельны.

Линия может лежать в данной плоскости, пересекать эту плоскость в уникальной точке или быть параллельной плоскости. В последнем случае на плоскости будут линии, параллельные данной.

Гиперплоскость является подпространством одно измерение меньше , чем размерность полного пространства. Гиперплоскости трехмерного пространства - это двумерные подпространства, то есть плоскости. С точки зрения декартовых координат, точки гиперплоскости удовлетворяют одному линейному уравнению , поэтому плоскости в этом 3-пространстве описываются линейными уравнениями. Линия может быть описана парой независимых линейных уравнений, каждое из которых представляет собой плоскость, имеющую эту линию в качестве общего пересечения.

Теорема Вариньона утверждает, что середины любого четырехугольника в ³ образуют параллелограмм и, следовательно, компланарны.

Сферы и шары [ править ]

Сфера в 3-пространстве (также называемый 2-сферой , потому что это 2-мерный объект) состоит из множества всех точек в 3-пространстве на фиксированном расстоянии г от центральной точки P . Твердое тело, окруженное сферой, называется шаром (точнее, 3-шаром ). Объем шара определяется выражением

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$.

Другой тип сферы возникает из 4-шара, чья трехмерная поверхность является 3-сфера : точек , равноудаленных от происхождения евклидова пространства ℝ ⁴ . Если точка имеет координаты P ( x , y , z , w ) , то x ² + y ² + z ² + w ² = 1 характеризует эти точки на единичной 3-сфере с центром в начале координат.

Многогранники [ править ]

В трех измерениях существует девять правильных многогранников: пять выпуклых платоновых тел и четыре невыпуклых многогранника Кеплера-Пуансо .

Поверхности революции [ править ]

Поверхность генерируется путем вращения плоскости кривой вокруг неподвижной линии в ее плоскости, оси , называется поверхность вращения . Плоская кривая называется образующей поверхности. Участок поверхности, образованный пересечением поверхности с плоскостью, перпендикулярной (ортогональной) оси, представляет собой круг.

Простые примеры возникают, когда образующая - линия. Если линия образующей пересекает осевую линию, поверхность вращения представляет собой правильный круговой конус с вершиной (вершиной) в точке пересечения. Однако если образующая и ось параллельны, то поверхность вращения представляет собой круговой цилиндр .

Квадрические поверхности [ править ]

По аналогии с коническими сечениями , множество точек, декартовы координаты которых удовлетворяют общему уравнению второй степени, а именно

${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Fxy+Gyz+Hxz+Jx+Ky+Lz+M=0,}$

где A , B , C , F , G , H , J , K , L и M - действительные числа, а не все A , B , C , F , G и H равны нулю, называется квадратичной поверхностью . ^[5]

Существует шесть типов невырожденных квадратичных поверхностей:

1. Эллипсоид
2. Гиперболоид одного листа
3. Гиперболоид двух листов
4. Эллиптический конус
5. Эллиптический параболоид
6. Гиперболический параболоид

Вырожденные двумерные квадрики являются пустым множеством, одна точка, одна линия, одна плоскость, пара плоскостей или квадратичное цилиндра (поверхность , состоящая из невырожденной конического сечения в плоскости П , и все линии ℝ ³ через эту конику, нормальную к π ). ^[5] Эллиптические конусы иногда также считаются вырожденными квадратичными поверхностями.

И гиперболоид одного листа, и гиперболический параболоид являются линейчатыми поверхностями , что означает, что они могут быть составлены из семейства прямых линий. Фактически, у каждого есть два семейства образующих, члены каждого семейства не пересекаются, и каждый член одного семейства пересекает, за одним исключением, каждого члена другого семейства. ^[6] Каждая семья называется регулятором .

В линейной алгебре [ править ]

Другой способ рассмотрения трехмерного пространства - это линейная алгебра , где идея независимости имеет решающее значение. Пространство имеет три измерения, потому что длина коробки не зависит от ее ширины или ширины. На техническом языке линейной алгебры пространство трехмерно, потому что каждая точка в пространстве может быть описана линейной комбинацией трех независимых векторов .

Точечное произведение, угол и длина [ править ]

Вектор можно представить в виде стрелки. Величина вектора - это его длина, а его направление - это направление стрелки. Вектор в ℝ ³ может быть представлен упорядоченной тройкой действительных чисел. Эти числа называются компонентами вектора.

Скалярное произведение двух векторов A = [ A ₁ , A ₂ , A ₃ ] и B = [ B ₁ , B ₂ , B ₃ ] определяется как: ^[7]

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}.}$

Величина вектора A обозначается || А || . Скалярное произведение вектора A = [ A ₁ , A ₂ , A ₃ ] с самим собой равно

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2},}$

который дает

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }}={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}}},}$

формула евклидовой длины вектора.

Без ссылки на компоненты векторов скалярное произведение двух ненулевых евклидовых векторов A и B дается формулой ^[8]

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,}$

где θ представляет собой угол между A и B .

Перекрестный продукт [ править ]

Векторное произведение или векторное произведение представляет собой бинарную операцию на двух векторов в трехмерном пространстве и обозначается символом ×. Векторное произведение a × b векторов a и b - это вектор, перпендикулярный обоим и, следовательно, нормальный к плоскости, содержащей их. Он имеет множество приложений в математике, физике и технике .

Пространство и произведение образуют алгебру над полем , которая не является ни коммутативной, ни ассоциативной , но является алгеброй Ли с перекрестным произведением, являющимся скобкой Ли.

В n измерениях можно взять произведение n - 1 векторов, чтобы получить вектор, перпендикулярный им всем. Но если продукт ограничен нетривиальными бинарными произведениями с векторными результатами, он существует только в трех и семи измерениях . ^[9]

В исчислении [ править ]

Градиент, расхождение и завиток [ править ]

В прямоугольной системе координат градиент задается формулой

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} }$

Дивергенция непрерывно дифференцируемого векторного поля F = U i + V j + W k равна скалярно- значной функции:

${\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {\partial V}{\partial y}}+{\frac {\partial W}{\partial z}}.}$

В развернутом виде в декартовых координатах (см. Del в цилиндрических и сферических координатах для сферических и цилиндрических координатных представлений) curl ∇ ​​× F для F состоит из [ F _x , F _y , F _z ]:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}}$

где i , j и k - единичные векторы для осей x -, y - и z соответственно. Это расширяется следующим образом: ^[10]

${\displaystyle \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} }$

Линейные интегралы, поверхностные интегралы и объемные интегралы [ править ]

Для некоторого скалярного поля f  : U ⊆ R ⁿ → R линейный интеграл вдоль кусочно гладкой кривой C ⊂ U определяется как

${\displaystyle \int \limits _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt.}$

где r : [a, b] → C - произвольная биективная параметризация кривой C такая, что r ( a ) и r ( b ) задают концы кривой C и .${\displaystyle a<b}$

Для векторного поля F  : U ⊆ R ⁿ → R ⁿ линейный интеграл вдоль кусочно гладкой кривой C ⊂ U в направлении r определяется как

${\displaystyle \int \limits _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt.}$

где · представляет собой скалярное произведение и т : [а, Ь] → C является биективен параметризация кривой C таким образом, что г ( ) и г ( б ) дают конечные точки С .

Интегральная поверхность является обобщением кратных интегралов к интегрированию по поверхности . Его можно рассматривать как двойной интегральный аналог линейного интеграла . Чтобы найти явную формулу для поверхностного интеграла, нам нужно параметризовать интересующую поверхность S , рассматривая систему криволинейных координат на S , таких как широта и долгота на сфере . Пусть такой параметризацией будет x ( s , t ), где ( s , t) изменяется в некоторой области T на плоскости . Тогда поверхностный интеграл определяется выражением

${\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left\|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

где выражение между решетками на правой стороне представляет собой величина от перекрестного продукта из частных производных от й ( з , т ), и известно как поверхностный элемент . Учитывая векторное поле v на S , то есть функцию, которая назначает каждому x в S вектор v ( x ), поверхностный интеграл может быть определен покомпонентно в соответствии с определением поверхностного интеграла скалярного поля; результат - вектор.

Интеграл объема относится к интегралу над 3- мерной области.

Он также может означать тройной интеграл в пределах области D в R ³ о наличии функции и обычно записывается в виде:${\displaystyle f(x,y,z),}$

${\displaystyle \iiint \limits _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.}$

Основная теорема линейных интегралов [ править ]

Основная теорема линейных интегралов , говорит о том , что криволинейный интеграл через градиент поля может быть оценена путем оценки исходной скалярного поля на концах кривой.

Пусть . потом${\displaystyle \varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{\gamma [\mathbf {p} ,\,\mathbf {q} ]}\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} .}$

Теорема Стокса [ править ]

Стокса теорема связывает поверхностный интеграл от ротора в виде векторного поля F над поверхностью Е в евклидове трехмерного пространства в криволинейном интеграл от векторного поля по его границе ∂Σ:

${\displaystyle \iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} .}$

Теорема о расходимости [ править ]

Предположим, что V - это подмножество (в случае n = 3, V представляет собой объем в трехмерном пространстве), которое компактно и имеет кусочно гладкую границу S (также обозначенную ∂ V = S ). Если F - непрерывно дифференцируемое векторное поле, определенное в окрестности V , то теорема о расходимости гласит: ^[11]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  

${\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\,dV=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} )\,dS.}$

Левая сторона представляет собой объемный интеграл по объему V , правая сторона представляет собой поверхностный интеграл по границе объема V . Замкнутое многообразие ∂ V вполне обычно граница V ориентированного на внешнем мире, указывающие нормали , а п является внешним указывая блок нормального поля граничного ∂ V . ( d S может использоваться как сокращение от n dS .)

В топологии [ править ]

Трехмерное пространство обладает рядом топологических свойств, которые отличают его от пространств других размерных чисел. Например, чтобы завязать узел на веревке, требуется как минимум три измерения . ^[12]

В дифференциальной геометрии трехмерные пространства общего положения являются 3-многообразиями , которые локально похожи на .${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$

В конечной геометрии [ править ]

Многие идеи размерности можно проверить с помощью конечной геометрии . Простейшим примером является PG (3,2) , двумерные подпространства которого являются плоскостями Фано . Это пример геометрии Галуа , исследования проективной геометрии с использованием конечных полей . Таким образом, для любого поля Галуа GF ( q ) существует проективное пространство PG (3, q ) трех измерений. Например, любые три косые линии в PG (3, q ) содержатся ровно в одном регуляре . ^[13]

См. Также [ править ]

• Размерный анализ
• Расстояние от точки до плоскости
• Четырехмерное пространство
• Наклонные линии § Расстояние
• Трехмерный график
• Двумерное пространство

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Антон, Ховард (1994), Элементарная линейная алгебра (7-е изд.), John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-58742-2
• Арфкен, Джордж Б. и Ханс Дж. Вебер. Математические методы для физиков , Academic Press; Выпуск 6 (21 июня 2005 г.). ISBN 978-0-12-059876-2 . 
• Браннан, Дэвид А .; Эсплен, Мэтью Ф .; Грей, Джереми Дж. (1999), геометрия , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59787-6

Внешние ссылки [ править ]

В Викицитатнике есть цитаты, связанные с: Трехмерным пространством

Викискладе есть медиафайлы по теме 3D .

• Словарное определение трехмерного в Викисловаре
• Вайсштейн, Эрик В. "Четырехмерная геометрия" . MathWorld .
• Элементарная линейная алгебра - Глава 8: Трехмерная геометрия Кейт Мэтьюз из Университета Квинсленда , 1991 г.