Топологическая производная

Топологические производный есть, Концептуален производный имеет формы функциональной по отношению к бесконечно малым изменениям в его топологии, такие как добавление бесконечно малое отверстия или трещины. При использовании в более высоких измерениях, чем один, термин топологический градиент также используется для обозначения члена первого порядка топологического асимптотического разложения, имеющего дело только с бесконечно малыми возмущениями сингулярной области. Он имеет приложения в оптимизации формы , оптимизации топологии , обработки изображений и механического моделирования.

Определение [ править ]

Пусть - открытая ограниченная область , с , которая подвержена негладкому возмущению, ограниченная небольшой областью размера с произвольной точкой и фиксированной областью . Позвольте быть характеристической функцией, связанной с невозмущенной областью, и быть характеристической функцией, связанной с перфорированной областью . Данный функционал формы, связанный с топологически возмущенной областью, допускает следующее топологическое асимптотическое разложение :${\ displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ displaystyle d \ geq 2}$${\ Displaystyle \ omega _ {\ varepsilon} ({\ тильда {x}}) = {\ тильда {x}} + \ varepsilon \ omega}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle {\tilde {x}}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle \Psi _{\varepsilon }}$${\displaystyle \Omega _{\varepsilon }=\Omega \backslash {\overline {\omega _{\varepsilon }}}}$${\displaystyle \Phi (\Psi _{\varepsilon }({\tilde {x}}))}$

${\displaystyle \Phi (\Psi _{\varepsilon }({\tilde {x}}))=\Phi (\Psi )+f(\varepsilon )g({\tilde {x}})+o(f(\varepsilon ))}$

где - функционал формы, связанный с эталонной областью, - положительная функция коррекции первого порядка и - остаток. Функция называется топологической производной at .${\displaystyle \Phi (\Psi )}$${\displaystyle f(\varepsilon )}$${\displaystyle \Phi (\Psi )}$${\displaystyle o(f(\varepsilon ))}$${\displaystyle g({\tilde {x}})}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle {\tilde {x}}}$

Приложения [ править ]

Структурная механика [ править ]

Топологическая производная может применяться к задачам оптимизации формы в строительной механике. ^[1] Топологическую производную можно рассматривать как предел сингулярности производной формы. Это обобщение этого классического инструмента оптимизации формы. ^[2] Оптимизация формы касается поиска оптимальной формы. То есть, найти , чтобы свести к минимуму некоторой скалярной целевой функции , . Метод топологической производной может быть объединен с методом уровня . ^[3]${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle J(\Omega )}$

В 2005 году было найдено топологическое асимптотическое разложение для уравнения Лапласа относительно внедрения короткой трещины внутрь плоской области. Это позволяет обнаруживать и локализовать трещины для простой модельной задачи: уравнения стационарной теплопроводности с наложенным тепловым потоком и температурой, измеренной на границе. ^[4] Топологическая производная была полностью разработана для широкого круга дифференциальных операторов второго порядка, а в 2011 году она была применена к задаче изгиба пластины Кирхгофа с оператором четвертого порядка. ^[5]

Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, добавив к нему . ( Декабрь 2011 г. )

Обработка изображений [ править ]

В области обработки изображений в 2006 г. топологическая производная использовалась для обнаружения краев и восстановления изображения . Исследовано влияние изоляционной трещины на домен. Топологическая чувствительность дает информацию о краях изображения. Представленный алгоритм не является итеративным и благодаря использованию спектральных методов имеет короткое время вычислений. ^[6] Для обнаружения краев нужны только операции, где - количество пикселей. ^[7] В последующие годы рассматривались и другие проблемы: классификация, сегментация , рисование и сверхразрешение . ^{[7] [8] [9]}${\displaystyle O(Nlog(N))}$${\displaystyle N}$^{[10] [11]} Этот подход может применяться к серым или цветным изображениям. ^[12] До 2010 года для реконструкции изображений использовалась изотропная диффузия. Топологический градиент также может обеспечивать ориентацию кромок, и эта информация может использоваться для выполнения анизотропной диффузии . ^[13]

В 2012 году представлена ​​общая структура для восстановления изображения с учетом некоторых зашумленных наблюдений в гильбертовом пространстве, где - область определения изображения . ^[11] Пространство наблюдения зависит от конкретного приложения, а также от линейного оператора наблюдения . Норма на пространстве есть . Идея восстановления исходного образа состоит в том, чтобы минимизировать следующий функционал для :${\displaystyle u\in L^{2}(\Omega )}$${\displaystyle Lu+n}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle u}$${\displaystyle E}$${\displaystyle L:L^{2}(\Omega )\rightarrow E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \|.\|_{E}}$${\displaystyle u\in H^{1}(\Omega )}$

${\displaystyle \|C^{1/2}\nabla u\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}+\|Lu-v\|_{E}^{2}}$

где - положительно определенный тензор. Первый член уравнения гарантирует, что восстановленное изображение является регулярным, а второй член измеряет несоответствие с данными. В этой общей структуре могут выполняться различные типы реконструкции изображения, такие как ^[11]${\displaystyle C}$${\displaystyle u}$

• шумоподавление изображения с помощью и ,${\displaystyle E=L^{2}(\Omega )}$${\displaystyle Lu=u}$
• изображения и подавления шума размытых с и с более размытость или Гауссово размывание ,${\displaystyle E=L^{2}(\Omega )}$${\displaystyle Lu=\phi \ast u}$${\displaystyle \phi }$
• изображение с и , подмножество - это область, в которой изображение должно быть восстановлено.${\displaystyle E=L^{2}(\Omega \backslash \omega )}$${\displaystyle Lu=u|_{\Omega \backslash \omega }}$${\displaystyle \omega \subset \Omega }$

В этой схеме асимптотическое разложение функции стоимости в случае трещины дает ту же топологическую производную, где - нормаль к трещине и постоянный коэффициент диффузии. Функции и являются решениями следующих прямых и сопряженных задач. ^[11]${\displaystyle J_{\Omega }(u_{\Omega })={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }u_{\Omega }^{2}}$${\displaystyle g(x,n)=-\pi c(\nabla u_{0}.n)(\nabla p_{0}.n)-\pi (\nabla u_{0}.n)^{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle c}$${\displaystyle u_{0}}$${\displaystyle p_{0}}$

${\displaystyle -\nabla (c\nabla u_{0})+L^{*}Lu_{0}=L^{*}v}$в и дальше${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \partial _{n}u_{0}=0}$${\displaystyle \partial \Omega }$

${\displaystyle -\nabla (c\nabla p_{0})+L^{*}Lp_{0}=\Delta u_{0}}$в и дальше${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \partial _{n}p_{0}=0}$${\displaystyle \partial \Omega }$

Благодаря топологическому градиенту можно обнаруживать края и их ориентацию, а также определять подходящие для процесса реконструкции изображения. ^[11]${\displaystyle C}$

При обработке изображений топологические производные также изучались в случае мультипликативного шума гамма-закона или при наличии пуассоновской статистики. ^[14]

Обратные задачи [ править ]

В 2009 году для томографической реконструкции был применен метод топологического градиента . ^[15] Связь между топологической производной и набором уровня также исследовалась в этом приложении. ^[16]

Ссылки [ править ]

Книги [ править ]

Новотный А.А., Соколовский Дж. Топологические производные в оптимизации формы , Springer, 2013.

Внешние ссылки [ править ]

• Аллер и др. Оптимизация конструкции с использованием топологической чувствительности и чувствительности к форме с помощью метода установки уровня