В топологии и смежных областях математики , топологическое свойство или топологический инвариант является свойством топологического пространства , которое является инвариантным при гомеоморфизмах . То есть свойство пространств является топологическим свойством, если всякий раз, когда пространство X обладает этим свойством, каждое пространство, гомеоморфное X, обладает этим свойством. Неформально топологическое свойство - это свойство пространства, которое может быть выражено с помощью открытых множеств .
Распространенная проблема в топологии - решить, гомеоморфны ли два топологических пространства . Чтобы доказать, что два пространства не гомеоморфны, достаточно найти топологическое свойство, которое они не разделяют.
Общие топологические свойства
Кардинальные функции
- Мощность | X | пространства X .
- Мощность τ ( X )топологии пространства X .
- Вес ш ( X ), наименьшая мощность на основе топологии пространства X .
- Плотность д ( Х ), наименьшая мощность подмножества X , замыкание которой Х .
Разделение
Обратите внимание, что некоторые из этих терминов определены по-другому в более ранней математической литературе; см. историю аксиом разделения .
- Т 0 или Колмогорова . Пространство называется Колмогоровским, если для каждой пары различных точек x и y в пространстве существует хотя бы либо открытое множество, содержащее x, но не y , либо открытое множество, содержащее y, но не x .
- Т 1 или Фреше . Пространство называется Фреше, если для каждой пары различных точек x и y в пространстве существует открытое множество, содержащее x, но не y . (Сравните с T 0 ; здесь нам разрешено указать, какая точка будет содержаться в открытом множестве.) Эквивалентно, пространство является T 1, если все его синглтоны замкнуты. Пробелы T 1 всегда равны T 0 .
- Трезвый . Пространство трезво, если каждое неприводимое замкнутое множество C имеет единственную точку общего положения p . Другими словами, если C не является (возможно, неразделенным) объединением двух меньших замкнутых подмножеств, то существует p такое, что замыкание { p } равно C , и p - единственная точка с этим свойством.
- Т 2 или Хаусдорф . Пространство хаусдорфово, если каждые две различные точки имеют непересекающиеся окрестности. Пробелы T 2 всегда равны T 1 .
- Т 2½ или Урысон . Пространство называется Урысоном, если каждые две различные точки имеют непересекающиеся замкнутые окрестности. T 2½ пространства всегда T 2 .
- Полностью Т 2 или полностью Хаусдорф . Пространство полностью T 2, если каждые две различные точки разделены функцией . Каждое полностью хаусдорфово пространство - это Урысон.
- Обычный . Пространство является регулярным, если всякий раз, когда C - замкнутое множество, а p - точка не в C , то C и p имеют непересекающиеся окрестности.
- Т 3 или Обычный Хаусдорф . Пространство является регулярным хаусдорфовым, если оно является регулярным пространством T 0 . (Регулярное пространство хаусдорфово тогда и только тогда, когда оно T 0 , поэтому терминология непротиворечива .)
- Совершенно нормально . Пространство является полностью регулярным, если всякий раз, когда C - замкнутое множество, а p - точка не в C , тогда C и { p } разделены функцией .
- T 3½ , Тихонов , Полностью регулярный Хаусдорф или Полностью T 3 . Тихоновское пространство является вполне регулярным Т 0 пространство. (Полностью регулярное пространство хаусдорфово тогда и только тогда, когда оно T 0 , поэтому терминология согласована.) Тихоновские пространства всегда являются регулярными хаусдорфовыми.
- Нормально . Пространство считается нормальным, если любые два непересекающихся замкнутых множества имеют непересекающиеся окрестности. Нормальные пространства допускают разбиения единицы .
- T 4 или нормальный Хаусдорф . Нормальное пространство хаусдорфово тогда и только тогда, когда оно T 1 . Нормальные хаусдорфовы пространства всегда тихоновы.
- Совершенно нормально . Пространство полностью нормально, если любые два разделенных множества имеют непересекающиеся окрестности.
- Т 5 или Совершенно нормальный Хаусдорф . Совершенно нормальное пространство хаусдорфово тогда и только тогда, когда оно есть T 1 . Совершенно нормальные хаусдорфовы пространства всегда нормальные хаусдорфовы.
- Совершенно нормально . Пространство является совершенно нормальным, если любые два непересекающихся замкнутых множества точно разделены функцией . Совершенно нормальное пространство также должно быть совершенно нормальным.
- Т 6 или Совершенно нормальный Хаусдорф , или совершенно Т 4 . Пространство является совершенно нормальным Хаусдорфом , если оно одновременно совершенно нормально и T 1 . Совершенно нормальное хаусдорфово пространство также должно быть полностью нормальным хаусдорфовым.
- Дискретное пространство . Пространство является дискретным, если все его точки полностью изолированы, т. Е. Если какое-либо подмножество открыто.
- Количество изолированных точек . Количество изолированных точек топологического пространства.
Условия счетности
- Разборный . Пространство отделимо, если у него есть счетное плотное подмножество.
- Счет первым . Пространство считается первым счетным, если каждая точка имеет счетную локальную базу.
- Второй счет . Пространство считается вторым счетным, если оно имеет счетную базу для своей топологии. Пространства с подсчетом до второго всегда сепарабельны, со счётом до первого и линделёфскими.
Связность
- Подключено . Пространство связно, если оно не является объединением пары непересекающихся непустых открытых множеств. Точно так же пространство связано, если единственные закрытые множества - это пустой набор и он сам.
- Локально подключен . Пространство локально связно, если каждая точка имеет локальную базу, состоящую из связных множеств.
- Полностью отключен . Пространство полностью отключено, если у него нет связанного подмножества с более чем одной точкой.
- Связано по пути . Пространство X является линейно связным , если для любых двух точек х , у в X , существует путь р от й к у , то есть непрерывное отображение р : [0,1] → X с р (0) = х и р (1) = у . Связанные пути пространства всегда связаны.
- Локально подключено по пути . Пространство локально линейно связно, если каждая точка имеет локальную базу, состоящую из линейно связанных множеств. Пространство с локальной линейной связью связано тогда и только тогда, когда оно связано с линейной связью.
- Дуговой . Пространство X называется дугово-связным, если для любых двух точек x , y в X существует дуга f от x до y , т. Е. Инъективное непрерывное отображение f : [0,1] → X с p (0) = x и p (1) = y . Пространства, связанные с дугой, связаны между собой путями.
- Просто связано . Пространство X является просто подключен , если он связно и каждое непрерывное отображение F : S 1 → X является гомотопными к постоянной карте.
- Локально просто подключается . Пространство X является локально односвязным , если каждая точка х в X имеет локальную базу окрестностей U , которые просто связаны между собой .
- Полу-локально односвязный . Пространство X является полу-локально односвязно , если каждая точка имеет локальную базу окрестностей U таким образом, что каждый цикл в U является сжимаемым в X . Полулокальная простая связность, строго более слабое условие, чем локальная простая связность, является необходимым условием существования универсального покрытия .
- Сжимаемый . Пространство X является сжимаемым , если тождественное отображение на X гомотопно постоянного отображения. Сжимаемые пространства всегда односвязны.
- Гиперподключен . Пространство гиперсвязно, если никакие два непустых открытых множества не пересекаются. Каждое сверхсвязанное пространство связано.
- Ультраподключен . Пространство сверхсвязно, если никакие два непустых замкнутых множества не пересекаются. Каждое сверхсвязанное пространство связано путями.
- Бесконечный или тривиальный . Пространство является недискретным, если единственными открытыми множествами являются пустое множество и оно само. Говорят, что такое пространство имеет тривиальную топологию .
Компактность
- Компактный . Пространство компактно, если каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие . Некоторые авторы называют эти пространства квазикомпактными и резервно компактными для хаусдорфовых пространств, где каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие. Компактные пространства всегда линделёфские и паракомпактные. Поэтому компактные хаусдорфовы пространства нормальны.
- Последовательно компактный . Пространство секвенциально компактно, если каждая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность.
- Счетно компактный . Пространство счетно компактно, если каждое счетное открытое покрытие имеет конечное подпокрытие.
- Псевдокомпактный . Пространство псевдокомпактно, если любая непрерывная вещественнозначная функция на нем ограничена.
- σ-компактный . Пространство σ-компактно, если оно представляет собой объединение счетного числа компактных подмножеств.
- Линделёф . Пространство называется линделёфским, если каждое открытое покрытие имеет счетное подпокрытие.
- Паракомпакт . Пространство паракомпактно, если каждое открытое покрытие имеет открытое локально конечное измельчение. Паракомпактные хаусдорфовы пространства нормальны.
- Локально компактный . Пространство локально компактно, если каждая точка имеет локальную базу, состоящую из компактных окрестностей. Также используются несколько иные определения. Локально компактные хаусдорфовы пространства всегда тихоновы.
- Ультрасвязный компактный . В сверхсвязном компактном пространстве X каждая открытая крышка должна содержать само X. Непустые сверхсвязные компактные пространства имеют наибольшее собственное открытое подмножество, называемое монолитом .
Метризуемость
- Метризуемый . Пространство метризуемо, если оно гомеоморфно метрическому пространству . Метризуемые пространства всегда хаусдорфовы и паракомпактны (а значит, нормальны и тихоновы) и счетны в первую очередь. Более того, топологическое пространство (X, T) называется метризуемым, если существует метрика для X такая, что метрическая топология T (d) совпадает с топологией T.
- Польский . Пространство называется польским, если оно метризуемо с отделимой полной метрикой.
- Местно метризуемый . Пространство локально метризуемо, если каждая точка имеет метризуемую окрестность.
Разнообразный
- Пространство Бэра . Пространство X является пространством Бэра, если оно не скудно само по себе. Эквивалентно, X - пространство Бэра, если пересечение счетного числа плотных открытых множеств плотно.
- Топологическая однородность . Пространство X (топологически) однородно, если для любых x и y в X существует гомеоморфизм f : X → X такой, что f ( x ) = y . Интуитивно говоря, это означает, что пространство выглядит одинаково во всех точках. Все топологические группы однородны.
- Конечно порожденный или Александров . Пространство X называется Александровым, если произвольные пересечения открытых множеств в X открыты, или, что то же самое, если произвольные объединения замкнутых множеств замкнуты. Это в точности конечно порожденные члены категории топологических пространств и непрерывных отображений.
- Нульмерный . Пространство нульмерно, если у него есть база из замкнутых множеств. Это именно те пространства с небольшой индуктивной размерностью от 0 .
- Почти дискретный . Пространство почти дискретно, если каждое открытое множество замкнуто (следовательно, открыто). Почти дискретные пространства - это в точности конечно порожденные нульмерные пространства.
- Логическое . Пространство является булевым, если оно нульмерно, компактно и хаусдорфово (то есть полностью несвязно, компактно и хаусдорфово). Это именно те пространства, которые гомеоморфны каменные пространства в булевых алгебрах .
- Кручение Рейдемейстера
- -разрешимый . Пространство называется κ-разрешимым [1] (соответственно: почти κ-разрешимым), если оно содержит κ плотных множеств, которые попарно не пересекаются (соответственно: почти не пересекаются над идеалом нигде не плотных подмножеств). Если места нет-разрешимой, то она называется -неразрешимо.
- Максимально разрешимый . Космос максимально разрешимо, если оно -разрешимый, где . Число называется дисперсионным характером .
- Сильно дискретный . Набор является сильно дискретным подмножеством пространства если точки в могут быть разделены попарно непересекающимися окрестностями. Космос называется сильно дискретной, если каждая неизолированная точка - точка накопления некоторого сильно дискретного множества.
Нетопологические свойства
Есть много примеров свойств метрических пространств и т. Д., Которые не являются топологическими свойствами. Чтобы показать недвижимость не топологичен, достаточно найти два гомеоморфных топологических пространства такой, что имеет , но не имеет .
Например, свойства ограниченности и полноты метрического пространства не являются топологическими свойствами. Позволять а также - метрические пространства со стандартной метрикой. Потом, через гомеоморфизм . Тем не мение, полное, но не ограниченное, а ограничен, но не полон.
Смотрите также
- Эйлерова характеристика
- Номер обмотки
- Характеристический класс
- Характерные числа
- Черн класс
- Узел инвариантный
- Ссылочный номер
- Свойство фиксированной точки
- Топологическое квантовое число
- Гомотопическая группа и когомотопическая группа
- Гомологии и когомологии
- Квантовый инвариант
Цитаты
- ^ Юхас, Иштван; Соукуп, Лайош; Сентмиклоши, Золтан (2008). «Разрешимость и монотонная нормальность». Израильский математический журнал . 166 (1): 1–16. arXiv : math / 0609092 . DOI : 10.1007 / s11856-008-1017-у . ISSN 0021-2172 . S2CID 14743623 .
Рекомендации
- Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Ридинг, Массачусетс: Addison-Wesley Pub. Co. p. 369. ISBN. 9780486434797.
- Мункрес, Джеймс Р. (2000). Топология . Прентис-Холл . ISBN 0-13-181629-2.
[2] Саймон Мулиерас, Мацей Левенштейн и Грасиана Пуэнтес, Инженерия запутывания и топологическая защита с помощью квантовых блужданий с дискретным временем, Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics 46 (10), 104005 (2013). https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0953-4075/46/10/104005/pdf