Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В топологии и смежных отраслей математики , A топологическое пространство может быть определена как набор из точек , наряду с набором окрестностей для каждой точки, удовлетворяющей набор аксиом , касающихся точек и окрестностей. Определение топологического пространства основывается только на теории множеств и является наиболее общим понятием математического пространства, которое позволяет определять такие понятия, как непрерывность , связность и конвергенция . [1] Другие пространства, такие как многообразия иметрические пространства , являются специализациями топологических пространств с дополнительными структурами или ограничениями. Будучи столь общими, топологические пространства являются центральным объединяющим понятием и появляются практически во всех областях современной математики. Раздел математики, изучающий топологические пространства как таковые, называется точечной топологией или общей топологией .

История [ править ]

Примерно в 1735 году Эйлер открыл формулу, связывающую количество вершин, ребер и граней выпуклого многогранника и, следовательно, плоского графа . Изучение и обобщение этой формулы, в частности Коши и Л'Юилье , лежит в основе топологии . В 1827 году Карл Фридрих Гаусс опубликовал общие исследования криволинейных поверхностей.который в разделе 3 определяет изогнутую поверхность аналогично современному топологическому пониманию: «Говорят, что изогнутая поверхность обладает непрерывной кривизной в одной из своих точек A, если направление всех прямых линий, проведенных из A в точки поверхности на бесконечно малом расстоянии от A бесконечно мало отклоняются от одной и той же плоскости, проходящей через A. " [2]

Тем не менее, «до работы Римана в начале 1850-х годов поверхности всегда рассматривались с локальной точки зрения (как параметрические поверхности), а топологические вопросы никогда не рассматривались». [3] « Мебиус и Джордан, кажется, первыми осознали, что основная проблема топологии (компактных) поверхностей состоит в том, чтобы найти инварианты (предпочтительно числовые) для определения эквивалентности поверхностей, то есть решить, являются ли две поверхности гомеоморфны или нет ". [3]

Предмет четко определен Феликсом Кляйном в его «Программе Эрлангена» (1872 г.): геометрические инварианты произвольного непрерывного преобразования, своего рода геометрия. Термин «топология» был введен Иоганном Бенедиктом Листингом в 1847 году, хотя он использовал этот термин в переписке несколькими годами ранее вместо ранее использовавшегося «Analysis situs». Фундамент этой науки для пространства любого измерения был создан Пуанкаре . Его первая статья по этой теме появилась в 1894 году. [4] В 1930-х годах Джеймс Уодделл Александр II и Хасслер Уитни впервые высказали идею о том, что поверхность - это топологическое пространство, локально подобное евклидовой плоскости .

Определения [ править ]

Полезность понятия топологии демонстрируется тем фактом, что существует несколько эквивалентных определений этой структуры. Таким образом, выбирается аксиоматизация, подходящая для приложения. Чаще всего используется в терминах открытых множеств , но, возможно, более интуитивно понятен в терминах окрестностей, поэтому он дается первым.

Определение через окрестности [ править ]

Эта аксиоматизация принадлежит Феликсу Хаусдорфу . Пусть X - множество; элементы X обычно называют точками , хотя они могут быть любым математическим объектом. Мы позволяем X быть пустым. Пусть N будет функцией присвоения каждого х (точка) в X непустой коллекция Н ( х ) подмножеств X . Элементы N ( х ) будут называть окрестности по й по отношению к N (или, просто, окрестности точки х). Функция Н называется топологией окрестности , если аксиомы ниже [5] удовлетворены; и тогда X с N называется топологическим пространством .

  1. Если N есть окрестность х (т.е., NN ( х )), то хN . Другими словами, каждая точка принадлежит каждой из своих окрестностей.
  2. Если N является подмножеством X и включает окрестность x , то N является окрестностью x . Т.е. каждое надмножество окрестности точки x в X снова является окрестностью x .
  3. Пересечение двух окрестностей й окрестность х .
  4. Любая окрестность Н из й включает в окрестности М из х , таких , что Н есть окрестность каждой точки М .

Первые три аксиомы соседства имеют ясный смысл. Четвертая аксиома имеет очень важное применение в структуре теории, что увязывания воедино окрестности различных точек X .

Стандартный пример такой системы окрестностей - это вещественная прямая R , где подмножество N в R определяется как окрестность действительного числа x, если оно включает открытый интервал, содержащий x .

Учитывая такую структуру, подмножество U в X определяется как открытым , если U есть окрестность всех точек в U . Тогда открытые множества удовлетворяют аксиомам, приведенным ниже. И наоборот, когда дано открытые множества топологического пространства, окрестности , удовлетворяющие вышеуказанные аксиомы могут быть восстановлены путем определения Н быть окрестностью х , если Н содержит открытое множество U такого , что хU . [6]

Определение через открытые множества [ редактировать ]

Четыре примера и два не-примера топологий на трехточечном множестве {1,2,3}. Пример в нижнем левом углу не является топологией, потому что объединение {2} и {3} [т.е. {2,3}] отсутствует; нижний правый пример не является топологией, потому что пересечение {1,2} и {2,3} [т.е. {2}] отсутствует.

Топологическое пространство является упорядоченной пары ( X , τ ), где Х представляет собой множество , а τ представляет собой набор подмножеств из X , удовлетворяющих следующим аксиомам : [7]

  1. Пустое множество и X сам принадлежит т .
  2. Любое произвольное (конечное или бесконечное) объединение членов τ по- прежнему принадлежит  τ .
  3. Пересечение любого конечного числа членов τ по- прежнему принадлежит  τ .

Элементы т называются открытыми множествами и сбор τ называется топологией на  X .

Примеры [ править ]

  1. Для X = {1, 2, 3, 4} набор τ = {{}, {1, 2, 3, 4}} только двух подмножеств X, требуемых аксиомами, образует топологию X , тривиальную топология (недискретная топология).
  2. Для X = {1, 2, 3, 4} набор τ = {{}, {2}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}} из шести подмножеств X образует другую топологию X .
  3. Для X = {1, 2, 3, 4} и набора τ = P ( X ) ( множество степеней X ), ( X , τ ) является топологическим пространством. τ называется дискретной топологией .
  4. Учитывая X = Z , набор целых чисел, набор τ всех конечных подмножеств целых чисел плюс Z сам по себе не является топологией, потому что (например) объединение всех конечных множеств, не содержащих ноль, не является конечным, но также не является всем из Z , и поэтому он не может быть в  т .

Определение через закрытые множества [ править ]

Используя законы де Моргана , указанные выше аксиомы, определяющие открытые множества, становятся аксиомами, определяющими замкнутые множества :

  1. Пустое множество и X закрыты.
  2. Пересечение любого набора замкнутых множеств также замкнуто.
  3. Объединение любого конечного числа замкнутых множеств также замкнуто.

Используя эти аксиомы, другой способ определить топологическое пространство как множества X вместе с коллекцией т замкнутых подмножеств X . Таким образом, множества в топологии τ - это замкнутые множества, а их дополнения в X - открытые множества.

Другие определения [ править ]

Есть много других эквивалентных способов определения топологического пространства: другими словами, концепции соседства, открытых или замкнутых множеств могут быть реконструированы из других отправных точек и удовлетворять правильным аксиомам.

Другой способ для определения топологического пространства с помощью закрывающих аксиом Куратовских , которые определяют замкнутые множества как в фиксированных точках в качестве оператора на множестве мощности от X .

Сетка является обобщением понятия последовательности . Топология полностью определена, если для каждой сети в X задан набор ее точек накопления .

Сравнение топологий [ править ]

На множестве можно разместить множество топологий, чтобы сформировать топологическое пространство. Когда каждое множество в топологии т 1 также в топологии т 2 и τ 1 является подмножеством т 2 , мы говорим , что τ 2 является более тонким , чем т 1 и τ 1 является грубее , чем т 2 . Доказательство, основанное только на существовании определенных открытых множеств, будет справедливо и для любой более тонкой топологии, и аналогично доказательство, основанное только на том, что определенные множества не являются открытыми, применимо к любой более грубой топологии. Условия больше ииногда вместо более тонкого и грубого используются меньшие . Термины « сильнее» и « слабее» также используются в литературе, но их значение мало согласовано, поэтому при чтении всегда следует быть уверенным в соглашении автора.

Совокупность всех топологий на заданном фиксированном множестве X образует полную решетку : если F = { τ α | & alpha ; ∈ } представляет собой набор топологий на X , то встречается из F является пересечением F , и присоединиться к из Р является встречается коллекции всех топологий на X , которые содержат каждый член F .

Непрерывные функции [ править ]

Функция F  : XY топологических пространств называется непрерывной , если для каждого х в X и любой окрестности N из ф ( х ) существует окрестность М из х , таких , что F ( М ) ⊆ N . Это легко соотносится с обычным определением в анализе. Эквивалентно, f является непрерывным, если прообраз каждого открытого множества открыт. [8] Это попытка уловить интуицию, что в функции нет «скачков» или «разделений». Гомеоморфизм является взаимно однозначным соответствием, что является непрерывным и чьим обратным также непрерывно. Два пространства называются гомеоморфными, если между ними существует гомеоморфизм. С точки зрения топологии гомеоморфные пространства по существу идентичны. [9]

В теории категорий , Top , то категория топологических пространств с топологическими пространствами как объекты и непрерывные функции как морфизмов , является одной из основных категорий . Попытка классифицировать объекты этой категории (до гомеоморфизма) по инвариантам имеет мотивированные области исследований, такие как гомотопическая теория , теория гомологии и К-теория .

Примеры топологических пространств [ править ]

У данного набора может быть много разных топологий. Если набору задается другая топология, он рассматривается как другое топологическое пространство. Любому набору может быть задана дискретная топология, в которой каждое подмножество открыто. Единственными сходящимися последовательностями или цепями в этой топологии являются те, которые в конечном итоге являются постоянными. Кроме того, любому множеству может быть задана тривиальная топология (также называемая недискретной топологией), в которой только пустое множество и все пространство открыты. Каждая последовательность и сеть в этой топологии сходится к каждой точке пространства. Этот пример показывает, что в общих топологических пространствах пределы последовательностей не обязательно должны быть уникальными. Однако часто топологические пространства должны быть хаусдорфовыми пространствами, в которых предельные точки единственны.

Метрические пространства [ править ]

Метрические пространства воплощают метрику , точное понятие расстояния между точками.

Каждому метрическому пространству может быть задана метрическая топология, в которой основные открытые множества представляют собой открытые шары, определяемые метрикой. Это стандартная топология любого нормированного векторного пространства . На конечномерном векторном пространстве эта топология одинакова для всех норм.

Есть много способов определить топологию на R , наборе действительных чисел . Стандартная топология на R порождается открытыми интервалами . Набор всех открытых интервалов образует основу или основу топологии, что означает, что каждый открытый набор является объединением некоторого набора наборов из базы. В частности, это означает, что набор является открытым, если существует открытый интервал ненулевого радиуса вокруг каждой точки набора. В более общем смысле, евклидовы пространства R n могут иметь топологию. В обычной топологии на R n основными открытыми множествами являются открытые шары . По аналогии,C , набор комплексных чисел , и C n имеют стандартную топологию, в которой основные открытые множества являются открытыми шарами.

Пространства близости [ править ]

Пространства близости обеспечивают понятие близости двух множеств.

Единые пространства [ править ]

Однородные пространства аксиоматизируют упорядочивание расстояний между отдельными точками.

Функциональные пространства [ править ]

Топологическое пространство, в котором точки являются функциями, называется функциональным пространством .

Пространства Коши [ править ]

Пространства Коши аксиоматизируют способность проверять, является ли сеть Коши . Пространства Коши обеспечивают общую основу для изучения пополнений .

Пространства конвергенции [ править ]

Пространства сходимости отражают некоторые особенности сходимости фильтров .

Сайты Гротендика [ править ]

Сайты Гротендика - это категории с дополнительными данными, аксиоматизирующими, покрывает ли набор стрелок объект. Сайты - это общая настройка для определения связок .

Другие пространства [ править ]

Если Γ является фильтр на множестве X , то {∅} ∪ Γ топология на X .

Многие наборы линейных операторов в функциональном анализе наделены топологиями, которые определяются путем определения момента, когда конкретная последовательность функций сходится к нулевой функции.

Любое локальное поле имеет собственную топологию, которая может быть расширена до векторных пространств над этим полем.

Каждое многообразие имеет естественную топологию, поскольку оно локально евклидово. Точно так же каждый симплекс и каждый симплициальный комплекс наследует естественную топологию от R n .

Топология Зариская определяются алгебраически по спектру кольца или алгебраического многообразия . На R n или C n замкнутые множества топологии Зарисского являются множествами решений систем полиномиальных уравнений.

Линейный граф имеет естественную топологию , которая обобщает многие из геометрических аспектов графов с вершинами и ребрами .

Пространство Серпинского - простейшее недискретное топологическое пространство. Он имеет важное отношение к теории вычислений и семантике.

На любом конечном множестве существует множество топологий . Такие пространства называются конечными топологическими пространствами . Конечные пространства иногда используются в качестве примеров или контрпримеров для гипотез о топологических пространствах в целом.

Любому множеству может быть дана конфинитная топология, в которой открытые множества являются пустым множеством и множеством, дополнение которых конечно. Это наименьшая топология T 1 на любом бесконечном множестве.

Любому набору может быть задана сопоставляемая топология , в которой набор определяется как открытый, если он либо пуст, либо его дополнение счетно. Когда набор неисчислим, эта топология служит контрпримером во многих ситуациях.

Реальная линия также может иметь топологию нижнего предела . Здесь основные открытые множества - это полуоткрытые интервалы [ a , b ). Эта топология на R строго тоньше, чем определенная выше евклидова топология; последовательность сходится к точке в этой топологии тогда и только тогда, когда она сходится сверху в евклидовой топологии. Этот пример показывает, что в наборе может быть определено множество различных топологий.

Если Γ - порядковое число , то множество Γ = [0, Γ) может быть наделено топологией порядка, порожденной интервалами ( ab ), [0,  b ) и ( a , Γ), где a и b - элементы Γ.

Космическое пространство из свободной группы F п состоит из так называемых «маркированных метрических графов структур» объем 1 на F н . [10]

Топологические конструкции [ править ]

Каждому подмножеству топологического пространства может быть задана топология подпространства, в которой открытые множества являются пересечениями открытых множеств большего пространства с подмножеством. Для любого индексированного семейства топологических пространств продукту может быть задана топология произведения , которая порождается прообразами открытых множеств факторов при отображениях проекций . Например, в конечных продуктах основу топологии продукта составляют все продукты открытых множеств. Для бесконечных произведений существует дополнительное требование, чтобы в базовом открытом множестве все его проекции, кроме конечного числа, составляли все пространство.

Фактор - пространство определяется следующим образом : если Х представляет собой топологическое пространство , а Y представляет собой набор, и если F  : XY является сюръективна функцией , то топология фактора на Y представляет собой семейство подмножеств Y , которые имеют открытые прообразы под f . Другими словами, фактор-топология - это тончайшая топология на Y, для которой f непрерывна. Типичный пример топологии фактора является , когда отношение эквивалентности определяется на топологическом пространстве X . КартаТогда f является естественной проекцией на множество классов эквивалентности .

Виторис топология на множестве всех непустых подмножеств топологического пространства X , названных в честь Леопольда Вьеторис , порождаются следующей основой: для каждого п -кратного U 1 , ..., U п открытых множеств в X , мы строим базисный набор, состоящий из всех подмножеств объединения U i, которые имеют непустые пересечения с каждым U i .

Fell топология на множестве всех непустых замкнутых подмножеств локально компактного польского пространство X представляет собой вариант топологии Виеторис, и названа в честь математика Джеймс Фелл. Он порождается следующим базисом: для каждого n -набора U 1 , ..., U n открытых множеств в X и для каждого компакта K множество всех подмножеств X , не пересекающихся с K и имеющих непустые пересечения с каждым U i является членом базиса.

Классификация топологических пространств [ править ]

Топологические пространства можно широко классифицировать с точностью до гомеоморфизма по их топологическим свойствам . Топологическое свойство - это свойство пространств, инвариантное относительно гомеоморфизмов. Чтобы доказать, что два пространства не гомеоморфны, достаточно найти топологическое свойство, не разделяемое ими. Примеры таких свойств включают связность , компактность и различные аксиомы разделения . Для алгебраических инвариантов см алгебраическую топологию .

Топологические пространства с алгебраической структурой [ править ]

Для любых алгебраических объектов мы можем ввести дискретную топологию, при которой алгебраические операции являются непрерывными функциями. Для любой такой структуры, которая не является конечной, мы часто имеем естественную топологию, совместимую с алгебраическими операциями, в том смысле, что алгебраические операции по-прежнему непрерывны. Это приводит к таким понятиям, как топологические группы , топологические векторные пространства , топологические кольца и локальные поля .

Топологические пространства с порядковой структурой [ править ]

  • Спектральный . Пространство спектрально тогда и только тогда, когда оно является простым спектром кольца ( теорема Хохстера ).
  • Предварительный заказ специализации . В пространстве предварительный порядок специализации (или канонический ) определяется как xy тогда и только тогда, когда cl { x } ⊆ cl { y }.

См. Также [ править ]

  • Характеризации категории топологических пространств
  • Полная алгебра Гейтинга - система всех открытых множеств данного топологического пространства, упорядоченная по включению, является полной алгеброй Гейтинга.
  • Пространство конвергенции
  • Геминепрерывность
  • Квазитопологическое пространство
  • Космос (математика)
  • Относительно компактное подпространство
  • Компактное пространство
  • Пространство Хаусдорфа
  • Гильбертово пространство
  • Линейное подпространство

Примечания [ править ]

  1. ^ Шуберт 1968 , стр. 13
  2. ^ Гаусс 1827 .
  3. ↑ a b Gallier & Xu 2013 .
  4. ^ Дж. Стиллвелл, Математика и ее история
  5. ^ Браун 2006 , раздел 2.1.
  6. ^ Браун 2006 , раздел 2.2.
  7. ^ Армстронг 1983 , определение 2.1.
  8. ^ Армстронг 1983 , теорема 2.6.
  9. ^ Манкрес, Джеймс R (2015). Топология . С. 317–319. ISBN 978-93-325-4953-1.
  10. ^ Каллер, Марк ; Фогтманн, Карен (1986). «Модули графов и автоморфизмы свободных групп» ( PDF ) . Inventiones Mathematicae . 84 (1): 91–119. DOI : 10.1007 / BF01388734 .

Ссылки [ править ]

  • Армстронг, Массачусетс (1983) [1979]. Базовая топология . Тексты для бакалавриата по математике . Springer. ISBN 0-387-90839-0.
  • Бредон, Глен Э. , Топология и геометрия (дипломные работы по математике), Springer; 1-е издание (17 октября 1997 г.). ISBN 0-387-97926-3 . 
  • Бурбаки, Николас ; Элементы математики: общая топология , Эддисон-Уэсли (1966).
  • Браун, Рональд (2006). Топология и группоиды . Книжный цех. ISBN 1-4196-2722-8. (3-е издание книг с разными названиями)
  • Чех, Эдуард ; Наборы точек , Academic Press (1969).
  • Фултон, Уильям , Алгебраическая топология (Тексты для выпускников по математике), Springer; 1-е издание (5 сентября 1997 г.). ISBN 0-387-94327-7 . 
  • Галье, Жан; Сюй, Дианна (2013). Руководство по теореме классификации компактных поверхностей . Springer.
  • Гаусс, Карл Фридрих (1827). Общие исследования криволинейных поверхностей .
  • Липшуц, Сеймур; Схема общей топологии Шаума , McGraw-Hill; 1-е издание (1 июня 1968 г.). ISBN 0-07-037988-2 . 
  • Мункрес, Джеймс ; Топология , Прентис Холл; 2-е издание (28 декабря 1999 г.). ISBN 0-13-181629-2 . 
  • Рунде, Фолькер; Вкус топологии (Universitext) , Springer; 1-е издание (6 июля 2005 г.). ISBN 0-387-25790-X . 
  • Шуберт, Хорст (1968), топология , Macdonald Technical & Scientific, ISBN 0-356-02077-0
  • Стин, Линн А. и Сибах, Дж. Артур-младший ; Контрпримеры в топологии , Холт, Райнхарт и Уинстон (1970). ISBN 0-03-079485-4 . 
  • Вайдьянатхасвами, Р. (1960). Установить топологию . ISBN Chelsea Publishing Co. 0486404560.
  • Уиллард, Стивен (2004). Общая топология . Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.

Внешние ссылки [ править ]

  • "Топологическое пространство" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]