Тензор кручения
В дифференциальной геометрии понятие кручения — это способ характеристики поворота или винта движущейся системы отсчета вокруг кривой. Кручение кривой , как оно появляется в формулах Френе-Серре , например, количественно определяет поворот кривой вокруг ее касательного вектора по мере развития кривой (или, скорее, вращение системы Френе-Серре вокруг касательного вектора). В геометрии поверхностей геодезическое кручение описывает, как поверхность закручивается вокруг кривой на поверхности. Сопутствующее понятие кривизны измеряет, как движущиеся кадры «катятся» по кривой «без скручивания».
В более общем случае на дифференцируемом многообразии , снабженном аффинной связностью (то есть связностью в касательном расслоении ), кручение и кривизна образуют два основных инварианта связности. В этом контексте кручение дает внутреннюю характеристику того, как касательные пространства закручиваются вокруг кривой, когда они перемещаются параллельно ; тогда как кривизна описывает, как касательные пространства катятся по кривой. Кручение может быть описано конкретно как тензор или как векторнозначная 2-форма на многообразии. Если ∇ — аффинная связность на дифференциальном многообразии, то тензор кручения определяется в терминах векторных полей X и Y как
Кручение особенно полезно при изучении геометрии геодезических . Для заданной системы параметризованных геодезических можно указать класс аффинных связностей, имеющих эти геодезические, но различающихся своими кручением. Существует уникальная связь, которая поглощает кручение , обобщая связь Леви-Чивиты на другие, возможно, неметрические ситуации (такие как финслерова геометрия ). Разница между соединением с кручением и соответствующим соединением без кручения представляет собой тензор, называемый тензором скручивания . Поглощение кручения также играет фундаментальную роль в изучении G-структур и метода эквивалентности Картана.. Кручение также полезно при изучении непараметризованных семейств геодезических через связанную проективную связь . В теории относительности такие идеи были реализованы в форме теории Эйнштейна-Картана .
Пусть M — многообразие с аффинной связностью на касательном расслоении (она же ковариантная производная ) ∇. Тензор кручения (иногда называемый тензором Картана ( кручения ) ) ∇ является векторнозначной 2-формой, определенной на векторных полях X и Y формулой
где [ X , Y ] — скобка Ли двух векторных полей. По правилу Лейбница T ( fX , Y ) = T ( X , fY ) = fT ( X , Y ) для любой гладкой функции f . Таким образом , T является тензорным , несмотря на то, что он определен в терминах связи , которая является дифференциальным оператором первого порядка: он дает 2-форму на касательных векторах, в то время как ковариантная производная определяется только для векторных полей.
Компоненты тензора кручения в терминах локального базиса ( e 1 , ..., en ) сечений касательного расслоения можно получить, полагая X = e i , Y = e j и вводя коммутационные коэффициенты γ k ij е k знак равно [ е я , е j ] . Компоненты кручения тогда
