Функция передачи

Эта статья может содержать слишком много повторений или излишней лексики . Пожалуйста, помогите улучшить его , объединив похожий текст или удалив повторяющиеся утверждения. ( Декабрь 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В технике передаточная функция (также известная как системная функция ^[1] или сетевая функция ) электронного компонента или компонента системы управления - это математическая функция, которая теоретически моделирует выход устройства для каждого возможного входа. ^[2]^[3]^[4] В простейшей форме эта функция представляет собой двумерный график зависимости независимого скалярного входа от зависимого скалярного выхода, называемый передаточной кривой или характеристической кривой. Передаточные функции для компонентов используются для проектирования и анализа систем, собранных из компонентов, в частности, с использованием техники блок-схем в электронике и теории управления .

Размеры и единицы передаточной функции моделируют выходной отклик устройства для ряда возможных входов. Например, передаточная функция двухпортовой электронной схемы, такой как усилитель, может быть двумерным графиком скалярного напряжения на выходе как функции скалярного напряжения, приложенного к входу; передаточной функцией электромеханического привода может быть механическое смещение подвижного рычага в зависимости от электрического тока, приложенного к устройству; передаточной функцией фотодетектора может быть выходное напряжение как функция силы света падающего света данной длины волны.

Термин «передаточная функция» также используется в анализе систем в частотной области с использованием методов преобразования, таких как преобразование Лапласа ; здесь это означает амплитуду выходного сигнала как функцию частоты входного сигнала. Например, передаточная функция электронного фильтра - это амплитуда напряжения на выходе как функция частоты синусоидальной волны постоянной амплитуды, подаваемой на вход. Для оптических устройств обработки изображений, то функция оптической передачи является преобразование Фурье от функции рассеяния точки (отсюда в зависимости от пространственной частоты ).

Линейные инвариантные во времени системы [ править ]

Передаточные функции обычно используются при анализе таких систем, как с одним входом и одним выходом фильтры в области обработки сигналов , теории связи и теории управления . Этот термин часто используется исключительно для обозначения линейных инвариантных во времени (LTI) систем. Большинство реальных систем имеют нелинейные характеристики ввода / вывода, но многие системы при работе с номинальными параметрами (не «перегружены») имеют поведение, достаточно близкое к линейному, что теория систем LTI является приемлемым представлением поведения ввода / вывода.

Приведенные ниже описания даны в терминах комплексной переменной , которая требует краткого объяснения. Во многих приложениях достаточно определить (таким образом ), что сводит преобразования Лапласа с комплексными аргументами к преобразованиям Фурье с вещественным аргументом ω. Приложения, в которых это является обычным явлением, - это приложения, в которых интересует только установившаяся реакция системы LTI, а не мимолетное поведение при включении и выключении или проблемы со стабильностью. Обычно так обстоит дело с теорией обработки сигналов и коммуникации . ${\ displaystyle s = \ sigma + j \ cdot \ omega}$ ${\ displaystyle \ sigma = 0}$ ${\ displaystyle s = j \ cdot \ omega}$

Таким образом, для входного и выходного сигнала с непрерывным временем передаточная функция является линейным отображением преобразования Лапласа входного сигнала в преобразование Лапласа выходного сигнала : ${\ Displaystyle х (т)}$ ${\ Displaystyle у (т)}$ ${\ Displaystyle H (s)}$ ${\ Displaystyle Икс (s) = {\ mathcal {L}} \ влево \ {х (т) \ вправо \}}$ ${\ Displaystyle Y (s) = {\ mathcal {L}} \ влево \ {у (т) \ вправо \}}$

{\ Displaystyle Y (s) = H (s) \; X (s)}

или же

{\ displaystyle H (s) = {\ frac {Y (s)} {X (s)}} = {\ frac {{\ mathcal {L}} \ left \ {y (t) \ right \}} { {\ mathcal {L}} \ left \ {x (t) \ right \}}}}

.

В системах с дискретным временем отношения между входным сигналом и выходом обрабатываются с помощью z-преобразования , а затем передаточная функция записывается аналогично, и ее часто называют импульсной передаточной функцией. ^[^{необходима цитата}^] ${\ Displaystyle х (т)}$ ${\ Displaystyle у (т)}$ ${\ Displaystyle H (z) = {\ гидроразрыва {Y (z)} {X (z)}}}$

Прямой вывод из дифференциальных уравнений [ править ]

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

{\ displaystyle L [u] = {\ frac {d ^ {n} u} {dt ^ {n}}} + a_ {1} {\ frac {d ^ {n-1} u} {dt ^ {n -1}}} + \ dotsb + a_ {n-1} {\ frac {du} {dt}} + a_ {n} u = r (t)}

где u и r - подходящие гладкие функции от t , а L - оператор, определенный в соответствующем функциональном пространстве, который преобразует u в r . Такое уравнение можно использовать для ограничения выходной функции u в терминах вынуждающей функции r . Передаточная функция может использоваться для определения оператора, который служит правой инверсией L , что означает, что . ${\ displaystyle F [r] = u}$ $L[F[r]]=r$

Решения однородного , постоянный коэффициент дифференциального уравнения можно найти, пытаясь . Эта замена дает характеристический полином $L[u]=0$ $u=e^{\lambda t}$

p_{L}(\lambda )=\lambda ^{n}+a_{1}\lambda ^{n-1}+\dotsb +a_{n-1}\lambda +a_{n}\,

Неоднородный случай легко разрешается, если входная функция r также имеет вид . В этом случае при подстановке получается, что если мы определим $r(t)=e^{st}$ $u=H(s)e^{st}$ $L[H(s)e^{st}]=e^{st}$

H(s)={\frac {1}{p_{L}(s)}}\qquad {\text{wherever }}\quad p_{L}(s)\neq 0.

Принятие этого определения передаточной функции требует тщательного устранения неоднозначности ^{[ требуется разъяснение ]} между комплексными и реальными значениями, на которые традиционно влияет ^{[ требуется разъяснение ]} интерпретация abs (H (s)) как усиления и -atan (H (s)) как фазовое отставание . Используются и другие определения передаточной функции: например ^[5] $1/p_{L}(ik).$

Прирост, переходное поведение и стабильность [ править ]

Можно записать общий синусоидальный вход в систему частот . Отклик системы на входной синусоидальный сигнал, начинающийся во времени, будет состоять из суммы установившегося отклика и переходного отклика. Установившийся отклик - это выходной сигнал системы в пределе бесконечного времени, а переходный отклик - это разница между откликом и установившимся откликом (он соответствует однородному решению вышеприведенного дифференциального уравнения). Передаточная функция для системы LTI можно записать как продукт: $\omega _{0}/(2\pi )$ $\exp(j\omega _{0}t)$ $t=0$

H(s)=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{s-s_{P_{i}}}}

где s _{P _i} - это N корней характеристического полинома и, следовательно, будут полюсами передаточной функции. Рассмотрим случай передаточной функции с одним полюсом, где . Преобразование Лапласа общей синусоиды единичной амплитуды будет . Преобразование Лапласа на выходе будет, а временное на выходе будет обратным преобразованием Лапласа этой функции: $H(s)={\frac {1}{s-s_{P}}}$ $s_{P}=\sigma _{P}+j\omega _{P}$ ${\frac {1}{s-j\omega _{i}}}$ ${\frac {H(s)}{(s-j\omega _{0})}}$

g(t)={\frac {e^{j\,\omega _{0}\,t}-e^{(\sigma _{P}+j\,\omega _{P})t}}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}

Второе слагаемое в числителе - это переходная характеристика, и в пределе бесконечного времени она будет расходиться до бесконечности, если σ _P положительно. Чтобы система была стабильной, ее передаточная функция не должна иметь полюсов, действительные части которых положительны. Если передаточная функция строго устойчива, действительные части всех полюсов будут отрицательными, и переходное поведение будет стремиться к нулю в пределе бесконечного времени. Выход в установившемся режиме будет:

g(\infty )={\frac {e^{j\,\omega _{0}\,t}}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}

Частотная характеристика (или «усиление») G системы определяются как абсолютное значение отношения амплитуды выходного сигнала к амплитуде стационарной входной:

G(\omega _{i})=\left|{\frac {1}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}\right|={\frac {1}{\sqrt {\sigma _{P}^{2}+(\omega _{P}-\omega _{0})^{2}}}}

что является просто абсолютным значением оцененной передаточной функции . Можно показать, что этот результат действителен для любого числа полюсов передаточной функции. $H(s)$ $j\omega _{i}$

Обработка сигнала [ править ]

Пусть будет вход общего линейного времени инвариантом системы и быть выходом, а двустороннее преобразование Лапласа от и быть $x(t)$ $y(t)$ $x(t)$ $y(t)$

{\begin{aligned}X(s)&={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-st}\,dt,\\Y(s)&={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }y(t)e^{-st}\,dt.\end{aligned}}

Тогда выход связан с входом передаточной функцией как $H(s)$

Y(s)=H(s)X(s)

и поэтому сама передаточная функция

H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}.

В частности, если сложный гармонический сигнал с синусоидальной составляющей с амплитудой , угловой частотой и фазой , где arg - аргумент $|X|$ $\omega$ $\arg(X)$

x(t)=Xe^{j\omega t}=|X|e^{j(\omega t+\arg(X))}

куда

X=|X|e^{j\arg(X)}

вводится в линейную инвариантную во времени систему, то соответствующий компонент на выходе:

{\begin{aligned}y(t)&=Ye^{j\omega t}=|Y|e^{j(\omega t+\arg(Y))},\\Y&=|Y|e^{j\arg(Y)}.\end{aligned}}

Обратите внимание, что в линейной системе, не зависящей от времени, входная частота не изменилась, система изменила только амплитуду и фазовый угол синусоиды. Частотная характеристика описывает это изменение для каждой частоты с точки зрения усиления : $\omega$ $H(j\omega )$ $\omega$

G(\omega )={\frac {|Y|}{|X|}}=|H(j\omega )|

и фазовый сдвиг :

\phi (\omega )=\arg(Y)-\arg(X)=\arg(H(j\omega )).

Фазовой задержки (то есть, в зависимости от частоты величина задержки вводится в синусоиды с помощью передаточной функции) является:

\tau _{\phi }(\omega )=-{\frac {\phi (\omega )}{\omega }}.

Групповая задержка (то есть, в зависимости от частоты величины задержки представлена огибающей синусоиды с помощью передаточной функции) определяется путем вычисления производной фазового сдвига по отношению к угловой частоте , $\omega$

\tau _{g}(\omega )=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}.

Передаточная функция также может быть показана с использованием преобразования Фурье, которое является лишь частным случаем двустороннего преобразования Лапласа для случая, когда . $s=j\omega$

Общие семейства передаточных функций [ править ]

Хотя любую систему LTI можно описать той или иной передаточной функцией, существуют определенные «семейства» специальных передаточных функций, которые обычно используются.

Некоторые общие семейства передаточных функций и их особые характеристики:

Фильтр Баттерворта - максимально плоский по полосе пропускания и полосе задерживания для данного порядка
Фильтр Чебышева (Тип I) - максимально плоский по полосе задерживания, более резкое срезание, чем фильтр Баттерворта того же порядка
Фильтр Чебышева (Тип II) - максимально плоская по полосе пропускания, более резкое срезание, чем фильтр Баттерворта того же порядка
Фильтр Бесселя - лучший импульсный отклик для заданного порядка, поскольку он не имеет пульсаций групповой задержки
Эллиптический фильтр - наиболее резкое срезание (самый узкий переход между полосой пропускания и полосой заграждения) для данного порядка
Оптимальный фильтр «L»
Фильтр Гаусса - минимальная групповая задержка; не дает перерегулирования ступенчатой функции
Фильтр песочных часов
Фильтр с приподнятым косинусом

Техника управления [ править ]

В контрольной технике и теории управления передаточная функция получена с помощью преобразования Лапласа .

Передаточная функция была основным инструментом, используемым в классической технике управления. Однако он оказался громоздким для анализа систем с множеством входов и множеством выходов (MIMO) и был в значительной степени вытеснен представлениями в пространстве состояний для таких систем. ^{[ необходимая цитата ]} Несмотря на это, матрицу переноса всегда можно получить для любой линейной системы, чтобы проанализировать ее динамику и другие свойства: каждый элемент матрицы переноса является передаточной функцией, связывающей конкретную входную переменную с выходной переменной .

Полезное представление, связывающее пространство состояний и методы передаточной функции, было предложено Говардом Х. Розенброком и называется системной матрицей .

Оптика [ править ]

В этом разделе не процитировать любые источники . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . ( Декабрь 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В оптике функция передачи модуляции указывает на возможность передачи оптического контраста.

Например, при наблюдении за серией полос черно-белого света, нарисованных с определенной пространственной частотой, качество изображения может ухудшиться. Белая бахрома тускнеет, а черная становится ярче.

Функция передачи модуляции на конкретной пространственной частоте определяется следующим образом:

\mathrm {MTF} (f)={\frac {M(\mathrm {image} )}{M(\mathrm {source} )}},

где модуляция (M) вычисляется из следующего изображения или яркости света:

M={\frac {L_{\max }-L_{\min }}{L_{\max }+L_{\min }}}.

Визуализация [ править ]

При формировании изображения передаточные функции используются для описания взаимосвязи между светом сцены, сигналом изображения и отображаемым светом.

Нелинейные системы [ править ]

Для многих нелинейных систем передаточные функции не существуют должным образом . Например, их не существует для релаксационных осцилляторов ; ^[6], однако, описывающие функции могут иногда использоваться для аппроксимации таких нелинейных систем, не зависящих от времени.

См. Также [ править ]

Аналоговый компьютер
Черный ящик
Сюжет Боде
Свертка
Принцип Дюамеля
Частотный отклик
Импульсивный ответ
Преобразование Лапласа
Теория систем LTI
Сюжет Найквиста
Операционный усилитель
Оптическая передаточная функция
Правильная передаточная функция
Матрица системы Розенброка
Полугодовой график
График потока сигналов
Функция передачи сигнала

Ссылки [ править ]

^ Бернд Жирод , Рудольф Рабенштейн, Александр Стенгер, Сигналы и системы , 2-е изд., Wiley, 2001, ISBN 0-471-98800-6 стр. 50
^ MA Laughton; Д.Ф. Варн (27 сентября 2002 г.). Справочник инженера-электрика (16-е изд.). Newnes. С. 14 / 9–14 / 10. ISBN 978-0-08-052354-5.
^ EA Парр (1993). Справочник разработчика логики: схемы и системы (2-е изд.). Новизна. С. 65–66. ISBN 978-1-4832-9280-9.
^ Ян Синклер; Джон Дантон (2007). Электронное и электрическое обслуживание: бытовая и коммерческая электроника . Рутледж. п. 172. ISBN. 978-0-7506-6988-7.
^ Биркгоф, Гарретт; Рота, Джан-Карло (1978). Обыкновенные дифференциальные уравнения . Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-471-05224-1.^{[ требуется страница ]}
^ Valentijn De Smedt, Жорж Gielen и Wim Деан (2015). Независимые от температуры и напряжения питания эталоны времени для беспроводных сенсорных сетей . Springer. п. 47. ISBN 978-3-319-09003-0.

Внешние ссылки [ править ]

ECE 209: Обзор схем как систем LTI - Краткое руководство по математическому анализу (электрических) систем LTI.

[1] Бернд Жирод , Рудольф Рабенштейн, Александр Стенгер, Сигналы и системы , 2-е изд., Wiley, 2001, ISBN 0-471-98800-6 стр. 50

[LaughtonWarne2002-2] MA Laughton; Д.Ф. Варн (27 сентября 2002 г.). Справочник инженера-электрика (16-е изд.). Newnes. С. 14 / 9–14 / 10. ISBN 978-0-08-052354-5.

[Parr1993-3] EA Парр (1993). Справочник разработчика логики: схемы и системы (2-е изд.). Новизна. С. 65–66. ISBN 978-1-4832-9280-9.

[SinclairDunton2007-4] Ян Синклер; Джон Дантон (2007). Электронное и электрическое обслуживание: бытовая и коммерческая электроника . Рутледж. п. 172. ISBN. 978-0-7506-6988-7.

[5] Биркгоф, Гарретт; Рота, Джан-Карло (1978). Обыкновенные дифференциальные уравнения . Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-471-05224-1.^{[ требуется страница ]}

[Dehaene-6] Valentijn De Smedt, Жорж Gielen и Wim Деан (2015). Независимые от температуры и напряжения питания эталоны времени для беспроводных сенсорных сетей . Springer. п. 47. ISBN 978-3-319-09003-0.

[1]