Древо первобытных пифагорейских троек

Дерево Берггрена примитивных троек Пифагора.

В математике , А дерево примитивных пифагорейских троек является деревом данных , в которой каждый узел переходит к трем последующим узлам с бесконечным множеством всех узлов , дающими все (и только) примитивные пифагорейских тройками без дублирования.

Пифагореец тройной представляет собой набор из трех положительных целых чисел а, Ь, и с обладающим тем свойством , что они могут быть , соответственно , две ногой и гипотенузы из прямоугольного треугольника , таким образом , удовлетворяющая уравнению ; тройные , как говорят, примитивным тогда и только тогда , когда наибольший общий делитель из а, б, и с одним. Примитивные тройки Пифагора a, b и c также попарно взаимно просты . Множество всех примитивных пифагоровых троек имеет структуру корневого дерева , а именно троичного дерева.${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$ , естественным образом. Впервые это было обнаружено Б. Берггреном в 1934 г. ^[1]

FJM Barning показал ^[2], что когда любая из трех матриц

${\ displaystyle {\ begin {array} {lcr} A = {\ begin {bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 3 \ end {bmatrix}} & B = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \ end {bmatrix}} & C = {\ begin {bmatrix} -1 & 2 & 2 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 2 & 2 & 3 \ end {bmatrix}} \ end {array}}}$

это умножается на справа на вектор - столбец , компоненты которого образуют тройную Пифагора, то результатом будет еще один столбец вектор, компоненты которого являются различные Пифагора тройки. Если исходная тройка примитивна, то получится и та, которая получится. Таким образом, каждая примитивная пифагорейская тройка имеет трех «детей». Таким образом, все примитивные пифагорейские тройки произошли от тройки (3, 4, 5), и никакая примитивная тройка не появляется более одного раза. Результат может быть графически представлен в виде бесконечного тернарного дерева с (3, 4, 5) в корневом узле (см. Классическое дерево справа). Это дерево также появилось в работах А. Холла в 1970 г. ^[3] и А. Р. Канги в 1990 г. ^[4]В 2008 г. В. Е. Фирстов в целом показал, что существует только три таких дерева трихотомии, которые явно дают дерево, подобное дереву Берггрена, но начиная с начального узла (4, 3, 5). ^[5]

Доказательства [ править ]

Наличие исключительно примитивных пифагоровых троек [ править ]

Индуктивно можно показать, что дерево содержит примитивные пифагоровы тройки и ничего больше, показав, что, начиная с примитивной пифагоровой тройки, например, присутствующей в начальном узле с (3, 4, 5), каждая сгенерированная тройка является как пифагоровой, так и примитивной. .

Сохранение пифагорейской собственности [ править ]

Если любую из вышеперечисленных матриц, скажем, A , применить к тройке ( a , b , c ) ^T, имеющей свойство Пифагора a ² + b ² = c ^2, чтобы получить новую тройку ( d , e , f ) ^T = A ( a , b , c ) ^T , эта новая тройка также пифагорова. Это можно увидеть, записав каждое из d , e и f как сумму трех членов вa , b и c , возводя каждый из них в квадрат и подставляя c ² = a ² + b ^2, чтобы получить f ² = d ² + e ² . Это верно для B и C , а также для A .

Сохранение примитивности [ править ]

Матриц A , B и C являются всеми унимодулярными , то есть, они имеют только число записей и их определители ± 1. Таким образом, их инверсии также унимодулярны и, в частности, имеют только целые элементы. Итак, если любой из них, например A , применить к примитивной пифагоровой тройке ( a , b , c ) ^T, чтобы получить еще одну тройку ( d , e , f ) ^T , мы имеем ( d , e , f ) ^T = А ( а, Б , с ) ^Т и , следовательно , ( , Ь , с ) ^Т = ^-1 ( д , е , е ) ^Т . Если бы какой-либо простой множитель был разделен между любыми двумя из (и, следовательно, всеми тремя из) d , e и f, то по последнему уравнению это простое число также делило бы каждое из a , b и c . Итак, если a , b и c на самом деле попарно взаимно просты, то d, e и f также должны быть попарно взаимно простыми. Это верно для B и C , а также для A .

Наличие каждой примитивной пифагорейской тройки ровно один раз [ править ]

Чтобы показать, что дерево содержит каждую примитивную тройку Пифагора, но не более одного раза, достаточно показать, что для любой такой тройки существует ровно один путь назад через дерево к начальному узлу (3, 4, 5). В этом можно убедиться, применив по очереди каждую из унимодулярных обратных матриц A ⁻¹ , B ⁻¹ и C ⁻¹ к произвольной примитивной пифагоровой тройке ( d , e , f), отмечая, что по приведенным выше рассуждениям примитивность и свойство Пифагора сохраняются, и отмечая, что для любой тройки, большей, чем (3, 4, 5), ровно одна из матриц обратных переходов дает новую тройку со всеми положительными элементами (и меньшими гипотенуза). По индукции эта новая действительная тройка сама по себе приводит ровно к одной действительной тройке меньшего размера и так далее. По конечности числа все меньших и меньших потенциальных гипотенуз в конце концов достигается (3, 4, 5). Это доказывает, что ( d , e , f ) действительно встречается в дереве, поскольку до него можно добраться из (3, 4, 5), изменив шаги; и это происходит однозначно, потому что был только один путь от ( d , e , f ) до (3, 4, 5).

Свойства [ править ]

Преобразование с использованием матрицы A , если выполняется повторно из ( a ,  b ,  c ) = (3, 4, 5), сохраняет признак b  + 1 =  c ; матрица B сохраняет a  -  b  = ± 1, начиная с (3, 4, 5); а матрица C сохраняет признак a  + 2 =  c, начиная с (3, 4, 5).

Геометрическая интерпретация этого дерева предполагает наличие вневписанных окружностей в каждом узле. Три дочерних элемента любого родительского треугольника «наследуют» свои внутренние радиусы от родителя: радиусы вневписанной окружности родительского треугольника становятся внутренними радиусами для следующего поколения. ^{[6] : стр.7} Например, родительский элемент (3, 4, 5) имеет радиусы вневписанной окружности, равные 2, 3 и 6. Это в точности внутренние радиусы трех дочерних элементов (5, 12, 13), (15, 8). , 17) и (21, 20, 29) соответственно.

Если любой из A или C применяется повторно из любой тройки Пифагора, используемой в качестве начального условия, то динамика любого из a , b и c может быть выражена как динамика x в

${\ displaystyle x_ {n + 3} -3x_ {n + 2} + 3x_ {n + 1} -x_ {n} = 0 \,}$

который основан на общем характеристическом уравнении матриц

${\ displaystyle \ lambda ^ {3} -3 \ lambda ^ {2} +3 \ lambda -1 = 0. \,}$

Если B применяется повторно, то динамика любого из a , b и c может быть выражена как динамика x в

${\ displaystyle x_ {n + 3} -5x_ {n + 2} -5x_ {n + 1} + x_ {n} = 0, \,}$

который по образцу характеристического уравнения B . ^[7]

Более того, бесконечное количество других одномерных разностных уравнений третьего порядка может быть найдено путем умножения любой из трех матриц вместе произвольное число раз в произвольной последовательности. Например, матрица D  =  CB перемещает один узел из дерева на два узла (поперек, затем вниз) за один шаг; характеристическое уравнение D обеспечивает шаблон для динамики третьего порядка любого из более ,  б, или с в неисчерпывающему дерева , образованного  D .

Альтернативные методы создания дерева [ править ]

Другой подход к динамике этого дерева ^[8] основан на стандартной формуле для генерации всех примитивных пифагоровых троек:

${\ Displaystyle а = м ^ {2} -n ^ {2}, \,}$

${\ displaystyle b = 2mn, \,}$

${\displaystyle c=m^{2}+n^{2},\,}$

где m  >  n  > 0, m и n взаимно просты и имеют противоположную четность. Пары ( m ,  n ) могут быть повторены путем предварительного умножения их (выраженного как вектор-столбец) на любой из

${\displaystyle {\begin{array}{lcr}{\begin{bmatrix}2&-1\\1&0\end{bmatrix}},&{\begin{bmatrix}2&1\\1&0\end{bmatrix}},&{\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}},\end{array}}}$

каждое из которых сохраняет неравенства, взаимную простоту и противоположную четность. Результирующее троичное дерево, начиная с (2,1), содержит каждую такую ​​( m ,  n ) пару ровно один раз, и при преобразовании в ( a ,  b ,  c ) троек оно становится идентичным дереву, описанному выше.

Другой способ использования двух базовых параметров для создания дерева троек ^[9] использует альтернативную формулу для всех примитивных троек:

${\displaystyle a=uv,\,}$

${\displaystyle b={\frac {u^{2}-v^{2}}{2}},}$

${\displaystyle c={\frac {u^{2}+v^{2}}{2}},}$

где u  >  v  > 0, u и v взаимно просты и оба нечетны . Пары ( u ,  v ) могут быть повторены путем предварительного умножения их (выраженного как вектор-столбец) на любую из указанных выше матриц 2 × 2, все три из которых сохраняют неравенства, взаимную простоту и нечетную четность обоих элементов. Когда этот процесс начинается в (3, 1), результирующее троичное дерево содержит каждую такую пару ( u ,  v ) ровно один раз, а при преобразовании в тройки ( a ,  b ,  c ) оно становится идентичным дереву, описанному выше.

Другое дерево [ править ]

В качестве альтернативы, можно также использовать 3 разные матрицы, найденные Прайсом. ^[6] Эти матрицы A ', B', C ' и соответствующие им линейные преобразования показаны ниже.

${\displaystyle {\overset {{A}'}{\mathop {\left[{\begin{matrix}2&1&-1\\-2&2&2\\-2&1&3\end{matrix}}\right]} }}\left[{\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{1}\\b_{1}\\c_{1}\end{matrix}}\right],\quad {\text{ }}{\overset {{B}'}{\mathop {\left[{\begin{matrix}2&1&1\\2&-2&2\\2&-1&3\end{matrix}}\right]} }}\left[{\begin{matrix}a\\b\\c\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{2}\\b_{2}\\c_{2}\end{matrix}}\right],\quad {\text{ }}{\overset {{C}'}{\mathop {\left[{\begin{matrix}2&-1&1\\2&2&2\\2&1&3\\\end{matrix}}\right]} }}\left[{\begin{matrix}a\\b\\c\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{3}\\b_{3}\\c_{3}\end{matrix}}\right]}$

Три линейных преобразования Прайса:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{matrix}+2a+b-c=a_{1}\quad &-2a+2b+2c=b_{1}\quad &-2a+b+3c=c_{1}&\quad \to \left[{\text{ }}a_{1},{\text{ }}b_{1},{\text{ }}c_{1}\right]\end{matrix}}\\&{\begin{matrix}+2a+b+c=a_{2}\quad &+2a-2b+2c=b_{2}\quad &+2a-b+3c=c_{2}&\quad \to \left[{\text{ }}a_{2},{\text{ }}b_{2},{\text{ }}c_{2}\right]\end{matrix}}\\&{\begin{matrix}+2a-b+c=a_{3}\quad &+2a+2b+2c=b_{3}\quad &+2a+b+3c=c_{3}&\quad \to \left[{\text{ }}a_{3},{\text{ }}b_{3},{\text{ }}c_{3}\right]\end{matrix}}\\&\end{aligned}}}$

Три дочерних элемента, производимые каждым из двух наборов матриц, не совпадают, но каждый набор отдельно создает все примитивные тройки.

Например, используя [5, 12, 13] в качестве родителя, мы получаем два набора из трех дочерних элементов:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}&\left[5,12,13\right]&\\A&B&C\\\left[45,28,53\right]&\left[55,48,73\right]&\left[7,24,25\right]\end{array}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad {\begin{array}{ccc}{}&\left[5,12,13\right]&{}\\A'&B'&C'\\\left[9,40,41\right]&\left[35,12,37\right]&\left[11,60,61\right]\end{array}}}$

Примечания и ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Тройное дерево (я), лежащее в основе примитивных троек Пифагора, в разрубленном узле
• Франк Р. Бернхарт и Х. Ли Прайс, «Повторное посещение сада Пифагора», Австралийский журнал старших математиков, 01/2012; 26 (1): 29-40. [1]
• Вайстейн, Эрик В. «Тройной Пифагора» . MathWorld .