Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Основа тригонометрии: если два прямоугольных треугольника имеют одинаковые острые углы , они подобны , поэтому их стороны пропорциональны . Константы пропорциональности записываются внутри изображения: sin θ , cos θ , tan θ , где θ - это стандартная мера пяти острых углов.

В математике , то тригонометрические функции (также называемые круговые функции , угловые функции или гониометрическую функцию [1] [2] ) являются действительными функциями , которые относятся угол с прямоугольным треугольником с соотношением длинами два боковых. Они широко используются во всех науках, связанных с геометрией , таких как навигация , механика твердого тела , небесная механика , геодезия и многие другие. Они относятся к числу простейших периодических функций, и как таковые также широко используются для изучения периодических явлений с помощью анализа Фурье .

Тригонометрические функции, наиболее широко используемые в современной математике, - это синус , косинус и тангенс . Их обратные значения - соответственно косеканс , секанс и котангенс , которые используются реже. Каждая из этих шести тригонометрических функций имеет соответствующую обратную функцию (называемую обратной тригонометрической функцией ), а также эквивалент в гиперболических функциях . [3]

Самые старые определения тригонометрических функций, относящиеся к прямоугольным треугольникам, определяют их только для острых углов . Чтобы распространить эти определения на функции, область определения которых представляет собой всю проективно расширенную действительную линию , часто используются геометрические определения с использованием стандартной единичной окружности (т. Е. Окружности с радиусом 1 единица). Современные определения выражают тригонометрические функции как бесконечный ряд или как решения дифференциальных уравнений . Это позволяет расширить область функций синуса и косинуса на всю комплексную плоскость., а область определения остальных тригонометрических функций на комплексную плоскость (из которой удалены некоторые изолированные точки).

Определения прямоугольного треугольника [ править ]

График шести тригонометрических функций, единичный круг и линия для угла θ = 0,7 радиана. Точки, обозначенные 1 , Sec (θ) , Csc (θ), представляют длину отрезка прямой от начала координат до этой точки. Sin (θ) , Tan (θ) и 1 - это высоты линии, начинающейся от оси x , а Cos (θ) , 1 и Cot (θ) - длины вдоль оси x, начиная с начала координат.

В этом разделе одна и та же заглавная буква обозначает вершину треугольника и меру соответствующего угла; та же строчная буква обозначает край треугольника и его длину.

Учитывая угол острый = θ из прямоугольного треугольника , то гипотенуза ч является стороной , которая соединяет два угла острые. Сторона b, смежная с θ, - это сторона треугольника, соединяющего θ с прямым углом. Третья сторона называется противоположным к & thetas .

Если задан угол θ , то все стороны прямоугольного треугольника четко определены с точностью до коэффициента масштабирования. Это означает, что соотношение любых двух длин сторон зависит только от θ . Таким образом, эти шесть соотношений определяют шесть функций от θ , которые являются тригонометрическими функциями. Точнее, шесть тригонометрических функций: [4] [5]

синус
косинус
касательная
косеканс
секущий
котангенс

В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов составляет прямой угол, то есть 90 ° или радиан .

Вверху: тригонометрическая функция sin θ для выбранных углов θ , π - θ , π + θ и 2 π - θ в четырех квадрантах.
Внизу: график зависимости синусоиды от угла. Идентифицируются углы от верхней панели.

Радианы против градусов [ править ]

В геометрических приложениях аргумент тригонометрической функции обычно является мерой угла . Для этой цели удобна любая угловая единица , а углы обычно измеряются в условных единицах градусов, в которых прямой угол равен 90 °, а полный поворот равен 360 ° (особенно в элементарной математике ).

Однако в исчислении и математическом анализе тригонометрические функции обычно рассматриваются более абстрактно как функции действительных или комплексных чисел , а не углов. Фактически, функции sin и cos могут быть определены для всех комплексных чисел в терминах экспоненциальной функции через степенной ряд [7] или как решения дифференциальных уравнений с конкретными начальными значениями [8] ( см. Ниже), без ссылки на какие-либо геометрические понятия. Остальные четыре тригонометрические функции (tan, cot, sec, csc) могут быть определены как частные и обратные величины sin и cos, за исключением случаев, когда в знаменателе стоит ноль. Для реальных аргументов можно доказать, что эти определения совпадают с элементарными геометрическими определениями, если аргумент рассматривается как угол, выраженный в радианах . [7] Кроме того, эти определения приводят к простым выражениям для производных и неопределенных интегралов для тригонометрических функций. [9] Таким образом, за пределами элементарной геометрии радианы считаются математически естественной единицей для описания угловых мер.

При радиан (рад) используются, то угол задается как длина дуги на единичной окружности , натянутой ею: угол , который стягивает дугу длины 1 на единичной окружности составляет 1 рад (≈ 57,3 °), и полный поворот (360 °) - это угол 2π (≈ 6,28) рад. Для действительного числа x обозначения sin x , cos x и т. Д. Относятся к значению тригонометрических функций, вычисленных под углом x рад. Если предусмотрены единицы измерения градусов, знак градуса должен быть явно показан (например, sin x ° , cos x ° и т. Д.). Используя эти стандартные обозначения, аргумент xдля тригонометрических функций удовлетворяет соотношению x = (180 x / π) °, так что, например, sin π = sin 180 °, когда мы берем x = π. Таким образом, символ градуса можно рассматривать как математическую константу, такую ​​что 1 ° = π / 180 ≈ 0,0175.

Определения единичного круга [ править ]

На этой иллюстрации шесть тригонометрических функций произвольного угла θ представлены как декартовы координаты точек, относящихся к единичной окружности . Ординаты A , B и D - это sin θ , tan θ и csc θ , соответственно, а абсциссы A , C и E - это cos θ , cot θ и sec θ , соответственно.
Знаки тригонометрических функций в каждом квадранте. Мнемоника « все с cience т eachers (являются) с Razy» перечислены функции , которые положительно из квадрантов я IV. [10] Это вариант мнемоники « Все ученики берут исчисление ».

Шесть тригонометрических функций могут быть определены как значения координат точек на евклидовой плоскости , которые связаны с единичной окружностью , которая является окружностью радиуса один с центром в начале O этой системы координат. В то время как определения прямоугольного треугольника позволяют определять тригонометрические функции для углов от 0 до радиана (90 °), определения единичного круга позволяют расширить область тригонометрических функций на все положительные и отрицательные действительные числа.

Поворот луча от направления положительной половины х оси х на угол & thetas ( против часовой стрелки для и по часовой стрелке для ) дает точки пересечения этого луча (см рисунок) с единичной окружности: , и, за счет расширения луча в прямая, если необходимо, с прямой и с прямой . Касательная прямая к единичной окружности в точке A , которая ортогональна этому лучу, пересекает оси y и x в точках и. Значения координат этих точек дают все существующие значения тригонометрических функций для произвольных действительных значений θ следующим образом.

Тригонометрические функции соз и грех определены, соответственно, как х - и у -координаты значений точки А . То есть,

и [11]

В диапазоне это определение совпадает с определением прямоугольного треугольника, если принять прямоугольный треугольник с единичным радиусом OA в качестве гипотенузы . И поскольку уравнение справедливо для всех точек единичной окружности, это определение косинуса и синуса также удовлетворяет тождеству Пифагора

Остальные тригонометрические функции можно найти вдоль единичной окружности как

и
и

Применяя методы пифагорейского тождества и геометрического доказательства, можно легко показать, что эти определения совпадают с определениями тангенса, котангенса, секанса и косеканса в терминах синуса и косинуса, т. Е.

Тригонометрические функции: синус , косинус , касательная , косеканс (пунктир) , секанс (пунктир) , котангенс (пунктир) - анимация

Поскольку поворот на угол не меняет положение или размер фигуры, точки A , B , C , D и E одинаковы для двух углов, разность которых кратна целому числу . Таким образом, тригонометрические функции - это периодические функции с периодом . То есть равенства

и

для любого угла θ и любого целого k . То же самое и с четырьмя другими тригонометрическими функциями. Наблюдая за знаком и монотонностью функций синуса, косинуса, косеканса и секанса в четырех квадрантах, можно показать, что 2 π - наименьшее значение, для которого они периодичны (т. Е. 2 π - основной период этих функций. ). Однако после поворота на угол точки B и C уже возвращаются в свое исходное положение, так что функция касательной и функция котангенса имеют основной период π . То есть равенства

и

для любого угла θ и любого целого k .

Алгебраические значения [ править ]

Единичная окружность , с некоторыми точками , меченных их косинусом и синусом (в указанном порядке), и соответствующие углами в радианах и градусах.

В алгебраические выражения для самых важных углов следующим образом :

( прямой угол )
( прямой угол )

Запись числителей в виде квадратных корней последовательных неотрицательных целых чисел со знаменателем 2 обеспечивает простой способ запоминания значений. [12]

Такие простые выражения обычно не существуют для других углов, которые являются рациональными кратными прямому углу. Для угла, который измеряется в градусах и кратен трем, синус и косинус могут быть выражены через квадратные корни , см. Тригонометрические константы, выраженные в действительных радикалах . Таким образом, эти значения синуса и косинуса могут быть построены с помощью линейки и компаса .

Для угла, равного целому числу градусов, синус и косинус могут быть выражены через квадратные корни и кубический корень из не действительного комплексного числа . Теория Галуа позволяет доказать, что если угол не кратен 3 °, ненастоящие кубические корни неизбежны.

Для угла, который измеряется в градусах, является рациональным числом , синус и косинус являются алгебраическими числами , которые могут быть выражены через корни n- й степени . Это связано с тем , что группы Галуа этих круговых многочленов являются циклическими .

Для угла, который измеряется в градусах, не является рациональным числом, тогда либо угол, либо и синус, и косинус являются трансцендентными числами . Это следствие теоремы Бейкера , доказанной в 1966 году.

Простые алгебраические значения [ править ]

В следующей таблице приведены простейшие алгебраические значения тригонометрических функций. [13] Символ обозначает бесконечно удаленную точку на проективно продолженной вещественной прямой ; он не подписан, потому что, когда он появляется в таблице, соответствующая тригонометрическая функция стремится к + ∞ с одной стороны и к –∞ с другой стороны, когда аргумент стремится к значению в таблице.

В исчислении [ править ]

Синусоидальная функция (синий цвет) близко аппроксимируется своим полиномом Тейлора степени 7 (розовый) для полного цикла с центром в начале координат.
Анимация для аппроксимации косинуса полиномами Тейлора.
вместе с первыми многочленами Тейлора

Тригонометрические функции дифференцируемы . Это не сразу видно из приведенных выше геометрических определений. Кроме того, современные тенденции в математике является построение геометрии из исчислении , а не наоборот [ править ] . Поэтому, за исключением очень элементарного уровня, тригонометрические функции определяются с использованием методов исчисления.

Для определения тригонометрических функций внутри исчисления есть две эквивалентные возможности: с использованием степенных рядов или дифференциальных уравнений . Эти определения эквивалентны, поскольку, начиная с одного из них, легко получить другое как свойство. Однако определение с помощью дифференциальных уравнений в чем-то более естественное, поскольку, например, выбор коэффициентов степенного ряда может показаться совершенно произвольным, а пифагорова тождество намного легче вывести из дифференциальных уравнений.

Определение дифференциальными уравнениями [ править ]

Синус и косинус - уникальные дифференцируемые функции, такие что

Дифференцируя эти уравнения, получаем, что и синус, и косинус являются решениями дифференциального уравнения

Применяя правило частного к определению касательной как отношения синуса к косинусу, получаем, что функция касательной проверяет

Расширение степенного ряда [ править ]

Применяя дифференциальные уравнения к степенным рядам с неопределенными коэффициентами, можно вывести рекуррентные соотношения для коэффициентов ряда Тейлора функций синуса и косинуса. Эти рекуррентные соотношения легко решаются и дают разложения в ряд [14]

Радиус сходимости этих рядов бесконечно. Следовательно, синус и косинус могут быть расширены до целых функций (также называемых «синусом» и «косинусом»), которые (по определению) являются комплексными функциями , которые определены и голоморфны на всей комплексной плоскости .

Будучи определенными как доли целых функций, другие тригонометрические функции могут быть расширены до мероморфных функций , то есть функций, голоморфных во всей комплексной плоскости, за исключением некоторых изолированных точек, называемых полюсами . Здесь полюса - это числа формы для касательной и секущей или для котангенса и косеканса, где k - произвольное целое число.

Соотношения повторяемости также могут быть вычислены для коэффициентов ряда Тейлора других тригонометрических функций. Эти ряды имеют конечный радиус сходимости . Их коэффициенты имеют комбинаторную интерпретацию: они перечисляют чередующиеся перестановки конечных множеств. [15]

Точнее, определяя

U n , n- е число вверх / вниз ,
B n , n- е число Бернулли , и
E n - n- е число Эйлера ,

один имеет следующие разложения в ряд: [16]

Расширение частичной дроби [ править ]

Существует представление ряда в виде разложения частичной дроби, в котором только что переведенные обратные функции суммируются, так что полюса функции котангенса и обратных функций совпадают: [17]

Эту идентичность можно доказать с помощью уловки Герглотца . [18] Объединение (- n ) -го с n- м слагаемыми приводит к абсолютно сходящимся рядам:

Точно так же можно найти частичное разложение для секущих, косекансных и касательных функций:

Бесконечное расширение продукта [ править ]

Следующее бесконечное произведение для синуса имеет большое значение в комплексном анализе:

Для доказательства этого разложения см. Синус . Отсюда можно сделать вывод, что

Связь с экспоненциальной функцией (формула Эйлера) [ править ]

и являются действительной и мнимой частью соответственно.

Формула Эйлера связывает синус и косинус с экспоненциальной функцией :

Эта формула обычно рассматривается для реальных значений x , но остается верной для всех комплексных значений.

Доказательство : Let and One имеет для j = 1, 2 . Правило фактор предполагает , таким образом , что . Следовательно, - постоянная функция, равная1 , т.к. это доказывает формулу.

Надо

Решив эту линейную систему с помощью синуса и косинуса, можно выразить их через экспоненциальную функцию:

Когда x реально, это можно переписать как

Большинство тригонометрических тождеств можно доказать, выразив тригонометрические функции в терминах комплексной экспоненциальной функции, используя приведенные выше формулы, а затем используя тождество для упрощения результата.

Определения с использованием функциональных уравнений [ править ]

Можно также определить тригонометрические функции, используя различные функциональные уравнения .

Например, [19] синус и косинус образуют единственную пару непрерывных функций, которые удовлетворяют разностной формуле

и добавленное условие

В комплексной плоскости [ править ]

Синус и косинус комплексного числа могут быть выражены через вещественные синусы, косинусы и гиперболические функции следующим образом:

Воспользовавшись преимуществом раскраски области , можно изобразить тригонометрические функции как комплексные функции. На графике можно увидеть различные особенности, уникальные для сложных функций; например, функции синуса и косинуса могут быть неограниченными по мере того, как мнимая часть становится больше (поскольку белый цвет представляет бесконечность), а тот факт, что функции содержат простые нули или полюса , очевиден из того факта, что цветовой цикл вокруг каждого нуля или полюса ровно один раз. Сравнение этих графиков с графиками соответствующих гиперболических функций подчеркивает взаимосвязь между ними.

Основные личности [ править ]

Многие тождества связывают тригонометрические функции. В этом разделе собраны самые основные; для получения дополнительных сведений см. Список тригонометрических идентичностей . Эти тождества могут быть доказаны геометрически из определений единичного круга или определений прямоугольного треугольника (хотя для последних определений необходимо соблюдать осторожность для углов, которые не находятся в интервале [0, π / 2] , см. Доказательства тригонометрических тождеств ). Для негеометрических доказательств, использующих только инструменты исчисления , можно напрямую использовать дифференциальные уравнения таким же образом, как и в приведенном выше доказательстве.тождества Эйлера. Можно также использовать тождество Эйлера для выражения всех тригонометрических функций в терминах комплексных экспонент и с использованием свойств экспоненциальной функции.

Четность [ править ]

Косинус и секанс - четные функции ; остальные тригонометрические функции являются нечетными . То есть:

Периоды [ править ]

Все тригонометрические функции являются периодическими функциями периода 2 π . Это наименьший период, за исключением тангенса и котангенса, у которых π является наименьшим периодом. Это означает, что для каждого целого k имеется

Пифагорейская идентичность [ править ]

Тождество Пифагора , является выражением теоремы Пифагора в терминах тригонометрических функций. это

Формулы суммы и разности [ править ]

Формулы суммы и разности позволяют разложить синус, косинус и тангенс суммы или разницы двух углов на синусы и косинусы и тангенсы самих углов. Их можно вывести геометрически, используя аргументы, восходящие к Птолемею . Их также можно произвести алгебраически, используя формулу Эйлера .

Сумма
Разница

Когда два угла равны, формулы суммы сводятся к более простым уравнениям, известным как формулы двойного угла .

Эти тождества можно использовать для получения тождеств продукта к сумме .

Устанавливая, и это позволяет выразить все тригонометрические функции как рациональную долю от :

Вместе с

это подстановка касательных полууглов , которая позволяет свести вычисление интегралов и первообразных тригонометрических функций к вычислению рациональных дробей.

Производные и первообразные [ править ]

Эти производные тригонометрических функций являются результатом тех из синуса и косинуса путем применения правила фактор . Значения, указанные для первообразных в следующей таблице, можно проверить путем их дифференциации. Число  C - постоянная интегрирования .

В качестве альтернативы, производные «ко-функций» могут быть получены с использованием тригонометрических тождеств и цепного правила:

Обратные функции [ править ]

Тригонометрические функции являются периодическими и, следовательно, не инъективными , поэтому, строго говоря, они не имеют обратной функции . Однако на каждом интервале, на котором тригонометрическая функция является монотонной , можно определить обратную функцию, и это определяет обратные тригонометрические функции как многозначные функции . Чтобы определить истинную обратную функцию, необходимо ограничить область действия интервалом, в котором функция является монотонной, и, таким образом, биективна от этого интервала к своему изображению функцией. Обычный выбор для этого интервала, называемый набором главных значений, приведено в следующей таблице. Как правило, обратные тригонометрические функции обозначаются префиксом «дуга» перед названием или его сокращением.

Обозначения sin −1, cos −1 и т. Д. Часто используются для arcsin, arccos и т. Д. При использовании этого обозначения обратные функции можно спутать с мультипликативными обратными. Обозначение с префиксом «arc» позволяет избежать такой путаницы, хотя «arcsec» для arcsecant можно спутать с « arcsecond ».

Так же, как синус и косинус, обратные тригонометрические функции также могут быть выражены в виде бесконечных рядов. Их также можно выразить в виде комплексных логарифмов . Подробнее см. Обратные тригонометрические функции .

Приложения [ править ]

Углы и стороны треугольника [ править ]

В этом разделе A , B , C обозначают три (внутренних) угла треугольника, а a , b , c обозначают длины соответствующих противоположных ребер. Они связаны различными формулами, названными по тригонометрическим функциям, которые они включают.

Закон синусов [ править ]

Закон синусов гласит , что для произвольного треугольника со сторонами через , Ь и с и углов противоположных сторон этих , B и C :

где Δ - площадь треугольника, или, что то же самое,

где R - радиус описанной окружности треугольника .

Это можно доказать, разделив треугольник на два правильных и используя приведенное выше определение синуса. Закон синусов полезен для вычисления длин неизвестных сторон треугольника, если известны два угла и одна сторона. Это обычная ситуация, возникающая в триангуляции , методе определения неизвестных расстояний путем измерения двух углов и доступного замкнутого расстояния.

Закон косинусов [ править ]

Закон косинусов (также известные как формула косинус или косинусы) является продолжением теоремы Пифагора :

или эквивалентно,

В этой формуле угол при C противоположен стороне  c . Эту теорему можно доказать, разделив треугольник на два прямоугольных и используя теорему Пифагора .

Закон косинусов можно использовать для определения стороны треугольника, если известны две стороны и угол между ними. Его также можно использовать для нахождения косинусов угла (и, следовательно, самих углов), если известны длины всех сторон.

Закон касательных [ править ]

Следующее все образует закон касательных [20]

Объяснение формул на словах было бы громоздким, но схемы сумм и разностей для длин и соответствующих противоположных углов очевидны в теореме.

Закон котангенсов [ править ]

Если

(радиус вписанной окружности для треугольника)

и

(полупериметр треугольника),

то следующие все образуют закон котангенсов [20]

Следует, что

На словах теорема такова: котангенс полуугла равен отношению полупериметра минус противоположная сторона к указанному углу, к внутреннему радиусу треугольника.

Лиссажу кривая , фигура образована с функцией тригонометрии на основе.

Периодические функции [ править ]

Анимация аддитивного синтеза в виде прямоугольной волны с увеличением числа гармоник
Базисные синусоидальные функции (внизу) при добавлении могут образовывать пилообразную волну (вверху). Все базовые функции имеют узлы в узлах пилообразной формы, а все, кроме основной ( k = 1 ), имеют дополнительные узлы. Колебания, наблюдаемые вокруг зуба пилы при большом k , называют феноменом Гиббса.

Тригонометрические функции также важны в физике. Функции синуса и косинуса, например, используются для описания простого гармонического движения , которое моделирует многие природные явления, такие как движение массы, прикрепленной к пружине, и, для малых углов, маятниковое движение массы, подвешенной на пружине. нить. Функции синуса и косинуса представляют собой одномерные проекции равномерного кругового движения .

Тригонометрические функции также оказываются полезными при изучении общих периодических функций . Характерные волновые структуры периодических функций полезны для моделирования повторяющихся явлений, таких как звуковые или световые волны . [21]

В довольно общих условиях периодическая функция f ( x ) может быть выражена как сумма синусоидальных или косинусоидальных волн в ряду Фурье . [22] Обозначая базисные функции синуса или косинуса через φ k , разложение периодической функции f ( t ) принимает вид:

Например, прямоугольную волну можно записать в виде ряда Фурье

На анимации прямоугольной волны вверху справа можно увидеть, что всего несколько членов уже дают довольно хорошее приближение. Ниже показано наложение нескольких членов в разложении пилообразной волны .

История [ править ]

Хотя раннее изучение тригонометрии можно проследить до глубокой древности, тригонометрические функции в том виде, в котором они используются сегодня, были разработаны в средневековый период. Хорда функция была обнаружена Гиппарх из Никеи (180-125 г. до н.э.) и Птолемея из римского Египта (90-165 н.э.). Функции синуса и версина (1 - косинус) можно проследить до функций джья и коти-джья, используемых в индийской астрономии периода Гупта ( Арьябхатия , Сурья Сиддханта ), путем перевода с санскрита на арабский, а затем с арабского на латинский. [23] (см.Таблица синусов Арьябхаты .)

Все шесть тригонометрических функций, которые используются в настоящее время, были известны в исламской математике к IX веку, как и закон синусов , используемый при решении треугольников . [24] За исключением синуса (который был заимствован из индийской математики), персидскими и арабскими математиками были открыты другие пять современных тригонометрических функций, включая косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. [24] Аль-Хваризми (ок. 780–850) составил таблицы синусов, косинусов и тангенсов. Около 830 года Хабаш аль-Хасиб аль-Марвази открыл котангенс и составил таблицы касательных и котангенсов. [25] [26] Мухаммад ибн Джабир аль-Харрани аль-Баттани(853–929) открыли взаимные функции секанса и косеканса и создали первую таблицу косекансов для каждого градуса от 1 ° до 90 °. [26] Тригонометрические функции позже изучались математиками, включая Омара Хайяма , Бхаскара II , Насира ад-Дина ат-Туси , Джамшида аль-Каши (14 век), Улугбека (14 век), Региомонтана (1464 год), Ретикуса и Ученик Ретикуса Валентин Отон .

Мадхава из Сангамаграмы (ок. 1400 г.) сделал первые шаги в анализе тригонометрических функций в терминах бесконечных рядов . [27] (См серии Мадхава и синус таблицы Мадхава в .)

Термины касательная и секанс впервые были введены датским математиком Томасом Финке в его книге Geometria rotundi (1583). [28]

17 - го века французский математик Альберт Girard сделал первый опубликованный использование аббревиатуры греха , соз , и загар в его книге Trigonométrie . [29]

В статье, опубликованной в 1682 году, Лейбниц доказал, что sin x не является алгебраической функцией от x . [30] Хотя они были введены как отношения сторон прямоугольного треугольника и, таким образом, представлялись рациональными функциями , результат Лейбница установил, что они на самом деле являются трансцендентными функциями своего аргумента. Задача ассимиляции круговых функций в алгебраические выражения была решена Эйлером в его « Введении в анализ бесконечного» (1748). Его метод заключался в том, чтобы показать, что функции синуса и косинуса являются чередующимися рядами.формируется из четных и нечетных членов соответственно экспоненциального ряда . Он представил « формулу Эйлера », а также рядом современный аббревиатуры ( грех. , COS. , Тан. , Раскладушка. , Сек. , И COSEC. ). [23]

Несколько функций были распространены исторически, но в настоящее время используются редко, такие как аккорд , то синус-верзус (который появился в самых ранних таблицах [23] ), то coversine , то гаверсинус , [31] exsecant и excosecant . Список тригонометрических тождеств показывает больше отношения между этими функциями.

  • crd ( θ ) = 2 sin (θ/2)
  • versin ( θ ) = 1 - cos ( θ ) = 2 sin 2 (θ/2)
  • покрываетin ( θ ) = 1 - sin ( θ ) = versin (π/2- θ )
  • хаверсин ( θ ) =1/2versin ( θ ) = sin 2 (θ/2)
  • exsec ( θ ) = sec ( θ ) - 1
  • excsc ( θ ) = exsec (π/2- θ ) = csc ( θ ) - 1

Этимология [ править ]

Слово sine происходит [32] от латинского sinus , означающего «изгиб; залив», а точнее «свисающая складка верхней части тоги », «пазухи одежды», которая была выбрана в качестве перевода того, что интерпретировалось как арабское слово jaib , означающее «карман» или «складка» в переводах произведений Аль-Баттани и Аль-Хваризми на средневековую латынь в XII веке . [33] Выбор был основан на неправильном понимании арабской письменной формы jyb ( جيب ),который сам возник как транслитерация с санскритаjīvā , которое вместе со своим синонимом jyā (стандартный санскритский термин для синуса) переводится как «тетива», что, в свою очередь, заимствовано из древнегреческого χορδή «струна». [34]

Слово тангенс происходит от латинского tangens, означающего «касающийся», поскольку линия касается окружности с единичным радиусом, тогда как секанс происходит от латинского secans - «разрезание» - поскольку линия пересекает окружность. [35]

Префикс « со- » (в «косинус», «котангенс», «косеканс») находится в Эдмунд Гюнтер «ы Canon triangulorum (1620), который определяет COSINUS как аббревиатура для синусового Complementi (синус дополнительного угла ) и аналогичным образом переходит к определению котангенов . [36] [37]

См. Также [ править ]

  • Все студенты принимают исчисление - мнемонику для вызова знаков тригонометрических функций в определенном квадранте декартовой плоскости.
  • Формула приближения синуса Бхаскары I.
  • Дифференциация тригонометрических функций
  • Обобщенная тригонометрия
  • Создание тригонометрических таблиц
  • Гиперболическая функция
  • Список интегралов от тригонометрических функций
  • Список периодических функций
  • Список тригонометрических тождеств
  • Полярный синус - обобщение углов при вершинах
  • Доказательства тригонометрических тождеств
  • Versine - для нескольких менее используемых тригонометрических функций

Примечания [ править ]

  1. ^ Кляйн, Кристиан Феликс (1924) [1902]. Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus: Arithmetik, Algebra, Analysis (на немецком языке). 1 (3-е изд.). Берлин: J. Springer .
  2. Перейти ↑ Klein, Christian Felix (2004) [1932]. Элементарная математика с продвинутой точки зрения: арифметика, алгебра, анализ . Перевод Хедрика, ER; Благородный, Калифорния (перевод 3-го немецкого изд.). Dover Publications, Inc. / Компания Macmillan . ISBN 978-0-48643480-3. Архивировано 15 февраля 2018 года . Проверено 13 августа 2017 .
  3. ^ "Исчерпывающий список символов алгебры" . Математическое хранилище . 2020-03-25 . Проверено 29 августа 2020 .
  4. ^ Проттера & Морри (1970 , стр. АРР-2, АПП-3)
  5. ^ "Синус, косинус, касательная" . www.mathsisfun.com . Проверено 29 августа 2020 .
  6. ^ Проттера & Морри (1970 , стр. АРР-7)
  7. ^ a b Рудин, Вальтер, 1921-2010 гг. Принципы математического анализа (Третье изд.). Нью-Йорк. ISBN 0-07-054235-X. OCLC  1502474 .CS1 maint: extra punctuation (link) CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  8. ^ Даймонд, Харви (2014). «Определение экспоненциальных и тригонометрических функций с помощью дифференциальных уравнений» . Математический журнал . 87 (1): 37–42. DOI : 10.4169 / math.mag.87.1.37 . ISSN 0025-570X . 
  9. ^ Спивак, Майкл (1967). «15». Исчисление . Эддисон-Уэсли. С. 256–257. LCCN 67-20770 . 
  10. Хэн, Ченг и Талберт, «Дополнительная математика». Архивировано 20 марта2015 г. в Wayback Machine , стр. 228.
  11. ^ Битюцков, В. И. (2011-02-07). «Тригонометрические функции» . Энциклопедия математики . Архивировано 29 декабря 2017 года . Проверено 29 декабря 2017 .
  12. ^ Ларсон, Рон (2013). Тригонометрия (9-е изд.). Cengage Learning. п. 153. ISBN. 978-1-285-60718-4. Архивировано 15 февраля 2018 года. Выдержка из страницы 153. Архивировано 15 февраля 2018 г. в Wayback Machine.
  13. ^ Abramowitz, Милтон и Ирен А. Stegun, стр. 74
  14. См. Альфорс, стр. 43–44.
  15. Стэнли, Перечислительная комбинаторика, Том I., стр. 149
  16. ^ Абрамовиц; Вайштайн.
  17. ^ Айгнер, Мартин ; Циглер, Гюнтер М. (2000). Доказательства из КНИГИ (2-е изд.). Springer-Verlag . п. 149. ISBN 978-3-642-00855-9. Архивировано 8 марта 2014 года.
  18. ^ Реммерт, Рейнхольд (1991). Теория сложных функций . Springer. п. 327. ISBN. 978-0-387-97195-7. Архивировано 20 марта 2015 года. Выдержка из страницы 327. Архивировано 20 марта 2015 г. в Wayback Machine.
  19. ^ Kannappan, Palaniappan (2009). Функциональные уравнения и неравенства с приложениями . Springer. ISBN 978-0387894911.
  20. ^ a b Универсальная энциклопедия математики, Pan Reference Books, 1976, стр. 529–530. Английская версия Джордж Аллен и Анвин, 1964. Перевод с немецкой версии Meyers Rechenduden, 1960.
  21. ^ Фарлоу, Стэнли Дж. (1993). Уравнения с частными производными для ученых и инженеров (Перепечатка изд. Wiley 1982 г.). Courier Dover Publications. п. 82. ISBN 978-0-486-67620-3. Архивировано 20 марта 2015 года.
  22. ^ См., Например, Folland, Джеральд Б. (2009). «Сходимость и полнота» . Анализ Фурье и его приложения (Перепечатка Wadsworth & Brooks / Cole 1992 ed.). Американское математическое общество. С. 77 и далее. ISBN 978-0-8218-4790-9. Архивировано 19 марта 2015 года.
  23. ^ a b c Бойер, Карл Б. (1991). История математики (второе изд.). ISBN компании John Wiley & Sons, Inc. 0-471-54397-7 , стр. 210. 
  24. ^ a b Джинджерич, Оуэн (1986). «Исламская астрономия» . Scientific American . Vol. 254. с. 74. Архивировано из оригинала на 2013-10-19 . Проверено 13 июля 2010 .
  25. ^ Жак Сезиано, "Исламская математика", стр. 157, в Селине, Хелайне ; Д'Амброзио, Убиратан , ред. (2000). Математика в разных культурах: история незападной математики . Springer Science + Business Media . ISBN 978-1-4020-0260-1.
  26. ^ а б «тригонометрия» . Британская энциклопедия.
  27. ^ О'Коннор, JJ; Робертсон, Э. Ф. «Мадхава Сангамаграмы» . Школа математики и статистики Университета Сент-Эндрюс, Шотландия. Архивировано из оригинала на 2006-05-14 . Проверено 8 сентября 2007 .
  28. ^ "Биография Финке" . Архивировано 07 января 2017 года . Проверено 15 марта 2017 .
  29. ^ О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Тригонометрические функции» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.
  30. Перейти ↑ Bourbaki, Nicolás (1994). Элементы истории математики . Springer.
  31. Нильсен (1966 , стр. Xxiii – xxiv)
  32. ^ Англизированный форма первый записанный в 1593 году в Томасе Fale «s Horologiographia, Искусство набора .
  33. ^ Различные источники приписывают первое использование носовых пазух либо
    • Платон из Тиволи «S 1116 перевода астрономии из Аль-Баттани
    • Джерард Кремона перевода «х годов алгебры в аль-Хорезми
    • Роберт Честерский перевод таблиц аль-Хваризми в 1145 году
    См. Merlet, A Note on the History of the Trigonometric Functions in Ceccarelli (ed.), International Symposium on History of Machines and Mechanisms , Springer, 2004 г.
    См. Maor (1998), глава 3, для более ранней этимологии, указывающей на Джерарда.
    См. Каткс, Виктор (июль 2008 г.). История математики (3-е изд.). Бостон: Пирсон . п. 210 (боковая панель). ISBN 978-0321387004.
  34. ^ См. Плофкер, Математика в Индии , Издательство Принстонского университета, 2009, стр. 257
    См. «Университет Кларка» . Архивировано 15 июня 2008 года.
    Об этимологии см. Maor (1998), глава 3.
  35. ^ Оксфордский словарь английского языка
  36. ^ Гюнтер, Эдмунд (1620). Canon triangulorum .
  37. ^ Roegel, Денис, изд. (06.12.2010). «Реконструкция канона треугольника Гюнтера (1620 г.)» (Отчет об исследовании). HAL. inria-00543938. Архивировано 28 июля 2017 года . Проверено 28 июля 2017 .

Ссылки [ править ]

  • Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . Руководство по ремонту  0167642 . LCCN  65-12253 .
  • Ларс Альфорс , Комплексный анализ: введение в теорию аналитических функций одной комплексной переменной , второе издание, McGraw-Hill Book Company , Нью-Йорк, 1966.
  • Бойер, Карл Б. , История математики , John Wiley & Sons, Inc., 2-е издание. (1991). ISBN 0-471-54397-7 . 
  • Галь, Шмуэль и Бачелис, Борис. Точная элементарная математическая библиотека для стандарта IEEE с плавающей запятой, ACM Transactions on Mathematical Software (1991).
  • Джозеф, Джордж Г., Гребень павлина: неевропейские корни математики , 2-е изд. Penguin Books , Лондон. (2000). ISBN 0-691-00659-8 . 
  • Кантабутра, Витит, «Об оборудовании для вычисления экспоненциальных и тригонометрических функций», IEEE Trans. Компьютеры 45 (3), 328–339 (1996).
  • Maor, Eli, Trigonometric Delights , Princeton Univ. Нажмите. (1998). Репринтное издание (2002 г.): ISBN 0-691-09541-8 . 
  • Нидхэм, Тристан, «Предисловие» к визуальному комплексному анализу . Oxford University Press, (1999). ISBN 0-19-853446-9 . 
  • Нильсен, Кай Л. (1966), Логарифмические и тригонометрические таблицы для пяти мест (2-е изд.), Нью-Йорк: Barnes & Noble , LCCN  61-9103
  • О'Коннор, Дж. Дж. И Э. Ф. Робертсон, «Тригонометрические функции» , архив истории математики MacTutor . (1996).
  • О'Коннор, Дж. Дж. И Э. Ф. Робертсон, «Мадхава Сангамаграммы» , архив истории математики MacTutor . (2000).
  • Пирс, Ян Г., "Мадхава Сангамаграммы" , архив истории математики MacTutor . (2002).
  • Protter, Murray H .; Морри, Чарльз Б., младший (1970), Вычисление колледжа с аналитической геометрией (2-е изд.), Чтение: Addison-Wesley , LCCN  76087042
  • Weisstein, Eric W., "Tangent" из MathWorld , по состоянию на 21 января 2006 г.

Внешние ссылки [ править ]

  • "Тригонометрические функции" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
  • Модуль Visionlearning по волновой математике
  • GonioLab Визуализация единичной окружности, тригонометрических и гиперболических функций
  • q-Sine Статья о q-аналоге греха в MathWorld
  • q-Cosine Статья о q-аналоге cos в MathWorld