Кортеж

В математике , А кортеж является конечным упорядоченным списком (последовательности) элементов . П -кратного представляет собой последовательность (или упорядоченный список) из п элементов, где п является неотрицательным целым числом . Есть только один 0-кортеж, называемый пустым кортежем . П -кратный является определяются индуктивно с использованием конструкции упорядоченной пары .

Математики обычно пишут кортежи, перечисляя элементы в круглых скобках « () » и разделяя их запятыми; например, (2, 7, 4, 1, 7) обозначает 5-кортеж. Иногда элементы окружают другие символы, например квадратные скобки «[]» или угловые скобки «⟨⟩». Фигурные скобки «{}» используются только при определении массивов в некоторых языках программирования, но не в математических выражениях, поскольку они являются стандартным обозначением для множеств . Термин кортеж часто встречается при обсуждении других математических объектов, таких как векторы .

В информатике кортежи бывают разных форм. Большинство типизированных функционального программирования языков реализация кортежи непосредственно в качестве видов продукции , ^[1] тесно связанно с алгебраическими типами данных , сопоставлением с образцом , и деструктурирующими присваиваниями . ^[2] Многие языки программирования предлагают альтернативу кортежам, известным как типы записей , с неупорядоченными элементами, доступ к которым осуществляется по метке. ^[3] Некоторые языки программирования объединяют упорядоченные типы кортежей и неупорядоченные типы записей в единую конструкцию, как в структурах C и записях Haskell. Реляционные базы данныхмогут формально идентифицировать свои строки (записи) как кортежи .

Кортежи также встречаются в реляционной алгебре ; при программировании семантической сети с помощью Resource Description Framework (RDF); в лингвистике ; ^[4] и в философии . ^[5]

Этимология [ править ]

Термин возник как абстракция последовательности: single, couple / double, triple, quadruple, quintuple, sextuple, septuple, octuple, ..., n ‑tuple, ..., где префиксы взяты из латинских названий цифры. Уникальный 0-кортеж называется нулевым кортежем или пустым кортежем. Кортеж из 1 называется одиночным (или одноэлементным), кортеж из двух элементов называется упорядоченной парой или парой, а набор из трех элементов называется тройкой (или тройкой). Число n может быть любым целым неотрицательным числом . Например, комплексное число может быть представлено как кортеж из двух вещественных чисел, кватернион может быть представлен как кортеж из четырех, октонион может быть представлен как кортеж из восьми, а седенион может быть представлен в виде 16-кратного кортежа.

Хотя в этих случаях суффикс трактуется как кратный , исходный суффикс был кратным, например, «тройной» (тройной) или «десятикратный» (десятикратный). Это происходит от средневекового латинского plus (что означает «больше»), относящегося к греческому ‑πλοῦς, который заменил классический и позднеантичный ‑plex (что означает «сложенный»), например, «дуплекс». ^{[6] [а]}

Имена кортежей определенной длины [ править ]

Длина кортежа, ${\ displaystyle n}$	Имя	Альтернативные названия
0	пустой кортеж	нулевой кортеж / пустая последовательность / единица
1	монумент	одиночный / одиночный / монада
2	пара	двойной / упорядоченная пара / двойка / дуада / близнец / двойной / дуад / диада / двойка
3	тройной	тройка / тройка / тройка / упорядоченная тройка
4	четырехместный	квад / тетрада / квартет / квадруплет
5	пятикратный	пятиместный / квинт / пентада
6	шестерка	шестнадцатеричный / шестнадцатеричный
7	семерка	семерка / гептада
8	восьмерка	окта / октет / октад / октуплет
9	неполный	nonad / ennead
10	девяносто	декада / десятилетие (устарело)
11	необъятный	hendecuple / hendecad
12	двенадцатиперстный	дюжина / дуодекад
13	Tredecuple
14	четверка
15	пятерка
16	секс
17	семерка
18	восьмидесятилетний
19	новый
20	маршал
21 год	однотипный
22	двойник
23	тройка
24	четырехместный
25	пятиместный
26 год	секс
27	семерка
28 год	восьмиугольник
29	ночь
30	тройной
31 год	беспричинный
40	четырехместный
41 год	одноквадратный
50	пятерка
60	секс
70	семидесятилетний
80	восьмерка
90	многократный
100	пятикратный
1,000	миллиард	тысяча

Обратите внимание, что для имя кортежа в таблице выше может также функционировать как глагол, означающий «умножить [прямой объект] на »; например, «в пять раз» означает «умножить на 5». Если , то связанный глагол - «удвоить». Также существует глагол «sesquiple», означающий «умножать на 3/2». Теоретически «монумент» можно было бы использовать и таким образом.${\ Displaystyle п \ geq 3}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n = 2}$

Свойства [ править ]

Общее правило идентичности двух n -наборов таково:

${\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}) = (b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {n})}$ если и только если ${\displaystyle a_{1}=b_{1},{\text{ }}a_{2}=b_{2},{\text{ }}\ldots ,{\text{ }}a_{n}=b_{n}.}$

Таким образом, кортеж имеет свойства, которые отличают его от набора .

1. Кортеж может содержать несколько экземпляров одного и того же элемента, поэтому
   кортеж ; но поставил .${\displaystyle (1,2,2,3)\neq (1,2,3)}$${\displaystyle \{1,2,2,3\}=\{1,2,3\}}$
2. Элементы кортежа упорядочены: кортеж , но установлен .${\displaystyle (1,2,3)\neq (3,2,1)}$${\displaystyle \{1,2,3\}=\{3,2,1\}}$
3. Кортеж имеет конечное число элементов, а набор или мультимножество может иметь бесконечное количество элементов.

Определения [ править ]

Есть несколько определений кортежей, которые придают им свойства, описанные в предыдущем разделе.

Кортежи как функции [ править ]

Если мы имеем дело с множествами, п -кратным можно рассматривать как функцию , F , чей домен подразумевается набор кортежа по индексам элементов, X , и чья область значений, Y , является множеством кортежей по элементам. Формально:

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\equiv (X,Y,F)}$

куда:

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=\{1,2,\dots ,n\}=\{i\in \mathbb {N} \mid 1\leq i\leq n\}\\Y&=\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}\\F&=\{(1,a_{1}),(2,a_{2}),\ldots ,(n,a_{n})\}.\\\end{aligned}}}$

В несколько менее формальных обозначениях это говорит:

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}):=(F(1),F(2),\dots ,F(n)).}$

Используя это определение -кортежей, следует, что существует только один -набор, пустая функция .${\displaystyle n}$${\displaystyle 0}$

Кортежи как вложенные упорядоченные пары [ править ]

Другой способ моделирования кортежей в теории множеств - это упорядоченные вложенные пары . Этот подход предполагает, что понятие упорядоченной пары уже определено; таким образом, 2-кортеж

1. 0-кортеж (т.е. пустой кортеж) представлен пустым набором .${\displaystyle \emptyset }$
2. П -кратный с п > 0 , может быть определена как упорядоченная пара ее первой запись и ( п - 1) -кратного (который содержит остальные записи , когда п > 1) :

   ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=(a_{1},(a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}))}$

Это определение может быть применено рекурсивно к ( n - 1) -набору:

${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=(a_{1},(a_{2},(a_{3},(\ldots ,(a_{n},\emptyset )\ldots ))))}$

Так, например:

${\displaystyle {\begin{aligned}(1,2,3)&=(1,(2,(3,\emptyset )))\\(1,2,3,4)&=(1,(2,(3,(4,\emptyset ))))\\\end{aligned}}}$

Вариант этого определения начинается с «отслаивания» элементов с другого конца:

1. 0-кортеж - это пустой набор .${\displaystyle \emptyset }$
2. Для n > 0 :

   ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=((a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n-1}),a_{n})}$

Это определение можно применить рекурсивно:

${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=((\ldots (((\emptyset ,a_{1}),a_{2}),a_{3}),\ldots ),a_{n})}$

Так, например:

${\displaystyle {\begin{aligned}(1,2,3)&=(((\emptyset ,1),2),3)\\(1,2,3,4)&=((((\emptyset ,1),2),3),4)\\\end{aligned}}}$

Кортежи как вложенные наборы [ править ]

Используя представление Куратовского для упорядоченной пары , второе определение выше может быть переформулировано в терминах чистой теории множеств :

1. 0-кортеж (т.е. пустой кортеж) представлен пустым набором ;${\displaystyle \emptyset }$
2. Позвольте быть n -набор , и пусть . Тогда . (Правую стрелку, можно прочитать как «примыкающий к».)${\displaystyle x}$${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$${\displaystyle x\rightarrow b\equiv (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},b)}$${\displaystyle x\rightarrow b\equiv \{\{x\},\{x,b\}\}}$${\displaystyle \rightarrow }$

В этой формулировке:

${\displaystyle {\begin{array}{lclcl}()&&&=&\emptyset \\&&&&\\(1)&=&()\rightarrow 1&=&\{\{()\},\{(),1\}\}\\&&&=&\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\\&&&&\\(1,2)&=&(1)\rightarrow 2&=&\{\{(1)\},\{(1),2\}\}\\&&&=&\{\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\},\\&&&&\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\},2\}\}\\&&&&\\(1,2,3)&=&(1,2)\rightarrow 3&=&\{\{(1,2)\},\{(1,2),3\}\}\\&&&=&\{\{\{\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\},\\&&&&\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\},2\}\}\},\\&&&&\{\{\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\},\\&&&&\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\},2\}\},3\}\}\\\end{array}}}$

п -наборов из м - множеств [ править ]

В дискретной математике , особенно в комбинаторике и теории конечных вероятностей , n -наборы возникают в контексте различных задач подсчета и рассматриваются более неформально как упорядоченные списки длины n . ^[7] n -наборы, элементы которых происходят из набора из m элементов, также называются аранжировками с повторением , перестановками мультимножества и, в некоторой неанглийской литературе, вариациями с повторением . Количество n -элементов m -множества равно m ⁿ . Это следует из комбинаторнойправило продукта . ^[8] Если S является конечным множеством мощности т , это число мощности на п -кратной декартову мощность S × S × ... S . Кортежи являются элементами этого набора продуктов.

Теория типов [ править ]

В теории типов , обычно используемой в языках программирования , кортеж имеет тип продукта ; это фиксирует не только длину, но и основные типы каждого компонента. Формально:

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}):{\mathsf {T}}_{1}\times {\mathsf {T}}_{2}\times \ldots \times {\mathsf {T}}_{n}}$

а проекции - это конструкторы терминов:

${\displaystyle \pi _{1}(x):{\mathsf {T}}_{1},~\pi _{2}(x):{\mathsf {T}}_{2},~\ldots ,~\pi _{n}(x):{\mathsf {T}}_{n}}$

Кортеж с помеченными элементами, используемый в реляционной модели, имеет тип записи . Оба эти типа можно определить как простые расширения просто типизированного лямбда-исчисления . ^[9]

Понятия кортежа в теории типов и теории множеств связаны следующим образом: если мы рассматриваем естественную модель теории типов и используем скобки Скотта для обозначения семантической интерпретации, то модель состоит из некоторых наборов ( примечание: здесь используется курсив, который отличает наборы от типов), так что:${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots ,S_{n}}$

${\displaystyle [\![{\mathsf {T}}_{1}]\!]=S_{1},~[\![{\mathsf {T}}_{2}]\!]=S_{2},~\ldots ,~[\![{\mathsf {T}}_{n}]\!]=S_{n}}$

и толкование основных терминов таково:

${\displaystyle [\![x_{1}]\!]\in [\![{\mathsf {T}}_{1}]\!],~[\![x_{2}]\!]\in [\![{\mathsf {T}}_{2}]\!],~\ldots ,~[\![x_{n}]\!]\in [\![{\mathsf {T}}_{n}]\!]}$.

П -кратного теории типа имеет естественную интерпретацию как п -кратный из теории множеств: ^[10]

${\displaystyle [\![(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})]\!]=(\,[\![x_{1}]\!],[\![x_{2}]\!],\ldots ,[\![x_{n}]\!]\,)}$

Тип единицы имеет семантическую интерпретацию 0-кортеж.

См. Также [ править ]

• Артистия
• Экспоненциальный объект
• Формальный язык
• OLAP: многомерные выражения
• Prime к -кратному
• Отношение (математика)
• Последовательность
• Кортеж

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• Д'Анджело, Джон П .; Уэст, Дуглас Б. (2000), Математическое мышление / Решение проблем и доказательства (2-е изд.), Прентис-Холл, ISBN 978-0-13-014412-6
• Кейт Девлин , Радость множеств . Springer Verlag, 2-е изд., 1993, ISBN 0-387-94094-4 , стр. 7-8 
• Авраам Адольф Френкель , Иегошуа Бар-Хиллель , Азриэль Леви , Основы школьной теории множеств , Elsevier Studies in Logic Vol. 67, 2-е издание, переработанное, 1973, ISBN 0-7204-2270-1 , стр. 33 
• Такеути Гаиси , Заринг В.М. , Введение в теорию аксиоматических множеств , Springer GTM 1, 1971, ISBN 978-0-387-90024-7 , стр. 14 
• Джордж Дж. Турлакис, Конспект лекций по логике и теории множеств. Том 2: Теория множеств , Cambridge University Press, 2003, ISBN 978-0-521-75374-6 , стр. 182–193 

Внешние ссылки [ править ]

• Словарное определение кортежа в Викисловаре