В квантовой механике система с двумя состояниями (также известная как двухуровневая система ) - это квантовая система, которая может существовать в любой квантовой суперпозиции двух независимых (физически различимых) квантовых состояний . Гильбертово пространство описания такой системы является двух- мерным . Следовательно, полный базис, охватывающий пространство, будет состоять из двух независимых состояний. Любую систему с двумя состояниями также можно рассматривать как кубит .
Системы с двумя состояниями - это простейшие квантовые системы, которые представляют интерес, поскольку динамика системы с одним состоянием тривиальна (поскольку нет других состояний, в которых система может существовать). Математическая основа, необходимая для анализа систем с двумя состояниями, - это линейные дифференциальные уравнения и линейная алгебра двумерных пространств. В результате динамика системы с двумя состояниями может быть решена аналитически без какого-либо приближения. Общее поведение системы состоит в том, что амплитуда волновой функции колеблется между двумя состояниями.
Очень хорошо известным примером двух состояний системы является спин из спин-1/2 частицы , такие как электрон, чей спин может иметь значения + ħ / 2 или - ħ / 2, где ħ является приведенная постоянная Планка .
Система с двумя состояниями не может использоваться для описания поглощения или распада, потому что такие процессы требуют связи с континуумом. Такие процессы будут включать экспоненциальное затухание амплитуд, но решения системы с двумя состояниями являются колебательными.
Аналитические решения для энергий стационарного состояния и зависимости от времени
Представление
Предположим, что двумя доступными базовыми состояниями системы являются: а также , в общем случае состояние можно записать как суперпозицию этих двух состояний с амплитудами вероятностей ,
Поскольку базисные состояния ортонормированы , где а также это дельта Кронекера , поэтому. Эти два комплексных числа можно рассматривать как координаты в двумерном комплексном гильбертовом пространстве . [1] Таким образом, вектор состояния, соответствующий состоянию является
а базисные состояния соответствуют базисным векторам, а также .
Если государство будет нормализована , то норма о statevector равна единице, т.е..
Все наблюдаемые физические величины , такие как энергия, связаны с эрмитовыми операторами . В случае энергии и соответствующий гамильтониан , H , это означает: т.е. а также настоящие, и . Таким образом, эти четыре матричных элементасоздать эрмитову матрицу 2 × 2 ,
Не зависящее от времени уравнение Шредингера утверждает, что; заменяя в терминах базисных состояний сверху и умножая обе стороны на или же дает систему двух линейных уравнений, которые можно записать в матричной форме,
или же которая представляет собой задачу о собственных значениях матрицы 2 × 2 и собственных векторах .
Из-за отшельничества собственные значения действительны; или, скорее, наоборот, именно требование реальности энергий подразумевает отшельничность. Собственные векторы представляют собой стационарные состояния , т. Е. Такие , для которых абсолютная величина квадратов амплитуд вероятностей не меняется со временем.
Собственные значения гамильтониана
Наиболее общий вид эрмитовой матрицы 2 × 2, такой как гамильтониан системы с двумя состояниями, имеет вид
где и γ - действительные числа с единицами энергии. Разрешенные уровни энергии системы, а именно собственные значения матрицы гамильтониана, можно найти обычным способом.
Эквивалентно эту матрицу можно разложить как,
Здесь, а также настоящие числа. Матрица - единичная матрица 2 × 2, а матрицы - матрицы Паули . Такое разложение упрощает анализ системы, особенно в случае, когда значения не зависят от времени. а также являются константами.
Далее гамильтониан можно сжать как
Вектор дан кем-то а также дан кем-то . Это представление упрощает анализ эволюции системы во времени и его легче использовать с другими специализированными представлениями, такими как сфера Блоха .
Если независимый от времени гамильтониан H системы с двумя состояниями определяется, как указано выше, то его собственные значения задаются выражением. Очевидно, что α средняя энергия двух уровней, а норма изэто расщепление между ними. Соответствующие собственные векторы обозначены как а также .
Зависимость от времени
Теперь предположим, что амплитуды вероятностей зависят от времени, а базисные состояния - нет. В зависящем от времени уравнения Шредингера состояния, и продолжая, как и раньше (заменяя и умножение на снова дает пару связанных линейных уравнений, но на этот раз они являются уравнениями в частных производных первого порядка: . Если не зависит от времени, существует несколько подходов к нахождению временной зависимости , например, в нормальных режимах . В результате
где это вектор состояния в . Здесь экспоненту матрицы можно найти из разложения в ряд. Матрица называется матрицей эволюции во времени (которая содержит матричные элементы соответствующего оператора эволюции во времени ). Легко доказать, чтоявляется унитарным , а это означает , что.
Можно показать, что
где
При замене базиса на собственные векторы гамильтониана, другими словами, если базис утверждает выбраны в качестве собственных векторов, то а также поэтому гамильтониан диагонален, т. е. и имеет форму,
Теперь унитарный оператор эволюции во времени легко увидеть, как это выражается:
В Фактор просто вносит вклад в общую фазу оператора, и его обычно можно игнорировать, чтобы получить новый оператор эволюции во времени, который физически неотличим от исходного оператора. Более того, любое возмущение системы (которое будет иметь ту же форму, что и гамильтониан) может быть добавлено к системе в собственном базисе невозмущенного гамильтониана и проанализировано так же, как и выше. Следовательно, для любого возмущения новые собственные векторы возмущенной системы могут быть решены точно, как упомянуто во введении.
Формула Раби для статического возмущения
Предположим, что система стартует в одном из базисных состояний при , сказать чтобы , и нас интересует вероятность занятия каждого из базисных состояний как функция времени, когда - не зависящий от времени гамильтониан.
Вероятность оккупации государства i равна. В случае начального состояния, а сверху . Следовательно,
Очевидно, из-за начального состояния. Частота называется обобщенной частотой Раби, называется частотой Раби, а называется отстройкой.
При нулевой расстройке , т. е. происходит переход Раби от гарантированного занятия состояния 1 к гарантированному заполнению состояния 2 и обратно в состояние 1 и т. д. с частотой . При увеличении расстройки от нуля частота флопа увеличивается (до Ω ), а амплитуда уменьшается до.
Для зависящих от времени гамильтонианов, индуцированных световыми волнами,
Некоторые важные системы с двумя состояниями
Прецессия в поле
Рассмотрим случай частицы со спином 1/2 в магнитном поле.. Гамильтониан взаимодействия для этой системы равен
где - величина магнитного момента частицы, а- вектор матриц Паули . Решение зависящего от времени уравнения Шредингера дает
где а также . Физически это соответствует прецессии вектора Блоха вокруг с угловой частотой . Без ограничения общности предположим, что поле является однородным в точках, так что оператор эволюции во времени имеет вид
Можно видеть, что такой оператор временной эволюции, действующий на общее состояние спина частицы со спином 1/2, приведет к прецессии вокруг оси, определяемой приложенным магнитным полем (это квантово-механический эквивалент ларморовской прецессии ) [ 2]
Вышеупомянутый метод может быть применен к анализу любой типовой системы с двумя состояниями, которая взаимодействует с некоторым полем (эквивалентным магнитному полю в предыдущем случае), если взаимодействие задается подходящим членом связи, аналогичным магнитному моменту . Прецессию вектора состояния (которая не обязательно должна быть физическим вращением, как в предыдущем случае) можно рассматривать как прецессию вектора состояния на сфере Блоха .
Представление на сфере Блоха для вектора состояния будет просто вектором ожидаемых значений . В качестве примера рассмотрим вектор состояния это нормализованная суперпозиция а также , то есть вектор, который может быть представлен в основа как
Компоненты на сфере Блоха будет просто . Это единичный вектор, который начинает указывать вдоль и прецессии вокруг левшой. В общем, вращением вокруг, любой вектор состояния можно представить как с действительными коэффициентами а также . Такой вектор состояния соответствует вектору Блоха в плоскости xz, образующей уголс осью z . Этот вектор продолжит прецессию вокруг. Теоретически, позволяя системе взаимодействовать с полем определенного направления и силы в течение определенных промежутков времени, можно получить любую ориентацию вектора Блоха , что эквивалентно получению любой сложной суперпозиции. Это основа для множества технологий, включая квантовые вычисления и МРТ .
Эволюция в поле, зависящее от времени: ядерный магнитный резонанс
Ядерный магнитный резонанс (ЯМР) является важным примером динамики систем с двумя состояниями, поскольку он включает точное решение зависящего от времени гамильтониана. Явление ЯМР достигается помещением ядра в сильное статическое поле B 0 («удерживающее поле») и последующим приложением слабого поперечного поля B 1, которое колеблется на некоторой радиочастоте ω r . [3] В явном виде рассмотрим частицу со спином 1/2 в удерживающем поле.и поперечное высокочастотное поле B 1, вращающееся в плоскости xy вправо вокруг B 0 :
Как и в случае свободной прецессии, гамильтониан имеет вид , и эволюция вектора состояния находится путем решения нестационарного уравнения Шредингера . После некоторых манипуляций (приведенных в свернутом разделе ниже) можно показать, что уравнение Шредингера принимает вид
где а также .
Как и в предыдущем разделе, решение этого уравнения имеет вектор Блоха, прецессирующий вокругс частотой, вдвое превышающей величину вектора. Еслидостаточно сильна, некоторая часть спинов будет направлена прямо вниз до введения вращающегося поля. Если угловая частота вращающегося магнитного поля выбрана такой, что, во вращающейся системе координат вектор состояния будет прецессировать вокруг с частотой , и, таким образом, будет переключаться с вниз на вверх, высвобождая энергию в виде обнаруживаемых фотонов [ необходима цитата ] . Это фундаментальная основа ЯМР , и на практике это достигается путем сканированияпока не будет найдена резонансная частота, при которой образец будет излучать свет. Подобные расчеты проводятся в атомной физике, и в случае, когда поле не вращается, а колеблется с комплексной амплитудой, для получения таких результатов используется приближение вращающейся волны .
Вывод приведенного выше выражения для уравнения Шредингера ЯМР |
---|
Здесь уравнение Шредингера имеет вид Расширение скалярного произведения и деление на дает Чтобы исключить зависимость от времени из задачи, волновая функция преобразуется в соответствии с . Уравнение Шредингера, зависящее от времени, принимает вид который после некоторой перестановки дает Оценивая каждый член в правой части уравнения Теперь уравнение выглядит следующим образом: который по тождеству Эйлера становится |
Связь с уравнениями Блоха
Эти оптические уравнения Блоха для сбора спина-1/2 частиц могут быть получены из уравнения времени зависит Шредингер для системы из двух уровней. Начиная с ранее сформулированного гамильтониана, его можно записать в суммированных обозначениях после некоторой перестановки как
Умножение на матрицу Паули и сопряженное транспонирование волновой функции, и последующее разложение произведения двух матриц Паули дает
Добавление этого уравнения к его собственному сопряженному транспонированию дает левую часть формы
И правая часть формы
Как упоминалось ранее, математическое ожидание каждой матрицы Паули является компонентом вектора Блоха ,. Приравнивая левую и правую части, и отмечая, чтоэто гиромагнитное отношение , дает другой вид уравнений движения вектора Блоха
где тот факт, что был использован. В векторной форме эти три уравнения могут быть выражены через перекрестное произведение
Классически это уравнение описывает динамику спина в магнитном поле. Идеальный магнит состоит из набора идентичных спинов, ведущих себя независимо друг от друга, и, таким образом, общая намагниченность пропорциональна вектору Блоха . Все, что осталось для получения окончательной формы оптических уравнений Блоха, - это учет феноменологических релаксационных членов.
В заключение, приведенное выше уравнение может быть получено путем рассмотрения временной эволюции оператора углового момента в картине Гейзенберга .
В сочетании с тем, что , это уравнение такое же, как и раньше.
Срок действия
Системы с двумя состояниями - это простейшие нетривиальные квантовые системы, встречающиеся в природе, но вышеупомянутые методы анализа применимы не только для простых систем с двумя состояниями. Любую общую квантовую систему с несколькими состояниями можно рассматривать как систему с двумя состояниями, если наблюдаемая система имеет два собственных значения. Например, частица со спином 1/2 в действительности может иметь дополнительные поступательные или даже вращательные степени свободы, но эти степени свободы не имеют отношения к предыдущему анализу. Математически неучтенные степени свободы соответствуют вырождению собственных значений спина.
Другой случай, когда применим эффективный формализм двух состояний, - это когда рассматриваемая система имеет два уровня, которые эффективно отделены от системы. Так обстоит дело при анализе спонтанного или вынужденного излучения света атомами и зарядовых кубитов . В этом случае следует иметь в виду, что возмущения (взаимодействия с внешним полем) находятся в нужном диапазоне и не вызывают переходов в состояния, отличные от тех, которые представляют интерес.
Значение и другие примеры
С педагогической точки зрения формализм двух состояний является одним из простейших математических методов, используемых для анализа квантовых систем. Его можно использовать для иллюстрации фундаментальных квантово-механических явлений, таких как интерференция, проявляемая частицами состояний поляризации фотона [4], а также более сложных явлений, таких как осцилляция нейтрино или осцилляция нейтрального K-мезона .
Формализм двух состояний может использоваться для описания простого смешивания состояний, которое приводит к таким явлениям, как стабилизация резонанса и другие симметрии, связанные с пересечением уровней . Подобные явления находят широкое применение в химии. Явления с огромными промышленными применениями, такими как мазеры и лазеры, можно объяснить с помощью формализма двух состояний.
Формализм двух состояний также составляет основу квантовых вычислений . Кубиты , которые являются строительными блоками квантового компьютера, представляют собой не что иное, как системы с двумя состояниями. Любая квантовая вычислительная операция - это унитарная операция, которая вращает вектор состояния на сфере Блоха.
дальнейшее чтение
- Прекрасное описание формализма двух состояний и его применение почти ко всем приложениям, упомянутым в этой статье, представлено в третьем томе Лекций Фейнмана по физике .
- Следующий набор лекций охватывает необходимую математику, а также более подробно рассматривает несколько примеров:
- из курса квантовой механики II, предлагаемого в Массачусетском технологическом институте , http://web.mit.edu/8.05/handouts/Twostates_03.pdf
- из того же курса, посвященного колебаниям нейтральных частиц, http://web.mit.edu/8.05/handouts/nukaon_07.pdf
- из курса квантовой механики I, предлагаемого в TIFR , http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand4.pdf охватывает основы математики
- http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand5.pdf ; из того же курса рассматриваются некоторые физические системы с двумя состояниями и другие важные аспекты формализма.
- математика в начальном разделе выполняется аналогично этим заметкам http://www.math.columbia.edu/~woit/QM/qubit.pdf , которые взяты из курса « Квантовая механика для математиков», предлагаемого в Колумбийском университете. .
- книжная версия того же; http://www.math.columbia.edu/~woit/QM/qmbook.pdf
- Системы с двумя состояниями и сфера, RJ Plymen, Il Nuovo Cimento B 13 (1973) 55-58
Смотрите также
- Цикл Раби
- Дублет
- Ядерный магнитный резонанс
- Квантовая оптика
Рекомендации
- ^ Гриффитс, Дэвид (2005). Введение в квантовую механику (2-е изд.). п. 353.
- ^ Фейнман, Р.П. (1965). «7-5 и 10-7». Лекции Фейнмана по физике: Том 3 . Эддисон Уэсли.
- ^ Гриффитс, стр. 377.
- ^ Фейнман, Р.П. (1965). «11-4». Лекции Фейнмана по физике: Том 3 . Эддисон Уэсли.