В квантовой механике , то принцип неопределенности (также известный как принцип неопределенности Гейзенберга ) является любым из множества математических неравенств [1] , утверждающих фундаментальный предел точности , с которой значение для некоторых пар физических величин в частицах , такие как положение , х , и импульс , р , может быть предсказано из начальных условий .
Такие пары переменных известны как дополнительные переменные или канонически сопряженные переменные; и, в зависимости от интерпретации, принцип неопределенности ограничивает, в какой степени такие сопряженные свойства сохраняют свое приблизительное значение, поскольку математическая основа квантовой физики не поддерживает понятие одновременно четко определенных сопряженных свойств, выражаемых одним значением. Принцип неопределенности подразумевает, что, как правило, невозможно предсказать значение величины с произвольной уверенностью, даже если указаны все начальные условия.
Впервые введенный в 1927 году немецким физиком Вернером Гейзенбергом , принцип неопределенности гласит, что чем точнее определяется положение некоторой частицы, тем менее точно ее импульс можно предсказать из начальных условий, и наоборот. [2] Формальное неравенство, связывающее стандартное отклонение положения σ x и стандартное отклонение импульса σ p, было выведено Эрлом Гессе Кеннардом [3] позже в том же году и Германом Вейлем [4] в 1928 году:
где ħ - приведенная постоянная Планка , h / (2π ).
Исторически принцип неопределенности путали [5] [6] со связанным эффектом в физике , называемым эффектом наблюдателя , который отмечает, что измерения некоторых систем не могут быть выполнены без воздействия на систему, то есть без изменения чего-либо в системе. . Гейзенберг использовал такой эффект наблюдателя на квантовом уровне (см. Ниже) как физическое «объяснение» квантовой неопределенности. [7] Это с тех пор стало ясно, однако, что принцип неопределенности присущ в свойствах все волнообразный система , [8] , и что она возникает в квантовой механике просто из - за вопросом волновой природы всех квантовых объектов. Таким образом, принцип неопределенности фактически устанавливает фундаментальное свойство квантовых систем, а не является утверждением об успехе современных технологий с точки зрения наблюдений . [9] Следует подчеркнуть, что измерение означает не только процесс, в котором принимает участие физик-наблюдатель, но и любое взаимодействие между классическими и квантовыми объектами независимо от наблюдателя. [10] [примечание 1] [примечание 2]
Поскольку принцип неопределенности является таким основным результатом в квантовой механике, типичные эксперименты в квантовой механике обычно наблюдают его аспекты. Некоторые эксперименты, однако, могут намеренно проверять конкретную форму принципа неопределенности в рамках своей основной исследовательской программы. К ним относятся, например, проверки соотношений неопределенностей число – фаза в сверхпроводящих [12] или квантовых оптических [13] системах. Приложения, зависящие от принципа неопределенности для их работы, включают в себя технологию с чрезвычайно низким уровнем шума, такую как та, которая требуется в интерферометрах гравитационных волн . [14]
Вступление
Принцип неопределенности не так очевиден в макроскопических масштабах повседневного опыта. [15] Поэтому полезно продемонстрировать, как это применимо к более понятным физическим ситуациям. Две альтернативные концепции квантовой физики предлагают разные объяснения принципа неопределенности. Картина волновой механики принципа неопределенности визуально более интуитивна, но более абстрактная картина матричной механики формулирует ее таким образом, чтобы ее было легче обобщить.
С математической точки зрения, в волновой механике отношение неопределенности между положением и импульсом возникает из-за того, что выражения волновой функции в двух соответствующих ортонормированных базисах в гильбертовом пространстве являются преобразованиями Фурье друг друга (т.е. положение и импульс являются сопряженными переменными ). Ненулевая функция и ее преобразование Фурье не могут быть одновременно четко локализованы. Подобный компромисс между дисперсиями сопряженных Фурье возникает во всех системах, лежащих в основе анализа Фурье, например, в звуковых волнах: чистый тон - это резкий всплеск на одной частоте, а его преобразование Фурье дает форму звуковой волны во времени. домен, который представляет собой полностью делокализованную синусоидальную волну. В квантовой механике двумя ключевыми моментами являются то, что положение частицы принимает форму материальной волны , а импульс - это ее сопряженный по Фурье, что обеспечивается соотношением де Бройля p = ħk , где k - волновое число .
В матричной механике , математической формулировке квантовой механики , любая пара некоммутирующих самосопряженных операторов, представляющих наблюдаемые , подчиняется аналогичным пределам неопределенности. Собственное состояние наблюдаемого представляет состояние волновой функции для определенного значения измерения (собственное значение). Например, если измерение наблюдаемого А выполняются, то система находится в определенной собственной состоянии Ф того , что наблюдается. Однако конкретное собственное состояние наблюдаемой A не обязательно должно быть собственным состоянием другой наблюдаемой B : если это так, то у нее нет единственного ассоциированного измерения для нее, поскольку система не находится в собственном состоянии этой наблюдаемой. [16]
Интерпретация волновой механики
(Ссылка [10] )
Согласно гипотезе де Бройля , каждый объект во Вселенной представляет собой волну , т. Е. Ситуацию, которая порождает это явление. Положение частицы описывается волновой функцией . Не зависящая от времени волновая функция одномодовой плоской волны с волновым числом k 0 или импульсом p 0 равна
В Born правило гласит , что это должно быть истолковано как функция амплитуды плотности вероятности в том смысле , что вероятность нахождения частицы между и Ь является
В случае одномодовой плоской волны является равномерным распределением . Другими словами, положение частицы крайне неопределенно в том смысле, что она может находиться практически в любом месте волнового пакета.
С другой стороны, рассмотрим волновую функцию, которая является суммой многих волн , которую мы можем записать как
где A n представляет относительный вклад моды p n в общую сумму. На рисунках справа показано, как при добавлении множества плоских волн волновой пакет может стать более локализованным. Мы можем сделать еще один шаг к континуальному пределу, когда волновая функция является интегралом по всем возможным режимам.
с участием представляет собой амплитуду этих мод и называется волновой функцией в импульсном пространстве . В математических терминах мы говорим, чтоэто преобразование Фурье оти что x и p - сопряженные переменные . Сложение вместе всех этих плоских волн имеет свою цену, а именно импульс стал менее точным, поскольку он стал смесью волн с множеством разных импульсов.
Одним из способов количественной оценки точности положения и импульса является стандартное отклонение σ . С - функция плотности вероятности для положения, мы вычисляем ее стандартное отклонение.
Точность положения улучшается, то есть уменьшается σ x , за счет использования множества плоских волн, тем самым ослабляя точность импульса, т.е. увеличивая σ p . Другими словами, σ x и σ p имеют обратную связь или, по крайней мере, ограничены снизу. Это принцип неопределенности, точным пределом которого является граница Кеннарда. Нажмите кнопку « Показать» ниже, чтобы увидеть полуформальный вывод неравенства Кеннарда с использованием волновой механики.
Доказательство неравенства Кеннарда с помощью волновой механики |
---|
Нас интересуют дисперсии позиции и импульса, определяемые как Не умаляя общности , мы будем считать, что средние значения обращаются в нуль, что равносильно смещению начала координат наших координат. (Более общее доказательство, которое не делает этого предположения, приводится ниже.) Это дает нам более простую форму Функция можно интерпретировать как вектор в функциональном пространстве . Мы можем определить внутреннее произведение для пары функций u ( x ) и v ( x ) в этом векторном пространстве: где звездочка означает комплексное сопряжение . После определения этого внутреннего продукта отметим, что дисперсия для позиции может быть записана как Мы можем повторить это для импульса, интерпретируя функцию как вектор, но мы также можем воспользоваться тем фактом, что а также являются преобразованиями Фурье друг друга. Мы оцениваем обратное преобразование Фурье путем интегрирования по частям : где сокращенный член обращается в нуль, поскольку волновая функция обращается в нуль на бесконечности. Часто терминназывается оператором импульса в позиционном пространстве. Применяя теорему Парсеваля , мы видим, что дисперсию импульса можно записать как Неравенство Коши-Шварца утверждает , что Квадрат модуля любого комплексного числа z может быть выражен как мы позволяем а также и подставьте их в приведенное выше уравнение, чтобы получить Остается только оценить эти внутренние продукты. Вставляя это в приведенные выше неравенства, мы получаем или извлечение квадратного корня Обратите внимание, что единственная физика, вовлеченная в это доказательство, заключалась в том, что а также - волновые функции для положения и импульса, которые являются преобразованиями Фурье друг друга. Аналогичный результат верен для любой пары сопряженных переменных. |
Интерпретация матричной механики
(Ссылка [10] )
В матричной механике наблюдаемые, такие как положение и импульс, представлены самосопряженными операторами . При рассмотрении пар наблюдаемых важной величиной является коммутатор . Для пары операторов Â и B̂ их коммутатор определяется как
В случае положения и импульса коммутатором является каноническое коммутационное соотношение
Физический смысл некоммутативности можно понять, рассмотрев влияние коммутатора на собственные состояния положения и количества движения . Позволять- правое собственное состояние позиции с постоянным собственным значением x 0 . По определению это означает, что Применяя коммутатор к дает
где Î - тождественный оператор .
Предположим, для доказательства от противного , чтотакже является правым собственным состоянием импульса с постоянным собственным значением p 0 . Если бы это было правдой, то можно было бы написать
С другой стороны, указанное выше каноническое коммутационное соотношение требует, чтобы
Это означает, что никакое квантовое состояние не может быть одновременно и положением, и собственным состоянием импульса.
Когда состояние измеряется, оно проецируется на собственное состояние на основе соответствующей наблюдаемой. Например, если измеряется положение частицы, то состояние равно собственному состоянию положения. Это означает, что состояние не является собственным состоянием импульса, а, скорее, может быть представлено как сумма множества собственных состояний базиса импульса. Другими словами, импульс должен быть менее точным. Эта точность может быть определена количественно стандартными отклонениями ,
Как и в вышеприведенной интерпретации волновой механики, каждый видит компромисс между соответствующими точностями обоих, количественно определяемых принципом неопределенности.
Предел Гейзенберга
В квантовой метрологии , и особенно в интерферометрии , предел Гейзенберга - это оптимальная скорость, с которой точность измерения может масштабироваться с энергией, используемой при измерении. Обычно это измерение фазы (приложенное к одному плечу светоделителя ), а энергия выражается числом фотонов, используемых в интерферометре . Хотя некоторые утверждают, что они нарушили предел Гейзенберга, это отражает разногласия по поводу определения ресурса масштабирования. [17] Правильно определенный предел Гейзенберга является следствием основных принципов квантовой механики и не может быть побежден, хотя слабый предел Гейзенберга может быть побежден. [18]
Соотношения неопределенностей Робертсона – Шредингера
Наиболее распространенной общей формой принципа неопределенности является соотношение неопределенностей Робертсона . [19]
Для произвольного эрмитова оператора мы можем связать стандартное отклонение
где скобки укажите математическое ожидание . Для пары операторов а также , мы можем определить их коммутатор как
В этих обозначениях соотношение неопределенностей Робертсона дается выражением
Соотношение неопределенности Робертсона сразу следует из несколько более сильного неравенства, соотношения неопределенности Шредингера , [20]
где мы ввели антикоммутатор ,
Доказательство соотношения неопределенностей Шредингера | ||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Показанный здесь вывод включает и основывается на выводах, показанных в Робертсоне [19], Шредингере [20] и стандартных учебниках, таких как Гриффитс. [21] Для любого эрмитова оператора, исходя из определения дисперсии , имеем мы позволяем и поэтому Аналогично для любого другого эрмитова оператора в том же состоянии для Таким образом, произведение двух отклонений может быть выражено как
Чтобы связать два вектора а также , воспользуемся неравенством Коши – Шварца [22], которое определяется как и, таким образом, уравнение. ( 1 ) можно записать как
С в общем случае комплексное число, мы используем тот факт, что квадрат модуля любого комплексного числа определяется как , где является комплексным сопряжением . Квадрат модуля также может быть выражен как
мы позволяем а также и подставьте их в приведенное выше уравнение, чтобы получить
Внутренний продукт явно записывается как и используя тот факт, что а также являются эрмитовыми операторами, находим Аналогичным образом можно показать, что Таким образом, мы имеем а также Теперь мы подставляем два приведенных выше уравнения обратно в уравнение. ( 4 ) и получаем Подставляя вышеуказанное в формулу. ( 2 ) получаем соотношение неопределенностей Шредингера Это доказательство имеет проблему [23], связанную с доменами задействованных операторов. Чтобы доказательство имело смысл, вектордолжен быть в области неограниченного оператора , что не всегда так. Фактически, соотношение неопределенностей Робертсона неверно, если переменная угла и - производная по этой переменной. В этом примере коммутатор является ненулевой константой, как и в соотношении неопределенностей Гейзенберга, и все же есть состояния, в которых произведение неопределенностей равно нулю. [24] (См. Раздел контрпримеров ниже.) Эту проблему можно преодолеть, используя вариационный метод доказательства., [25] [26] или работая с возведенной в степень версии канонических коммутационных соотношений. [24] Отметим, что в общей форме соотношения неопределенностей Робертсона – Шредингера нет необходимости предполагать, что операторы а также являются самосопряженными операторами . Достаточно предположить, что это просто симметричные операторы . (Различие между этими двумя понятиями обычно замалчивается в физической литературе, где термин эрмитов используется для одного или обоих классов операторов. См. Главу 9 книги Холла [27] для подробного обсуждения этого важного, но технического различия. ) |
Смешанные состояния
Соотношение неопределенностей Робертсона – Шредингера может быть просто обобщено для описания смешанных состояний .
Соотношения неопределенностей Макконе – Пати
Соотношение неопределенностей Робертсона – Шредингера может быть тривиальным, если состояние системы выбрано как собственное состояние одной из наблюдаемых. Более сильные соотношения неопределенностей, доказанные Макконом и Пати, дают нетривиальные оценки суммы дисперсий для двух несовместимых наблюдаемых. [28] (Более ранние работы по соотношениям неопределенностей, сформулированным как сумма дисперсий, включают, например, [29] из-за Хуанга.) Для двух некоммутирующих наблюдаемых а также первое более сильное соотношение неопределенности дается формулой
где , , - нормированный вектор, ортогональный состоянию системы и следует выбрать знак чтобы сделать это реальное количество положительным числом.
Второе более сильное соотношение неопределенности дается выражением
где состояние ортогонально . Форма означает, что правая часть нового соотношения неопределенности отлична от нуля, если только является собственным состоянием . Можно отметить, что может быть собственным состоянием не являясь собственным состоянием ни или же . Однако когдаявляется собственным состоянием одной из двух наблюдаемых, соотношение неопределенностей Гейзенберга – Шредингера становится тривиальным. Но нижняя граница в новом соотношении отлична от нуля, если только является собственным состоянием обоих.
Фазовое пространство
В формулировке квантовой механики фазового пространства соотношение Робертсона – Шредингера следует из условия положительности вещественной функции «звезда-квадрат». Учитывая функцию Вигнера со звездным произведением ★ и функцией f обычно верно следующее: [30]
Выбор , мы приходим к
Поскольку это условие положительности верно для всех a , b и c , отсюда следует, что все собственные значения матрицы неотрицательны.
Тогда неотрицательные собственные значения подразумевают соответствующее условие неотрицательности определителя ,
или, явно, после алгебраических манипуляций,
Примеры
Поскольку соотношения Робертсона и Шредингера предназначены для общих операторов, эти соотношения могут быть применены к любым двум наблюдаемым для получения конкретных соотношений неопределенности. Ниже приведены некоторые из наиболее распространенных взаимосвязей, встречающихся в литературе.
- Для положения и количества движения каноническое коммутационное соотношение следует неравенство Кеннарда сверху:
- Для двух ортогональных компонент оператора полного углового момента объекта:
- где i , j , k различны, а J i обозначает угловой момент вдоль оси x i . Это соотношение подразумевает, что если все три компонента не обращаются в нуль вместе, только один компонент углового момента системы может быть определен с произвольной точностью, обычно компонент, параллельный внешнему (магнитному или электрическому) полю. Более того, для , Выбор , в мультиплетах углового момента ψ = | j , m〉, ограничивает инвариант Казимира (квадрат углового момента, ) снизу и, таким образом, дает полезные ограничения, такие как j ( j + 1) ≥ m ( m + 1) , и, следовательно, j ≥ m , среди прочих.
- В нерелятивистской механике время считается независимой переменной . Тем не менее, в 1945 г. Л.И. Мандельштам и И.Е. Тамм вывели нерелятивистское соотношение неопределенности времени и энергии следующим образом. [31] [32] Для квантовой системы в нестационарном состоянии ψ и наблюдаемой B, представленной самосопряженным оператором, имеет место следующая формула:
- где σ Е представляет собой стандартное отклонение оператора энергии (Гамильтон) в состоянии ф , σ B означает стандартное отклонение B . Хотя второй множитель в левой части имеет размерность времени, он отличается от временного параметра, входящего в уравнение Шредингера . Это время жизни состояния ψ по отношению к наблюдаемому B : другими словами, это временной интервал (Δ t ), после которого ожидаемое значение заметно меняется.
- Неформальный, эвристический смысл принципа заключается в следующем: состояние, которое существует только в течение короткого времени, не может иметь определенной энергии. Чтобы иметь определенную энергию, частота состояния должна быть определена точно, а это требует, чтобы состояние оставалось на протяжении многих циклов, обратных требуемой точности. Например, в спектроскопии возбужденные состояния имеют конечное время жизни. Согласно принципу неопределенности время-энергия, они не имеют определенной энергии, и каждый раз, когда они распадаются, выделяемая ими энергия немного отличается. Средняя энергия исходящего фотона имеет максимум при теоретической энергии состояния, но распределение имеет конечную ширину, называемую естественной шириной линии . Быстро распадающиеся состояния имеют широкую ширину линии, в то время как медленно распадающиеся состояния имеют узкую ширину линии. [33]
- Тот же эффект ширины линии также затрудняет определение массы покоя нестабильных, быстро распадающихся частиц в физике элементарных частиц . Чем быстрее частица распадается (чем короче ее время жизни), тем менее определена ее масса (тем больше ширина частицы ).
- Для числа электронов в сверхпроводнике и фазы его параметра порядка Гинзбурга – Ландау [34] [35]
Контрпример
Предположим, мы рассматриваем квантовую частицу на кольце , где волновая функция зависит от угловой переменной, которое можно считать лежащим в интервале . Определите операторы "позиции" и "импульса" а также от
а также
где мы накладываем периодические граничные условия на . Определение зависит от нашего выбора иметь диапазон от 0 до . Эти операторы удовлетворяют обычным коммутационным соотношениям для операторов положения и импульса:. [36]
Теперь позвольте быть любым из собственных состояний , которые даются . Эти состояния нормируемы, в отличие от собственных состояний оператора импульса на линии. Также оператор ограничено, так как пробегает ограниченный интервал. Таким образом, в состоянии, неопределенность равна нулю, а неопределенность конечно, так что
Хотя этот результат, по-видимому, нарушает принцип неопределенности Робертсона, парадокс разрешается, когда мы отмечаем, что не входит в сферу деятельности оператора , так как умножение на нарушает периодические граничные условия, наложенные на . [24] Таким образом, вывод соотношения Робертсона, который требует а также подлежит определению, не применяется. (Они также предоставляют пример операторов, удовлетворяющих каноническим коммутационным соотношениям, но не соотношениям Вейля . [37] )
Для обычных операторов положения и импульса а также на реальной прямой таких контрпримеров не может быть. Так долго как а также определены в государстве , принцип неопределенности Гейзенберга выполняется, даже если не находится в сфере или из . [38]
Примеры
(Ссылки [10] [21] )
Стационарные состояния квантового гармонического осциллятора
Рассмотрим одномерный квантовый гармонический осциллятор. Операторы положения и импульса можно выразить в терминах операторов создания и уничтожения :
Используя стандартные правила для операторов рождения и уничтожения на собственных состояниях энергии,
в дисперсии может быть вычислена непосредственно,
Тогда произведение этих стандартных отклонений равно
В частности, указанная выше граница Кеннарда [3] насыщается для основного состояния n = 0 , для которого плотность вероятности является просто нормальным распределением .
Квантовые гармонические осцилляторы с гауссовым начальным условием
В квантовом гармоническом осцилляторе с характерной угловой частотой ω поместите состояние, которое смещено от дна потенциала на некоторое смещение x 0 как
where Ω describes the width of the initial state but need not be the same as ω. Through integration over the propagator, we can solve for the full time-dependent solution. After many cancelations, the probability densities reduce to
where we have used the notation to denote a normal distribution of mean μ and variance σ2. Copying the variances above and applying trigonometric identities, we can write the product of the standard deviations as
From the relations
we can conclude the following: (the right most equality holds only when Ω = ω) .
Coherent states
A coherent state is a right eigenstate of the annihilation operator,
- ,
which may be represented in terms of Fock states as
In the picture where the coherent state is a massive particle in a quantum harmonic oscillator, the position and momentum operators may be expressed in terms of the annihilation operators in the same formulas above and used to calculate the variances,
Therefore, every coherent state saturates the Kennard bound
with position and momentum each contributing an amount in a "balanced" way. Moreover, every squeezed coherent state also saturates the Kennard bound although the individual contributions of position and momentum need not be balanced in general.
Particle in a box
Consider a particle in a one-dimensional box of length . The eigenfunctions in position and momentum space are
and
where and we have used the de Broglie relation . The variances of and can be calculated explicitly:
The product of the standard deviations is therefore
For all , the quantity is greater than 1, so the uncertainty principle is never violated. For numerical concreteness, the smallest value occurs when , in which case
Constant momentum
Assume a particle initially has a momentum space wave function described by a normal distribution around some constant momentum p0 according to
where we have introduced a reference scale , with describing the width of the distribution−−cf. nondimensionalization. If the state is allowed to evolve in free space, then the time-dependent momentum and position space wave functions are
Since and , this can be interpreted as a particle moving along with constant momentum at arbitrarily high precision. On the other hand, the standard deviation of the position is
such that the uncertainty product can only increase with time as
Дополнительные соотношения неопределенностей
Systematic and statistical errors
The inequalities above focus on the statistical imprecision of observables as quantified by the standard deviation . Heisenberg's original version, however, was dealing with the systematic error, a disturbance of the quantum system produced by the measuring apparatus, i.e., an observer effect.
If we let represent the error (i.e., inaccuracy) of a measurement of an observable A and the disturbance produced on a subsequent measurement of the conjugate variable B by the former measurement of A, then the inequality proposed by Ozawa[6] — encompassing both systematic and statistical errors — holds:
Heisenberg's uncertainty principle, as originally described in the 1927 formulation, mentions only the first term of Ozawa inequality, regarding the systematic error. Using the notation above to describe the error/disturbance effect of sequential measurements (first A, then B), it could be written as
The formal derivation of the Heisenberg relation is possible but far from intuitive. It was not proposed by Heisenberg, but formulated in a mathematically consistent way only in recent years.[39][40] Also, it must be stressed that the Heisenberg formulation is not taking into account the intrinsic statistical errors and . There is increasing experimental evidence[8][41][42][43] that the total quantum uncertainty cannot be described by the Heisenberg term alone, but requires the presence of all the three terms of the Ozawa inequality.
Using the same formalism,[1] it is also possible to introduce the other kind of physical situation, often confused with the previous one, namely the case of simultaneous measurements (A and B at the same time):
The two simultaneous measurements on A and B are necessarily[44] unsharp or weak.
It is also possible to derive an uncertainty relation that, as the Ozawa's one, combines both the statistical and systematic error components, but keeps a form very close to the Heisenberg original inequality. By adding Robertson[1]
and Ozawa relations we obtain
The four terms can be written as:
Defining:
as the inaccuracy in the measured values of the variable A and
as the resulting fluctuation in the conjugate variable B, Fujikawa[45] established an uncertainty relation similar to the Heisenberg original one, but valid both for systematic and statistical errors:
Quantum entropic uncertainty principle
For many distributions, the standard deviation is not a particularly natural way of quantifying the structure. For example, uncertainty relations in which one of the observables is an angle has little physical meaning for fluctuations larger than one period.[26][46][47][48] Other examples include highly bimodal distributions, or unimodal distributions with divergent variance.
A solution that overcomes these issues is an uncertainty based on entropic uncertainty instead of the product of variances. While formulating the many-worlds interpretation of quantum mechanics in 1957, Hugh Everett III conjectured a stronger extension of the uncertainty principle based on entropic certainty.[49] This conjecture, also studied by Hirschman[50] and proven in 1975 by Beckner[51] and by Iwo Bialynicki-Birula and Jerzy Mycielski[52] is that, for two normalized, dimensionless Fourier transform pairs f(a) and g(b) where
- and
the Shannon information entropies
and
are subject to the following constraint,
where the logarithms may be in any base.
The probability distribution functions associated with the position wave function ψ(x) and the momentum wave function φ(x) have dimensions of inverse length and momentum respectively, but the entropies may be rendered dimensionless by
where x0 and p0 are some arbitrarily chosen length and momentum respectively, which render the arguments of the logarithms dimensionless. Note that the entropies will be functions of these chosen parameters. Due to the Fourier transform relation between the position wave function ψ(x) and the momentum wavefunction φ(p), the above constraint can be written for the corresponding entropies as
where h is Planck's constant.
Depending on one's choice of the x0 p0 product, the expression may be written in many ways. If x0 p0 is chosen to be h, then
If, instead, x0 p0 is chosen to be ħ, then
If x0 and p0 are chosen to be unity in whatever system of units are being used, then
where h is interpreted as a dimensionless number equal to the value of Planck's constant in the chosen system of units. Note that these inequalities can be extended to multimode quantum states, or wavefunctions in more than one spatial dimension.[53]
The quantum entropic uncertainty principle is more restrictive than the Heisenberg uncertainty principle. From the inverse logarithmic Sobolev inequalities[54]
(equivalently, from the fact that normal distributions maximize the entropy of all such with a given variance), it readily follows that this entropic uncertainty principle is stronger than the one based on standard deviations, because
In other words, the Heisenberg uncertainty principle, is a consequence of the quantum entropic uncertainty principle, but not vice versa. A few remarks on these inequalities. First, the choice of base e is a matter of popular convention in physics. The logarithm can alternatively be in any base, provided that it be consistent on both sides of the inequality. Second, recall the Shannon entropy has been used, not the quantum von Neumann entropy. Finally, the normal distribution saturates the inequality, and it is the only distribution with this property, because it is the maximum entropy probability distribution among those with fixed variance (cf. here for proof).
Entropic uncertainty of the normal distribution |
---|
We demonstrate this method on the ground state of the QHO, which as discussed above saturates the usual uncertainty based on standard deviations. The length scale can be set to whatever is convenient, so we assign The probability distribution is the normal distribution with Shannon entropy A completely analogous calculation proceeds for the momentum distribution. Choosing a standard momentum of : The entropic uncertainty is therefore the limiting value |
A measurement apparatus will have a finite resolution set by the discretization of its possible outputs into bins, with the probability of lying within one of the bins given by the Born rule. We will consider the most common experimental situation, in which the bins are of uniform size. Let δx be a measure of the spatial resolution. We take the zeroth bin to be centered near the origin, with possibly some small constant offset c. The probability of lying within the jth interval of width δx is
To account for this discretization, we can define the Shannon entropy of the wave function for a given measurement apparatus as
Under the above definition, the entropic uncertainty relation is
Here we note that δx δp/h is a typical infinitesimal phase space volume used in the calculation of a partition function. The inequality is also strict and not saturated. Efforts to improve this bound are an active area of research.
Normal distribution example |
---|
We demonstrate this method first on the ground state of the QHO, which as discussed above saturates the usual uncertainty based on standard deviations. The probability of lying within one of these bins can be expressed in terms of the error function. The momentum probabilities are completely analogous. For simplicity, we will set the resolutions to so that the probabilities reduce to The Shannon entropy can be evaluated numerically. The entropic uncertainty is indeed larger than the limiting value. Note that despite being in the optimal case, the inequality is not saturated. |
Sinc function example |
---|
An example of a unimodal distribution with infinite variance is the sinc function. If the wave function is the correctly normalized uniform distribution, then its Fourier transform is the sinc function, which yields infinite momentum variance despite having a centralized shape. The entropic uncertainty, on the other hand, is finite. Suppose for simplicity that the spatial resolution is just a two-bin measurement, δx = a, and that the momentum resolution is δp = h/a. Partitioning the uniform spatial distribution into two equal bins is straightforward. We set the offset c = 1/2 so that the two bins span the distribution. The bins for momentum must cover the entire real line. As done with the spatial distribution, we could apply an offset. It turns out, however, that the Shannon entropy is minimized when the zeroth bin for momentum is centered at the origin. (The reader is encouraged to try adding an offset.) The probability of lying within an arbitrary momentum bin can be expressed in terms of the sine integral. The Shannon entropy can be evaluated numerically. The entropic uncertainty is indeed larger than the limiting value. |
The Efimov inequality by Pauli matrices
In 1976, Sergei P. Efimov deduced an inequality that refines the Robertson relation by applying high-order commutators.[55] His approach is based on the Pauli matrices. Later V.V. Dodonov used the method to derive relations for several observables by using Clifford algebra.[56][57]
According to Jackiw,[25] the Robertson uncertainty is valid only when the commutator is C-number. The Efimov method is effective for variables that have commutators of high-order - for example for the kinetic energy operator and for coordinate one. Consider two operators and that have commutator :
To shorten formulas we use the operator deviations:
- ,
when new operators have the zero mean deviation. To use the Pauli matrices we can consider the operator:
where 2×2 spin matrices have commutators:
where antisymmetric symbol. They act in the spin space independently from . Pauli matrices define the Clifford algebra. We take arbitrary numbers in operator to be real.
Physical square of the operator is equal to:
where is adjoint operator and commutators and are following:
Operator is positive-definite, what is essential to get an inequality below . Taking average value of it over state , we get positive-definite matrix 2×2:
where used the notion:
and analogous one for operators . Regarding that coefficients are arbitrary in the equation, we get the positive-definite matrix 6×6. Sylvester's criterion says that its leading principal minors are non-negative. The Robertson uncertainty follows from minor of forth degree. To strengthen result we calculate determinant of sixth order:
The equality is observed only when the state is an eigenstate for the operator and likewise for the spin variables:
- .
Found relation we may apply to the kinetic energy operator and for operator of the coordinate :
In particular, equality in the formula is observed for the ground state of the oscillator, whereas the right-hand item of the Robertson uncertainty vanishes:
- .
Physical meaning of the relation is more clear if to divide it by the squared nonzero average impulse what yields:
where is squared effective time within which a particle moves near the mean trajectory (Mass of the particle is equal to 1).
The method can be applied for three noncommuting operators of angular momentum . We compile the operator:
We recall that the operators are auxiliary and there is no relation between the spin variables of the particle. In such way, their commutative properties are of importance only. Squared and averaged operator gives positive-definite matrix where we get following inequality from:
To develop method for a group of operators one may use the Clifford algebra instead of the Pauli matrices.[57]
Гармонический анализ
In the context of harmonic analysis, a branch of mathematics, the uncertainty principle implies that one cannot at the same time localize the value of a function and its Fourier transform. To wit, the following inequality holds,
Further mathematical uncertainty inequalities, including the above entropic uncertainty, hold between a function f and its Fourier transform ƒ̂:[58][59][60]
Signal processing
In the context of signal processing, and in particular time–frequency analysis, uncertainty principles are referred to as the Gabor limit, after Dennis Gabor, or sometimes the Heisenberg–Gabor limit. The basic result, which follows from "Benedicks's theorem", below, is that a function cannot be both time limited and band limited (a function and its Fourier transform cannot both have bounded domain)—see bandlimited versus timelimited. Thus
where and are the standard deviations of the time and frequency estimates respectively.[61]
Stated alternatively, "One cannot simultaneously sharply localize a signal (function f ) in both the time domain and frequency domain (ƒ̂, its Fourier transform)".
When applied to filters, the result implies that one cannot achieve high temporal resolution and frequency resolution at the same time; a concrete example are the resolution issues of the short-time Fourier transform—if one uses a wide window, one achieves good frequency resolution at the cost of temporal resolution, while a narrow window has the opposite trade-off.
Alternate theorems give more precise quantitative results, and, in time–frequency analysis, rather than interpreting the (1-dimensional) time and frequency domains separately, one instead interprets the limit as a lower limit on the support of a function in the (2-dimensional) time–frequency plane. In practice, the Gabor limit limits the simultaneous time–frequency resolution one can achieve without interference; it is possible to achieve higher resolution, but at the cost of different components of the signal interfering with each other.
As a result, in order to analyze signals where the transients are important, the wavelet transform is often used instead of the Fourier.
Discrete Fourier transform
Let be a sequence of N complex numbers and its discrete Fourier transform.
Denote by the number of non-zero elements in the time sequence and by the number of non-zero elements in the frequency sequence . Then,
This inequality is sharp, with equality achieved when x or X is a Dirac mass, or more generally when x is a nonzero multiple of a Dirac comb supported on a subgroup of the integers modulo N (in which case X is also a Dirac comb supported on a complementary subgroup, and vice versa).
More generally, if T and W are subsets of the integers modulo N, let denote the time-limiting operator and band-limiting operators, respectively. Then
where the norm is the operator norm of operators on the Hilbert space of functions on the integers modulo N. This inequality has implications for signal reconstruction.[62]
When N is a prime number, a stronger inequality holds:
Discovered by Terence Tao, this inequality is also sharp.[63]
Benedicks's theorem
Amrein–Berthier[64] and Benedicks's theorem[65] intuitively says that the set of points where f is non-zero and the set of points where ƒ̂ is non-zero cannot both be small.
Specifically, it is impossible for a function f in L2(R) and its Fourier transform ƒ̂ to both be supported on sets of finite Lebesgue measure. A more quantitative version is[66][67]
One expects that the factor CeC|S||Σ| may be replaced by CeC(|S||Σ|)1/d, which is only known if either S or Σ is convex.
Hardy's uncertainty principle
The mathematician G. H. Hardy formulated the following uncertainty principle:[68] it is not possible for f and ƒ̂ to both be "very rapidly decreasing". Specifically, if f in is such that
and
- ( an integer),
then, if ab > 1, f = 0, while if ab = 1, then there is a polynomial P of degree ≤ N such that
This was later improved as follows: if is such that
then
where P is a polynomial of degree (N − d)/2 and A is a real d×d positive definite matrix.
This result was stated in Beurling's complete works without proof and proved in Hörmander[69] (the case ) and Bonami, Demange, and Jaming[70] for the general case. Note that Hörmander–Beurling's version implies the case ab > 1 in Hardy's Theorem while the version by Bonami–Demange–Jaming covers the full strength of Hardy's Theorem. A different proof of Beurling's theorem based on Liouville's theorem appeared in ref.[71]
A full description of the case ab < 1 as well as the following extension to Schwartz class distributions appears in ref.[72]
Theorem. If a tempered distribution is such that
and
then
for some convenient polynomial P and real positive definite matrix A of type d × d.
История
Werner Heisenberg formulated the uncertainty principle at Niels Bohr's institute in Copenhagen, while working on the mathematical foundations of quantum mechanics.[73]
In 1925, following pioneering work with Hendrik Kramers, Heisenberg developed matrix mechanics, which replaced the ad hoc old quantum theory with modern quantum mechanics. The central premise was that the classical concept of motion does not fit at the quantum level, as electrons in an atom do not travel on sharply defined orbits. Rather, their motion is smeared out in a strange way: the Fourier transform of its time dependence only involves those frequencies that could be observed in the quantum jumps of their radiation.
Heisenberg's paper did not admit any unobservable quantities like the exact position of the electron in an orbit at any time; he only allowed the theorist to talk about the Fourier components of the motion. Since the Fourier components were not defined at the classical frequencies, they could not be used to construct an exact trajectory, so that the formalism could not answer certain overly precise questions about where the electron was or how fast it was going.
In March 1926, working in Bohr's institute, Heisenberg realized that the non-commutativity implies the uncertainty principle. This implication provided a clear physical interpretation for the non-commutativity, and it laid the foundation for what became known as the Copenhagen interpretation of quantum mechanics. Heisenberg showed that the commutation relation implies an uncertainty, or in Bohr's language a complementarity.[74] Any two variables that do not commute cannot be measured simultaneously—the more precisely one is known, the less precisely the other can be known. Heisenberg wrote:
It can be expressed in its simplest form as follows: One can never know with perfect accuracy both of those two important factors which determine the movement of one of the smallest particles—its position and its velocity. It is impossible to determine accurately both the position and the direction and speed of a particle at the same instant.[75]
In his celebrated 1927 paper, "Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik" ("On the Perceptual Content of Quantum Theoretical Kinematics and Mechanics"), Heisenberg established this expression as the minimum amount of unavoidable momentum disturbance caused by any position measurement,[2] but he did not give a precise definition for the uncertainties Δx and Δp. Instead, he gave some plausible estimates in each case separately. In his Chicago lecture[76] he refined his principle:
(1)
Kennard[3] in 1927 first proved the modern inequality:
(2)
where ħ = h/2π, and σx, σp are the standard deviations of position and momentum. Heisenberg only proved relation (2) for the special case of Gaussian states.[76]
Terminology and translation
Throughout the main body of his original 1927 paper, written in German, Heisenberg used the word "Ungenauigkeit" ("indeterminacy"),[2] to describe the basic theoretical principle. Only in the endnote did he switch to the word "Unsicherheit" ("uncertainty"). When the English-language version of Heisenberg's textbook, The Physical Principles of the Quantum Theory, was published in 1930, however, the translation "uncertainty" was used, and it became the more commonly used term in the English language thereafter.[77]
Heisenberg's microscope
The principle is quite counter-intuitive, so the early students of quantum theory had to be reassured that naive measurements to violate it were bound always to be unworkable. One way in which Heisenberg originally illustrated the intrinsic impossibility of violating the uncertainty principle is by utilizing the observer effect of an imaginary microscope as a measuring device.[76]
He imagines an experimenter trying to measure the position and momentum of an electron by shooting a photon at it.[78]:49–50
- Problem 1 – If the photon has a short wavelength, and therefore, a large momentum, the position can be measured accurately. But the photon scatters in a random direction, transferring a large and uncertain amount of momentum to the electron. If the photon has a long wavelength and low momentum, the collision does not disturb the electron's momentum very much, but the scattering will reveal its position only vaguely.
- Problem 2 – If a large aperture is used for the microscope, the electron's location can be well resolved (see Rayleigh criterion); but by the principle of conservation of momentum, the transverse momentum of the incoming photon affects the electron's beamline momentum and hence, the new momentum of the electron resolves poorly. If a small aperture is used, the accuracy of both resolutions is the other way around.
The combination of these trade-offs implies that no matter what photon wavelength and aperture size are used, the product of the uncertainty in measured position and measured momentum is greater than or equal to a lower limit, which is (up to a small numerical factor) equal to Planck's constant.[79] Heisenberg did not care to formulate the uncertainty principle as an exact limit, and preferred to use it instead, as a heuristic quantitative statement, correct up to small numerical factors, which makes the radically new noncommutativity of quantum mechanics inevitable.
Критические реакции
The Copenhagen interpretation of quantum mechanics and Heisenberg's Uncertainty Principle were, in fact, seen as twin targets by detractors who believed in an underlying determinism and realism. According to the Copenhagen interpretation of quantum mechanics, there is no fundamental reality that the quantum state describes, just a prescription for calculating experimental results. There is no way to say what the state of a system fundamentally is, only what the result of observations might be.
Albert Einstein believed that randomness is a reflection of our ignorance of some fundamental property of reality, while Niels Bohr believed that the probability distributions are fundamental and irreducible, and depend on which measurements we choose to perform. Einstein and Bohr debated the uncertainty principle for many years.
The ideal of the detached observer
Wolfgang Pauli called Einstein's fundamental objection to the uncertainty principle "the ideal of the detached observer" (phrase translated from the German):
"Like the moon has a definite position" Einstein said to me last winter, "whether or not we look at the moon, the same must also hold for the atomic objects, as there is no sharp distinction possible between these and macroscopic objects. Observation cannot create an element of reality like a position, there must be something contained in the complete description of physical reality which corresponds to the possibility of observing a position, already before the observation has been actually made." I hope, that I quoted Einstein correctly; it is always difficult to quote somebody out of memory with whom one does not agree. It is precisely this kind of postulate which I call the ideal of the detached observer.
- Letter from Pauli to Niels Bohr, February 15, 1955[80]
Einstein's slit
The first of Einstein's thought experiments challenging the uncertainty principle went as follows:
- Consider a particle passing through a slit of width d. The slit introduces an uncertainty in momentum of approximately h/d because the particle passes through the wall. But let us determine the momentum of the particle by measuring the recoil of the wall. In doing so, we find the momentum of the particle to arbitrary accuracy by conservation of momentum.
Bohr's response was that the wall is quantum mechanical as well, and that to measure the recoil to accuracy Δp, the momentum of the wall must be known to this accuracy before the particle passes through. This introduces an uncertainty in the position of the wall and therefore the position of the slit equal to h/Δp, and if the wall's momentum is known precisely enough to measure the recoil, the slit's position is uncertain enough to disallow a position measurement.
A similar analysis with particles diffracting through multiple slits is given by Richard Feynman.[81]
Einstein's box
Bohr was present when Einstein proposed the thought experiment which has become known as Einstein's box. Einstein argued that "Heisenberg's uncertainty equation implied that the uncertainty in time was related to the uncertainty in energy, the product of the two being related to Planck's constant."[82] Consider, he said, an ideal box, lined with mirrors so that it can contain light indefinitely. The box could be weighed before a clockwork mechanism opened an ideal shutter at a chosen instant to allow one single photon to escape. "We now know, explained Einstein, precisely the time at which the photon left the box."[83] "Now, weigh the box again. The change of mass tells the energy of the emitted light. In this manner, said Einstein, one could measure the energy emitted and the time it was released with any desired precision, in contradiction to the uncertainty principle."[82]
Bohr spent a sleepless night considering this argument, and eventually realized that it was flawed. He pointed out that if the box were to be weighed, say by a spring and a pointer on a scale, "since the box must move vertically with a change in its weight, there will be uncertainty in its vertical velocity and therefore an uncertainty in its height above the table. ... Furthermore, the uncertainty about the elevation above the Earth's surface will result in an uncertainty in the rate of the clock,"[84] because of Einstein's own theory of gravity's effect on time. "Through this chain of uncertainties, Bohr showed that Einstein's light box experiment could not simultaneously measure exactly both the energy of the photon and the time of its escape."[85]
EPR paradox for entangled particles
Bohr was compelled to modify his understanding of the uncertainty principle after another thought experiment by Einstein. In 1935, Einstein, Podolsky and Rosen (see EPR paradox) published an analysis of widely separated entangled particles. Measuring one particle, Einstein realized, would alter the probability distribution of the other, yet here the other particle could not possibly be disturbed. This example led Bohr to revise his understanding of the principle, concluding that the uncertainty was not caused by a direct interaction.[86]
But Einstein came to much more far-reaching conclusions from the same thought experiment. He believed the "natural basic assumption" that a complete description of reality would have to predict the results of experiments from "locally changing deterministic quantities" and therefore would have to include more information than the maximum possible allowed by the uncertainty principle.
In 1964, John Bell showed that this assumption can be falsified, since it would imply a certain inequality between the probabilities of different experiments. Experimental results confirm the predictions of quantum mechanics, ruling out Einstein's basic assumption that led him to the suggestion of his hidden variables. These hidden variables may be "hidden" because of an illusion that occurs during observations of objects that are too large or too small. This illusion can be likened to rotating fan blades that seem to pop in and out of existence at different locations and sometimes seem to be in the same place at the same time when observed. This same illusion manifests itself in the observation of subatomic particles. Both the fan blades and the subatomic particles are moving so fast that the illusion is seen by the observer. Therefore, it is possible that there would be predictability of the subatomic particles behavior and characteristics to a recording device capable of very high speed tracking....Ironically this fact is one of the best pieces of evidence supporting Karl Popper's philosophy of invalidation of a theory by falsification-experiments. That is to say, here Einstein's "basic assumption" became falsified by experiments based on Bell's inequalities. For the objections of Karl Popper to the Heisenberg inequality itself, see below.
While it is possible to assume that quantum mechanical predictions are due to nonlocal, hidden variables, and in fact David Bohm invented such a formulation, this resolution is not satisfactory to the vast majority of physicists. The question of whether a random outcome is predetermined by a nonlocal theory can be philosophical, and it can be potentially intractable. If the hidden variables were not constrained, they could just be a list of random digits that are used to produce the measurement outcomes. To make it sensible, the assumption of nonlocal hidden variables is sometimes augmented by a second assumption—that the size of the observable universe puts a limit on the computations that these variables can do. A nonlocal theory of this sort predicts that a quantum computer would encounter fundamental obstacles when attempting to factor numbers of approximately 10,000 digits or more; a potentially achievable task in quantum mechanics.[87][full citation needed]
Popper's criticism
Karl Popper approached the problem of indeterminacy as a logician and metaphysical realist.[88] He disagreed with the application of the uncertainty relations to individual particles rather than to ensembles of identically prepared particles, referring to them as "statistical scatter relations".[88][89] In this statistical interpretation, a particular measurement may be made to arbitrary precision without invalidating the quantum theory. This directly contrasts with the Copenhagen interpretation of quantum mechanics, which is non-deterministic but lacks local hidden variables.
In 1934, Popper published Zur Kritik der Ungenauigkeitsrelationen (Critique of the Uncertainty Relations) in Naturwissenschaften,[90] and in the same year Logik der Forschung (translated and updated by the author as The Logic of Scientific Discovery in 1959), outlining his arguments for the statistical interpretation. In 1982, he further developed his theory in Quantum theory and the schism in Physics, writing:
[Heisenberg's] formulae are, beyond all doubt, derivable statistical formulae of the quantum theory. But they have been habitually misinterpreted by those quantum theorists who said that these formulae can be interpreted as determining some upper limit to the precision of our measurements. [original emphasis][91]
Popper proposed an experiment to falsify the uncertainty relations, although he later withdrew his initial version after discussions with Weizsäcker, Heisenberg, and Einstein; this experiment may have influenced the formulation of the EPR experiment.[88][92]
Many-worlds uncertainty
The many-worlds interpretation originally outlined by Hugh Everett III in 1957 is partly meant to reconcile the differences between Einstein's and Bohr's views by replacing Bohr's wave function collapse with an ensemble of deterministic and independent universes whose distribution is governed by wave functions and the Schrödinger equation. Thus, uncertainty in the many-worlds interpretation follows from each observer within any universe having no knowledge of what goes on in the other universes.
Free will
Some scientists including Arthur Compton[93] and Martin Heisenberg[94] have suggested that the uncertainty principle, or at least the general probabilistic nature of quantum mechanics, could be evidence for the two-stage model of free will. One critique, however, is that apart from the basic role of quantum mechanics as a foundation for chemistry, nontrivial biological mechanisms requiring quantum mechanics are unlikely, due to the rapid decoherence time of quantum systems at room temperature.[95] Proponents of this theory commonly say that this decoherence is overcome by both screening and decoherence-free subspaces found in biological cells.[95]
Thermodynamics
There is reason to believe that violating the uncertainty principle also strongly implies the violation of the second law of thermodynamics.[96] See Gibbs paradox.
Смотрите также
- Afshar experiment
- Canonical commutation relation
- Correspondence principle
- Correspondence rules
- Gromov's non-squeezing theorem
- Discrete Fourier transform#Uncertainty principle
- Einstein's thought experiments
- Heisenbug
- Introduction to quantum mechanics
- Küpfmüller's uncertainty principle
- Operationalization
- Observer effect (information technology)
- Observer effect (physics)
- Quantum indeterminacy
- Quantum non-equilibrium
- Quantum tunnelling
- Physics and Beyond (book)
- Planck length
- Stronger uncertainty relations
- Weak measurement
Заметки
- ^ N.B. on precision: If and are the precisions of position and momentum obtained in an individual measurement and , their standard deviations in an ensemble of individual measurements on similarly prepared systems, then "There are, in principle, no restrictions on the precisions of individual measurements and , but the standard deviations will always satisfy ".[11]
- ^ Note 1 is in clear contradiction with the Section Systematic and statistical errors that states the existence of both statistical (Robertson) and systematic (Heisenberg) uncertainty relations. These uncertainties are simultaneously expressed in Ozawa's or in Fujikawa's universal inequalities.
Рекомендации
- ^ a b c Sen, D. (2014). "The Uncertainty relations in quantum mechanics" (PDF). Current Science. 107 (2): 203–218.
- ^ a b c Heisenberg, W. (1927), "Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik", Zeitschrift für Physik (in German), 43 (3–4): 172–198, Bibcode:1927ZPhy...43..172H, doi:10.1007/BF01397280, S2CID 122763326.. Annotated pre-publication proof sheet of Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, March 21, 1927.
- ^ a b c Kennard, E. H. (1927), "Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen", Zeitschrift für Physik (in German), 44 (4–5): 326–352, Bibcode:1927ZPhy...44..326K, doi:10.1007/BF01391200, S2CID 121626384.
- ^ Weyl, H. (1928), Gruppentheorie und Quantenmechanik, Leipzig: Hirzel
- ^ Furuta, Aya (2012), "One Thing Is Certain: Heisenberg's Uncertainty Principle Is Not Dead", Scientific American
- ^ a b Ozawa, Masanao (2003), "Universally valid reformulation of the Heisenberg uncertainty principle on noise and disturbance in measurement", Physical Review A, 67 (4): 42105, arXiv:quant-ph/0207121, Bibcode:2003PhRvA..67d2105O, doi:10.1103/PhysRevA.67.042105, S2CID 42012188
- ^ Werner Heisenberg, The Physical Principles of the Quantum Theory, p. 20
- ^ a b Rozema, L. A.; Darabi, A.; Mahler, D. H.; Hayat, A.; Soudagar, Y.; Steinberg, A. M. (2012). "Violation of Heisenberg's Measurement–Disturbance Relationship by Weak Measurements". Physical Review Letters. 109 (10): 100404. arXiv:1208.0034v2. Bibcode:2012PhRvL.109j0404R. doi:10.1103/PhysRevLett.109.100404. PMID 23005268. S2CID 37576344.
- ^ Indian Institute of Technology Madras, Professor V. Balakrishnan, Lecture 1 – Introduction to Quantum Physics; Heisenberg's uncertainty principle, National Programme of Technology Enhanced Learning on YouTube
- ^ a b c d L.D. Landau, E. M. Lifshitz (1977). Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory. Vol. 3 (3rd ed.). Pergamon Press. ISBN 978-0-08-020940-1.
|volume=
has extra text (help) Online copy. - ^ Section 3.2 of Ballentine, Leslie E. (1970), "The Statistical Interpretation of Quantum Mechanics", Reviews of Modern Physics, 42 (4): 358–381, Bibcode:1970RvMP...42..358B, doi:10.1103/RevModPhys.42.358. This fact is experimentally well-known for example in quantum optics (see e.g. chap. 2 and Fig. 2.1 Leonhardt, Ulf (1997), Measuring the Quantum State of Light, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-49730-2
- ^ Elion, W. J.; Matters, M.; Geigenmüller, U.; Mooij, J. E. (1994), "Direct demonstration of Heisenberg's uncertainty principle in a superconductor", Nature, 371 (6498): 594–595, Bibcode:1994Natur.371..594E, doi:10.1038/371594a0, S2CID 4240085
- ^ Smithey, D. T.; M. Beck, J. Cooper, M. G. Raymer; Cooper, J.; Raymer, M. G. (1993), "Measurement of number–phase uncertainty relations of optical fields", Phys. Rev. A, 48 (4): 3159–3167, Bibcode:1993PhRvA..48.3159S, doi:10.1103/PhysRevA.48.3159, PMID 9909968CS1 maint: multiple names: authors list (link)
- ^ Caves, Carlton (1981), "Quantum-mechanical noise in an interferometer", Phys. Rev. D, 23 (8): 1693–1708, Bibcode:1981PhRvD..23.1693C, doi:10.1103/PhysRevD.23.1693
- ^ Jaeger, Gregg (September 2014). "What in the (quantum) world is macroscopic?". American Journal of Physics. 82 (9): 896–905. Bibcode:2014AmJPh..82..896J. doi:10.1119/1.4878358.
- ^ Claude Cohen-Tannoudji; Bernard Diu; Franck Laloë (1996), Quantum mechanics, Wiley-Interscience: Wiley, pp. 231–233, ISBN 978-0-471-56952-7
- ^ Giovannetti, V.; Lloyd, S.; Maccone, L. (2011). "Advances in quantum metrology". Nature Photonics. 5 (4): 222. arXiv:1102.2318. Bibcode:2011NaPho...5..222G. doi:10.1038/nphoton.2011.35. S2CID 12591819.; arXiv
- ^ Luis, Alfredo (2017-03-13). "Breaking the weak Heisenberg limit". Physical Review A. 95 (3): 032113. arXiv:1607.07668. Bibcode:2017PhRvA..95c2113L. doi:10.1103/PhysRevA.95.032113. ISSN 2469-9926. S2CID 55838380.
- ^ a b Robertson, H. P. (1929), "The Uncertainty Principle", Phys. Rev., 34 (1): 163–64, Bibcode:1929PhRv...34..163R, doi:10.1103/PhysRev.34.163
- ^ a b Schrödinger, E. (1930), "Zum Heisenbergschen Unschärfeprinzip", Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathematische Klasse, 14: 296–303
- ^ a b Griffiths, David (2005), Quantum Mechanics, New Jersey: Pearson
- ^ Riley, K. F.; M. P. Hobson and S. J. Bence (2006), Mathematical Methods for Physics and Engineering, Cambridge, p. 246
- ^ Davidson, E. R. (1965), "On Derivations of the Uncertainty Principle", J. Chem. Phys., 42 (4): 1461–1462, Bibcode:1965JChPh..42.1461D, doi:10.1063/1.1696139
- ^ a b c Hall, B. C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Springer, p. 245
- ^ a b Jackiw, Roman (1968), "Minimum Uncertainty Product, Number‐Phase Uncertainty Product, and Coherent States", J. Math. Phys., 9 (3): 339–346, Bibcode:1968JMP.....9..339J, doi:10.1063/1.1664585
- ^ a b Carruthers, P.; Nieto, M. M. (1968), "Phase and Angle Variables in Quantum Mechanics", Rev. Mod. Phys., 40 (2): 411–440, Bibcode:1968RvMP...40..411C, doi:10.1103/RevModPhys.40.411
- ^ Hall, B. C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Springer
- ^ Maccone, Lorenzo; Pati, Arun K. (31 December 2014). "Stronger Uncertainty Relations for All Incompatible Observables". Physical Review Letters. 113 (26): 260401. arXiv:1407.0338. Bibcode:2014PhRvL.113z0401M. doi:10.1103/PhysRevLett.113.260401. PMID 25615288.
- ^ Huang, Yichen (10 August 2012). "Variance-based uncertainty relations". Physical Review A. 86 (2): 024101. arXiv:1012.3105. Bibcode:2012PhRvA..86b4101H. doi:10.1103/PhysRevA.86.024101. S2CID 118507388.
- ^ Curtright, T.; Zachos, C. (2001). "Negative Probability and Uncertainty Relations". Modern Physics Letters A. 16 (37): 2381–2385. arXiv:hep-th/0105226. Bibcode:2001MPLA...16.2381C. doi:10.1142/S021773230100576X. S2CID 119669313.
- ^ L. I. Mandelshtam, I. E. Tamm, The uncertainty relation between energy and time in nonrelativistic quantum mechanics, 1945.
- ^ Hilgevoord, Jan (1996). "The uncertainty principle for energy and time" (PDF). American Journal of Physics. 64 (12): 1451–1456. Bibcode:1996AmJPh..64.1451H. doi:10.1119/1.18410.; Hilgevoord, Jan (1998). "The uncertainty principle for energy and time. II". American Journal of Physics. 66 (5): 396–402. Bibcode:1998AmJPh..66..396H. doi:10.1119/1.18880.; Busch, P. (1990). "On the energy-time uncertainty relation. Part I: Dynamical time and time indeterminacy", Foundations of physics 20(1), 1-32; Busch, P. (1990), "On the energy-time uncertainty relation. Part II: Pragmatic time versus energy indeterminacy". Foundations of Physics 20(1), 33-43.
- ^ The broad linewidth of fast-decaying states makes it difficult to accurately measure the energy of the state, and researchers have even used detuned microwave cavities to slow down the decay rate, to get sharper peaks. Gabrielse, Gerald; H. Dehmelt (1985), "Observation of Inhibited Spontaneous Emission", Physical Review Letters, 55 (1): 67–70, Bibcode:1985PhRvL..55...67G, doi:10.1103/PhysRevLett.55.67, PMID 10031682
- ^ Likharev, K. K.; A. B. Zorin (1985), "Theory of Bloch-Wave Oscillations in Small Josephson Junctions", J. Low Temp. Phys., 59 (3/4): 347–382, Bibcode:1985JLTP...59..347L, doi:10.1007/BF00683782, S2CID 120813342
- ^ Anderson, P. W. (1964), "Special Effects in Superconductivity", in Caianiello, E. R. (ed.), Lectures on the Many-Body Problem, Vol. 2, New York: Academic Press
- ^ More precisely, whenever both and are defined, and the space of such is a dense subspace of the quantum Hilbert space. See Hall, B. C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Springer, p. 245
- ^ Hall, B. C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Springer, p. 285
- ^ Hall, B. C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Springer, p. 246
- ^ Busch, P.; Lahti, P.; Werner, R. F. (2013). "Proof of Heisenberg's Error-Disturbance Relation". Physical Review Letters. 111 (16): 160405. arXiv:1306.1565. Bibcode:2013PhRvL.111p0405B. doi:10.1103/PhysRevLett.111.160405. PMID 24182239. S2CID 24507489.
- ^ Busch, P.; Lahti, P.; Werner, R. F. (2014). "Heisenberg uncertainty for qubit measurements". Physical Review A. 89 (1): 012129. arXiv:1311.0837. Bibcode:2014PhRvA..89a2129B. doi:10.1103/PhysRevA.89.012129. S2CID 118383022.
- ^ Erhart, J.; Sponar, S.; Sulyok, G.; Badurek, G.; Ozawa, M.; Hasegawa, Y. (2012). "Experimental demonstration of a universally valid error-disturbance uncertainty relation in spin measurements". Nature Physics. 8 (3): 185–189. arXiv:1201.1833. Bibcode:2012NatPh...8..185E. doi:10.1038/nphys2194. S2CID 117270618.
- ^ Baek, S.-Y.; Kaneda, F.; Ozawa, M.; Edamatsu, K. (2013). "Experimental violation and reformulation of the Heisenberg's error-disturbance uncertainty relation". Scientific Reports. 3: 2221. Bibcode:2013NatSR...3E2221B. doi:10.1038/srep02221. PMC 3713528. PMID 23860715.
- ^ Ringbauer, M.; Biggerstaff, D.N.; Broome, M.A.; Fedrizzi, A.; Branciard, C.; White, A.G. (2014). "Experimental Joint Quantum Measurements with Minimum Uncertainty". Physical Review Letters. 112 (2): 020401. arXiv:1308.5688. Bibcode:2014PhRvL.112b0401R. doi:10.1103/PhysRevLett.112.020401. PMID 24483993. S2CID 18730255.
- ^ Björk, G.; Söderholm, J.; Trifonov, A.; Tsegaye, T.; Karlsson, A. (1999). "Complementarity and the uncertainty relations". Physical Review. A60 (3): 1878. arXiv:quant-ph/9904069. Bibcode:1999PhRvA..60.1874B. doi:10.1103/PhysRevA.60.1874. S2CID 27371899.
- ^ Fujikawa, Kazuo (2012). "Universally valid Heisenberg uncertainty relation". Physical Review A. 85 (6): 062117. arXiv:1205.1360. Bibcode:2012PhRvA..85f2117F. doi:10.1103/PhysRevA.85.062117. S2CID 119640759.
- ^ Judge, D. (1964), "On the uncertainty relation for angle variables", Il Nuovo Cimento, 31 (2): 332–340, Bibcode:1964NCim...31..332J, doi:10.1007/BF02733639, S2CID 120553526
- ^ Bouten, M.; Maene, N.; Van Leuven, P. (1965), "On an uncertainty relation for angle variables", Il Nuovo Cimento, 37 (3): 1119–1125, Bibcode:1965NCim...37.1119B, doi:10.1007/BF02773197, S2CID 122838645
- ^ Louisell, W. H. (1963), "Amplitude and phase uncertainty relations", Physics Letters, 7 (1): 60–61, Bibcode:1963PhL.....7...60L, doi:10.1016/0031-9163(63)90442-6
- ^ DeWitt, B. S.; Graham, N. (1973), The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics, Princeton: Princeton University Press, pp. 52–53, ISBN 0-691-08126-3
- ^ Hirschman, I. I., Jr. (1957), "A note on entropy", American Journal of Mathematics, 79 (1): 152–156, doi:10.2307/2372390, JSTOR 2372390.
- ^ Beckner, W. (1975), "Inequalities in Fourier analysis", Annals of Mathematics, 102 (6): 159–182, doi:10.2307/1970980, JSTOR 1970980, PMC 432369, PMID 16592223.
- ^ Bialynicki-Birula, I.; Mycielski, J. (1975), "Uncertainty Relations for Information Entropy in Wave Mechanics", Communications in Mathematical Physics, 44 (2): 129–132, Bibcode:1975CMaPh..44..129B, doi:10.1007/BF01608825, S2CID 122277352
- ^ Huang, Yichen (24 May 2011). "Entropic uncertainty relations in multidimensional position and momentum spaces". Physical Review A. 83 (5): 052124. arXiv:1101.2944. Bibcode:2011PhRvA..83e2124H. doi:10.1103/PhysRevA.83.052124. S2CID 119243096.
- ^ Chafaï, D. (2003), "Gaussian maximum of entropy and reversed log-Sobolev inequality", Séminaire de Probabilités XXXVI, Lecture Notes in Mathematics, 1801, pp. 194–200, arXiv:math/0102227, doi:10.1007/978-3-540-36107-7_5, ISBN 978-3-540-00072-3, S2CID 17795603
- ^ Efimov, Sergei P. (1976). "Mathematical Formulation of Indeterminacy Relations". Russian Physics Journal. 19 (3): 95–99. Bibcode:1976SvPhJ..19..340E. doi:10.1007/BF00945688. S2CID 121735555.
- ^ Dodonov, V.V. (2019). "Uncertainty relations for several observables via the Clifford algebras". Journal of Physics: Conference Series. 1194 012028 (1): 012028. Bibcode:2019JPhCS1194a2028D. doi:10.1088/1742-6596/1194/1/012028.
- ^ a b Dodonov, V. V. (2018). "Variance uncertainty relations without covariances for three and four observables". Physical Review A. 37 (2): 022105. arXiv:1711.04037. Bibcode:2018PhRvA..97b2105D. doi:10.1103/PhysRevA.97.022105. S2CID 119510331.
- ^ Havin, V.; Jöricke, B. (1994), The Uncertainty Principle in Harmonic Analysis, Springer-Verlag
- ^ Folland, Gerald; Sitaram, Alladi (May 1997), "The Uncertainty Principle: A Mathematical Survey", Journal of Fourier Analysis and Applications, 3 (3): 207–238, doi:10.1007/BF02649110, MR 1448337, S2CID 121355943
- ^ Sitaram, A (2001) [1994], "Uncertainty principle, mathematical", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
- ^ Matt Hall, "What is the Gabor uncertainty principle?"
- ^ Donoho, D.L.; Stark, P.B (1989). "Uncertainty principles and signal recovery". SIAM Journal on Applied Mathematics. 49 (3): 906–931. doi:10.1137/0149053.
- ^ Terence Tao (2005), "An uncertainty principle for cyclic groups of prime order", Mathematical Research Letters, 12 (1): 121–127
- ^ Amrein, W.O.; Berthier, A.M. (1977), "On support properties of Lp-functions and their Fourier transforms", Journal of Functional Analysis, 24 (3): 258–267, doi:10.1016/0022-1236(77)90056-8.
- ^ Benedicks, M. (1985), "On Fourier transforms of functions supported on sets of finite Lebesgue measure", J. Math. Anal. Appl., 106 (1): 180–183, doi:10.1016/0022-247X(85)90140-4
- ^ Nazarov, F. (1994), "Local estimates for exponential polynomials and their applications to inequalities of the uncertainty principle type", St. Petersburg Math. J., 5: 663–717
- ^ Jaming, Ph. (2007), "Nazarov's uncertainty principles in higher dimension", J. Approx. Theory, 149 (1): 30–41, arXiv:math/0612367, doi:10.1016/j.jat.2007.04.005, S2CID 9794547
- ^ Hardy, G.H. (1933), "A theorem concerning Fourier transforms", Journal of the London Mathematical Society, 8 (3): 227–231, doi:10.1112/jlms/s1-8.3.227
- ^ Hörmander, L. (1991), "A uniqueness theorem of Beurling for Fourier transform pairs", Ark. Mat., 29 (1–2): 231–240, Bibcode:1991ArM....29..237H, doi:10.1007/BF02384339, S2CID 121375111
- ^ Bonami, A.; Demange, B.; Jaming, Ph. (2003), "Hermite functions and uncertainty principles for the Fourier and the windowed Fourier transforms", Rev. Mat. Iberoamericana, 19: 23–55, arXiv:math/0102111, Bibcode:2001math......2111B, doi:10.4171/RMI/337, S2CID 1211391
- ^ Hedenmalm, H. (2012), "Heisenberg's uncertainty principle in the sense of Beurling", J. Anal. Math., 118 (2): 691–702, arXiv:1203.5222, Bibcode:2012arXiv1203.5222H, doi:10.1007/s11854-012-0048-9, S2CID 54533890
- ^ Demange, Bruno (2009), Uncertainty Principles Associated to Non-degenerate Quadratic Forms, Société Mathématique de France, ISBN 978-2-85629-297-6
- ^ "Heisenberg / Uncertainty online exhibit". American Institute of Physics, Center for History of Physics. Retrieved 2019-10-16.
- ^ Bohr, Niels; Noll, Waldemar (1958), "Atomic Physics and Human Knowledge", American Journal of Physics, New York: Wiley, 26 (8): 38, Bibcode:1958AmJPh..26..596B, doi:10.1119/1.1934707
- ^ Heisenberg, W., Die Physik der Atomkerne, Taylor & Francis, 1952, p. 30.
- ^ a b c Heisenberg, W. (1930), Physikalische Prinzipien der Quantentheorie (in German), Leipzig: Hirzel English translation The Physical Principles of Quantum Theory. Chicago: University of Chicago Press, 1930.
- ^ Cassidy, David; Saperstein, Alvin M. (2009), "Beyond Uncertainty: Heisenberg, Quantum Physics, and the Bomb", Physics Today, New York: Bellevue Literary Press, 63 (1): 185, Bibcode:2010PhT....63a..49C, doi:10.1063/1.3293416
- ^ George Greenstein; Arthur Zajonc (2006). The Quantum Challenge: Modern Research on the Foundations of Quantum Mechanics. Jones & Bartlett Learning. ISBN 978-0-7637-2470-2.
- ^ Tipler, Paul A.; Llewellyn, Ralph A. (1999), "5–5", Modern Physics (3rd ed.), W. H. Freeman and Co., ISBN 1-57259-164-1
- ^ Enz, Charles P.; Meyenn, Karl von, eds. (1994). Writings on physics and philosophy by Wolfgang Pauli. Springer-Verlag. p. 43. ISBN 3-540-56859-X; translated by Robert SchlappCS1 maint: postscript (link)
- ^ Feynman lectures on Physics, vol 3, 2–2
- ^ a b Gamow, G., The great physicists from Galileo to Einstein, Courier Dover, 1988, p.260.
- ^ Kumar, M., Quantum: Einstein, Bohr and the Great Debate About the Nature of Reality, Icon, 2009, p. 282.
- ^ Gamow, G., The great physicists from Galileo to Einstein, Courier Dover, 1988, p. 260–261.
- ^ Kumar, M., Quantum: Einstein, Bohr and the Great Debate About the Nature of Reality, Icon, 2009, p. 287.
- ^ Isaacson, Walter (2007), Einstein: His Life and Universe, New York: Simon & Schuster, p. 452, ISBN 978-0-7432-6473-0
- ^ Gerardus 't Hooft has at times advocated this point of view.
- ^ a b c Popper, Karl (1959), The Logic of Scientific Discovery, Hutchinson & Co.
- ^ Jarvie, Ian Charles; Milford, Karl; Miller, David W (2006), Karl Popper: a centenary assessment, 3, Ashgate Publishing, ISBN 978-0-7546-5712-5
- ^ Popper, Karl; Carl Friedrich von Weizsäcker (1934), "Zur Kritik der Ungenauigkeitsrelationen (Critique of the Uncertainty Relations)", Naturwissenschaften, 22 (48): 807–808, Bibcode:1934NW.....22..807P, doi:10.1007/BF01496543, S2CID 40843068.
- ^ Popper, K. Quantum theory and the schism in Physics, Unwin Hyman Ltd, 1982, pp. 53–54.
- ^ Mehra, Jagdish; Rechenberg, Helmut (2001), The Historical Development of Quantum Theory, Springer, ISBN 978-0-387-95086-0
- ^ Compton, A. H. (1931). "The Uncertainty Principle and Free Will". Science. 74 (1911): 172. Bibcode:1931Sci....74..172C. doi:10.1126/science.74.1911.172. PMID 17808216.
- ^ Heisenberg, M. (2009). "Is free will an illusion?". Nature. 459 (7244): 164–165. Bibcode:2009Natur.459..164H. doi:10.1038/459164a. PMID 19444190. S2CID 4420023.
- ^ a b Davies, P. C. W. (2004). "Does quantum mechanics play a non-trivial role in life?". Biosystems. 78 (1–3): 69–79. doi:10.1016/j.biosystems.2004.07.001. PMID 15555759.
- ^ Hänggi, Esther; Wehner, Stephanie (2013). "A violation of the uncertainty principle implies a violation of the second law of thermodynamics". Nature Communications. 4: 1670. arXiv:1205.6894. Bibcode:2013NatCo...4.1670H. doi:10.1038/ncomms2665. PMID 23575674. S2CID 205316392.
Внешние ссылки
- "Uncertainty principle", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- Matter as a Wave – a chapter from an online textbook
- Quantum mechanics: Myths and facts
- Stanford Encyclopedia of Philosophy entry
- Fourier Transforms and Uncertainty at MathPages
- aip.org: Quantum mechanics 1925–1927 – The uncertainty principle
- Eric Weisstein's World of Physics – Uncertainty principle
- John Baez on the time–energy uncertainty relation
- The certainty principle
- Common Interpretation of Heisenberg's Uncertainty Principle Is Proved False