Бесчисленное множество

В математике , бесчисленное множество (или несчетное бесконечное множество ) ^[1] представляет собой бесконечное множество , что содержит слишком много элементов , чтобы быть счетно . Несчетность набора тесно связана с его кардинальным числом : набор несчетным, если его кардинальное число больше, чем у набора всех натуральных чисел .

Характеристики [ править ]

Есть много эквивалентных характеристик бесчисленного количества. Множество X несчетно тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:

• Не существует инъективной функции (следовательно, нет биекции ) от X к множеству натуральных чисел.
• X непусто, и для любой ω- последовательности элементов X существует хотя бы один элемент X, не входящий в нее. То есть, X непусто и нет Сюръекции из натуральных чисел в X .
• Мощность из X не является ни конечной , ни равняться ( алеф-нуль , мощность из натуральных чисел ).${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$
• Множество X имеет мощность строго больше, чем .${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

Первые три из этих характеризаций могут быть доказаны эквивалентными в теории множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора , но эквивалентность третьей и четвертой не может быть доказана без дополнительных принципов выбора.

Свойства [ править ]

• Если несчетное множество X является подмножеством множества Y , то Y неисчислимо.

Примеры [ править ]

Самый известный пример несчетного множества - это множество R всех действительных чисел ; Диагональный аргумент Кантора показывает, что это множество неисчислимо. Техник диагонализация доказательства также может быть использован , чтобы показать , что некоторые другие наборы несчетные, такие как множество всех бесконечных последовательностей из натуральных чисел и множество всех подмножеств множества натуральных чисел. Мощность R часто называется мощностью континуума и обозначается как , ^[2] или , или ( beth-one ).${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$${\ displaystyle \ beth _ {1}}$

Множество Кантора несчетное подмножество R . Множество Кантора является фракталом и имеет размерность Хаусдорфа больше нуля, но меньше единицы ( R имеет размерность один). Это пример следующего факта: любое подмножество R размерности Хаусдорфа строго больше нуля должно быть несчетным.

Другим примером бесчисленного множества является множество всех функций из R в R . Этот набор даже «более несчетный», чем R в том смысле, что мощность этого набора ( beth-two ) больше, чем .${\ displaystyle \ beth _ {2}}$${\ displaystyle \ beth _ {1}}$

Более абстрактный пример несчетного множества - это множество всех счетных порядковых чисел , обозначаемых Ω или ω ₁ . ^[1] Обозначим мощность множества Ω ( алеф-единица ). Используя аксиому выбора , можно показать, что это наименьшее несчетное кардинальное число. Таким образом , мощность действительных чисел либо равна, либо строго больше. Георг Кантор был первым, кто поставил вопрос, равно ли . В 1900 году Дэвид Гильберт поставил этот вопрос как первую из своих 23 проблем . Заявление о том, что${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$${\ displaystyle \ beth _ {1}}$${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$${\ displaystyle \ beth _ {1}}$${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$${\ displaystyle \ aleph _ {1} = \ beth _ {1}}$теперь называется гипотезой континуума и, как известно, не зависит от аксиом Цермело – Френкеля для теории множеств (включая аксиому выбора ).

Без аксиомы выбора [ править ]

Без аксиомы выбора могли бы существовать мощности, несравнимые с (а именно, мощности дедекиндово-конечных бесконечных множеств). Наборы этих мощностей удовлетворяют первым трем указанным выше характеристикам, но не четвертой характеристике. Поскольку эти множества не больше натуральных чисел в смысле мощности, некоторые могут не захотеть называть их несчетными.${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

Если выбрана аксиома, следующие условия на кардинал эквивалентны:${\ displaystyle \ kappa}$

• ${\ Displaystyle \ каппа \ nleq \ алеф _ {0};}$
• ${\ displaystyle \ kappa> \ aleph _ {0};}$ и
• ${\ Displaystyle \ каппа \ geq \ алеф _ {1}}$, где и - наименьший начальный порядковый номер больше${\ displaystyle \ aleph _ {1} = | \ omega _ {1} |}$${\ displaystyle \ omega _ {1}}$${\ displaystyle \ omega.}$

Однако все они могут быть разными, если аксиома выбора не работает. Так что не очевидно, какое из них является подходящим обобщением «несчетности», когда аксиома не работает. Возможно, в этом случае лучше не использовать это слово и указать, какое из них означает.

См. Также [ править ]

• Число Алеф
• Число Бет
• Первый несчетный порядковый номер
• Инъективная функция

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Халмос, Пол , Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostrand Company, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag). Перепечатано Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (издание в мягкой обложке).  
• Jech, Thomas (2002), Теория множеств , Монографии Springer по математике (изд. 3-го тысячелетия), Springer, ISBN 3-540-44085-2

Внешние ссылки [ править ]

• Доказательство несчетности R