Единичный вектор

В математике , А единичный вектор в нормированном векторном пространстве является вектор (часто пространственный вектор ) от длины единичного вектора 1. А часто обозначается строчной буквой с диакритическим , или «шапкой», как и в (произносится «в- шляпа"). ^{[1] [2]}${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {v}}}}$

Термин « вектор направления» используется для описания единичного вектора, используемого для представления пространственного направления, и такие величины обычно обозначаются как d ; Представленные таким образом двумерные пространственные направления численно эквивалентны точкам на единичной окружности . Та же конструкция используется для указания пространственных направлений в 3D, которые эквивалентны точке на единичной сфере .

Примеры двух двумерных векторов направления

Примеры двух трехмерных векторов направления

Нормализуется вектор и из ненулевого вектора U представляет собой единичный вектор в направлении U , т.е.

${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {u}} = {\ frac {\ mathbf {u}} {| \ mathbf {u} |}}}$

где | u | - норма (или длина) u . ^{[3] [4]} Термин « нормализованный вектор» иногда используется как синоним единичного вектора .

Единичные векторы часто выбираются для формирования основы векторного пространства, и каждый вектор в пространстве может быть записан как линейная комбинация единичных векторов.

По определению, скалярное произведение двух единичных векторов в евклидовом пространстве является скалярным значением, равным косинусу меньшего приложенного угла. В трехмерном евклидовом пространстве перекрестное произведение двух произвольных единичных векторов является третьим вектором, ортогональным им обоим, длина которого равна синусу меньшего приложенного угла. Нормализованное перекрестное произведение корректирует эту изменяющуюся длину и дает взаимно ортогональный единичный вектор для двух входов, применяя правило правой руки для разрешения одного из двух возможных направлений.

Ортогональные координаты [ править ]

Декартовы координаты [ править ]

Единичные векторы могут использоваться для представления осей декартовой системы координат . Например, стандартные единичные векторы в направлении осей x , y и z трехмерной декартовой системы координат равны

${\displaystyle \mathbf {\hat {i}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {j}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {k}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

Они образуют набор взаимно ортогональных единичных векторов, обычно называемых стандартным базисом в линейной алгебре .

Они часто обозначаются с использованием общей векторной записи (например, i или ), а не стандартной записи единичного вектора (например, ). В большинстве случаев можно предположить, что i , j и k (или и ) являются версорами трехмерной декартовой системы координат. Обозначения , , , или , с или без шляпы , также используются, ^[3] , особенно в условиях , когда я , J , K может привести к путанице с другим количеством (например , с индексом символов , таких как я , J ,${\displaystyle {\vec {\imath }}}$${\displaystyle \mathbf {\hat {\imath }} }$${\displaystyle {\vec {\imath }},}$ ${\displaystyle {\vec {\jmath }},}$${\displaystyle {\vec {k}}}$${\displaystyle (\mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} )}$${\displaystyle (\mathbf {\hat {x}} _{1},\mathbf {\hat {x}} _{2},\mathbf {\hat {x}} _{3})}$${\displaystyle (\mathbf {\hat {e}} _{x},\mathbf {\hat {e}} _{y},\mathbf {\hat {e}} _{z})}$${\displaystyle (\mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3})}$k , которые используются для идентификации элемента набора, массива или последовательности переменных).

Когда единичный вектор в пространстве выражается в декартовой системе счисления как линейная комбинация i , j , k , его три скалярных компонента можно назвать направляющими косинусами . Значение каждого компонента равно косинусу угла, образованного единичным вектором - с соответствующим базисным вектором. Это один из методов, используемых для описания ориентации (углового положения) прямой линии, сегмента прямой, ориентированной оси или сегмента ориентированной оси ( вектора ).

Цилиндрические координаты [ править ]

Три ортогональных единичных вектора, соответствующих цилиндрической симметрии:

• ${\displaystyle \mathbf {\hat {\rho }} }$(также обозначается или ), обозначающее направление, вдоль которого измеряется расстояние точки от оси симметрии;${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {s}}}}$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$, представляющий направление движения, которое наблюдалось бы, если бы точка вращалась против часовой стрелки вокруг оси симметрии ;
• ${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$, представляющий направление оси симметрии;

Они связаны с декартовой основой , , по:${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle {\hat {y}}}$${\displaystyle {\hat {z}}}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {\rho }} }$ знак равно ${\displaystyle \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$ знак равно ${\displaystyle -\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}} }$

${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} =\mathbf {\hat {z}} .}$

Важно отметить, что и являются функциями , а не постоянными по направлению. При дифференцировании или интегрировании в цилиндрических координатах необходимо также оперировать этими единичными векторами. Производные по :${\displaystyle \mathbf {\hat {\rho }} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {\rho }} }{\partial \varphi }}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}} ={\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-\mathbf {\hat {\rho }} }$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {z}} }{\partial \varphi }}=\mathbf {0} .}$

Сферические координаты [ править ]

Единичные векторы, соответствующие сферической симметрии, следующие:, направление, в котором увеличивается радиальное расстояние от начала координат; , направление, в котором угол в плоскости x - y против часовой стрелки от положительной оси x увеличивается; и направление, в котором увеличивается угол от положительной оси z . Чтобы свести к минимуму избыточность представлений, полярный угол обычно принимается равным от нуля до 180 градусов. Особенно важно отметить контекст любого упорядоченного триплета, записанного в сферических координатах , поскольку роли и часто меняются местами. Здесь американская "физическая" конвенция ^[5]${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}$используется. Это оставляет азимутальный угол таким же, как и в цилиндрических координатах. В декартовых отношения:${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} +\cos \theta \mathbf {\hat {z}} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}} }$

Сферические единичные векторы зависят от обоих и , следовательно, существует 5 возможных ненулевых производных. Для более полного описания см. Матрица Якоби и определитель . Ненулевые производные:${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \varphi }}=-\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \theta }}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}} ={\boldsymbol {\hat {\theta }}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \theta }}=-\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\cos \theta \mathbf {\hat {z}} =-\mathbf {\hat {r}} }$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-\sin \theta \mathbf {\hat {r}} -\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}$

Общие единичные векторы [ править ]

Общие темы единичных векторов встречаются в физике и геометрии : ^[6]

Единичный вектор	Номенклатура	Диаграмма
Касательный вектор к кривой / линии потока	${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} }$	Вектор нормали к плоскости, содержащий и определяемый вектором радиального положения и угловым тангенциальным направлением вращения , необходим, чтобы выполнялись векторные уравнения углового движения.${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$${\displaystyle r\mathbf {\hat {r}} }$${\displaystyle \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}$
Нормально к касательной плоскости / плоскости поверхности, содержащей компонент радиального положения и угловой тангенциальный компонент	${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ В полярных координатах ;${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {r}} \times {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}$
Бинормальный вектор к касательной и нормали	${\displaystyle \mathbf {\hat {b}} =\mathbf {\hat {t}} \times \mathbf {\hat {n}} }$[7]
Параллельно какой-то оси / линии	${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{\parallel }}$	Один единичный вектор выровнен параллельно главному направлению (красная линия), а перпендикулярный единичный вектор находится в любом радиальном направлении относительно главной линии.${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{\parallel }}$${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{\bot }}$
Перпендикулярно некоторой оси / линии в некотором радиальном направлении	${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{\bot }}$
Возможное угловое отклонение относительно некоторой оси / линии	${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{\angle }}$	Единичный вектор при остром угле отклонения φ (включая 0 или π / 2 рад) относительно главного направления.

Криволинейные координаты [ править ]

В общем, система координат может быть однозначно указана с использованием ряда линейно независимых единичных векторов ^[3] (фактическое число равно степеням свободы пространства). Для обычного 3-мерного пространства эти векторы можно обозначать . Почти всегда удобно определять систему как ортонормированную и правую :${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{n}}$${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3}}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {e}} _{j}=\delta _{ij}}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot (\mathbf {\hat {e}} _{j}\times \mathbf {\hat {e}} _{k})=\varepsilon _{ijk}}$

где - символ Кронекера (который равен 1 для i = j и 0 в противном случае) и является символом Леви-Чивиты (который равен 1 для перестановок, упорядоченных как ijk , и −1 для перестановок, упорядоченных как kji ).${\displaystyle \delta _{ij}}$${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$

Правый Versor [ править ]

Единичный вектор в ℝ ³ был назван В. Р. Гамильтоном правым версором , когда он развил свои кватернионы ℍ ⊂ ℝ ⁴ . Фактически, он был создателем термина « вектор» , поскольку каждый кватернион имеет скалярную часть s и векторную часть v . Если v - единичный вектор в ℝ ³ , то квадрат v в кватернионах равен –1. Таким образом, по формуле Эйлера , является версором в 3-сфере . Когда θ - прямой угол${\displaystyle q=s+v}$${\displaystyle \exp(\theta v)=\cos \theta +v\sin \theta }$, версор является правым версором: его скалярная часть равна нулю, а его векторная часть v является единичным вектором в ℝ ³ .

См. Также [ править ]

Найдите единичный вектор в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Декартова система координат
• Система координат
• Криволинейные координаты
• Четырехскоростной
• Матрица Якоби и определитель
• Нормальный вектор
• Полярная система координат
• Стандартная основа
• Единичный интервал
• Единичный квадрат , куб , круг , сфера и гипербола
• Обозначение вектора
• Вектор из них

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• ГБ Арфкен и Х. Дж. Вебер (2000). Математические методы для физиков (5-е изд.). Академическая пресса. ISBN 0-12-059825-6.
• Шпигель, Мюррей Р. (1998). Очерки Шаума: Математический справочник формул и таблиц (2-е изд.). Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-038203-4.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.). Прентис Холл. ISBN 0-13-805326-X.