Критерий устойчивости Вахитова-Колоколов является условием для линейной устойчивости (иногда называемой спектральной устойчивости ) в уединенных волновых решений для широкого класса U (1) -инвариантных гамильтоновых систем , названный в честь советских ученых Александр Колоколов (Александр Александрович Колоколов) и Назиб Вахитов (Назиб Галиевич Вахитов). Условие линейной устойчивости уединенной волны с частотой имеет форму
где - заряд (или импульс ) уединенной волны, сохраняющаяся по теореме Нётер из-за U (1) -инвариантности системы.
Оригинальная рецептура
Первоначально этот критерий был получен для нелинейного уравнения Шредингера :
где , , а также является гладкой реальной значной функцией . Решениесчитается комплексным . Поскольку уравнение U (1) -инвариантно, по теореме Нётер оно имеет интеграл движения ,, который в зависимости от рассматриваемой модели называется зарядом или импульсом . Для широкого класса функцийнелинейное уравнение Шредингера допускает уединенные волновые решения вида , где а также распадается на большие (часто требуется, чтобы принадлежит пространству Соболева ). Обычно такие решения существуют дляиз интервала или набора интервалов реальной строки. Критерий устойчивости Вахитова – Колоколова, [1] [2] [3] [4]
является условием спектральной устойчивости решения уединенной волны. А именно, если это условие выполняется при определенном значении, то линеаризация на уединенной волне с этим не имеет спектра в правой полуплоскости.
Этот результат основан на более ранней работе [5] по Владимир Захаров .
Обобщения
Этот результат был обобщен на абстрактные гамильтоновы системы с U (1) -инвариантностью. [6] Было показано, что при достаточно общих условиях критерий устойчивости Вахитова – Колоколова гарантирует не только спектральную устойчивость, но и орбитальную устойчивость уединенных волн.
Условие устойчивости было обобщено [7] на решения бегущей волны обобщенного уравнения Кортевега – де Фриза вида
- .
Условие устойчивости также было обобщено на гамильтоновы системы с более общей группой симметрии . [8]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Колоколов, А. А. (1973). «Устойчивость основной моды нелинейного волнового уравнения в кубичной среде» . Прикладная механика и техническая физика (3): 152–155.
- ^ Колоколов А.А. (1973). «Устойчивость доминирующей моды нелинейного волнового уравнения в кубической среде». Журнал прикладной механики и технической физики . 14 (3): 426–428. Bibcode : 1973JAMTP..14..426K . DOI : 10.1007 / BF00850963 .
- ^ Вахитов, Н. Г. & Колоколов, А. А. (1973). "Стационарные решения волнового уравнения в среде с насыщением нелинейности". Известия высших учебных заведений. Радиофизика . 16 : 1020–1028.
- ^ Н.Г. Вахитов, А.А. Колоколов (1973). «Стационарные решения волнового уравнения в среде с насыщением нелинейности». Radiophys. Квантовая электроника . 16 (7): 783–789. Bibcode : 1973R & QE ... 16..783V . DOI : 10.1007 / BF01031343 .
- ^ Владимир Евгеньевич Захаров (1967). «Неустойчивость самофокусировки света» (PDF) . Ж. Эксп. Теор. Физ . 53 : 1735–1743. Bibcode : 1968JETP ... 26..994Z .
- ^ Мануссос Грильякис; Джалал Шатах и Вальтер Штраус (1987). «Теория устойчивости уединенных волн при наличии симметрии. I». J. Funct. Анальный . 74 : 160–197. DOI : 10.1016 / 0022-1236 (87) 90044-9 .
- ^ Джерри Бона; Панайотис Суганидис и Вальтер Штраус (1987). «Устойчивость и неустойчивость уединенных волн типа Кортевега-де Фриза». Труды Королевского общества А . 411 (1841): 395–412. Bibcode : 1987RSPSA.411..395B . DOI : 10,1098 / rspa.1987.0073 .
- ^ Мануссос Грильякис; Джалал Шатах и Вальтер Штраус (1990). «Теория устойчивости уединенных волн при наличии симметрии». J. Funct. Анальный . 94 (2): 308–348. DOI : 10.1016 / 0022-1236 (90) 90016-E .