В трехмерной геометрии для конечной плоской поверхности скалярной площади S и единичной нормали n̂ векторная площадь S определяется как единичная нормаль, масштабируемая по площади:
Для ориентируемой поверхности S, состоящей из набора S i плоских граней , векторная площадь поверхности определяется выражением
где n̂ i - единичный вектор нормали к площади S i .
Для ограниченных ориентированных криволинейных поверхностей, которые имеют достаточно хорошее поведение , мы все еще можем определить векторную область. Сначала мы разбиваем поверхность на бесконечно малые элементы, каждый из которых фактически плоский. Для каждого бесконечно малого элемента площади у нас есть вектор площади, также бесконечно малый.
где n̂ - локальный единичный вектор, перпендикулярный dS . Интегрирование дает векторную площадь поверхности.
Для криволинейной или граненой поверхности векторная площадь меньше по величине, чем площадь. В качестве крайнего примера, замкнутая поверхность может иметь произвольно большую площадь, но ее векторная площадь обязательно равна нулю. [1] Поверхности с общей границей могут иметь очень разные области, но они должны иметь одну и ту же векторную область - векторная область полностью определяется границей. Это следствия теоремы Стокса .
Концепция вектора площади упрощает уравнение для определения потока через поверхность. Рассмотрим плоскую поверхность в однородном поле . Поток можно записать как скалярное произведение вектора поля и площади. Это намного проще, чем умножение напряженности поля на площадь поверхности и косинус угла между полем и нормалью к поверхности.
Проекция местности на плоскости
Спроецированная область (например) на плоскость xy эквивалентна z -компоненте векторной области и задается как
где θ - угол между нормалью к плоскости и осью z .
Смотрите также
Заметки
- ^ Шпигель, Мюррей Р. (1959). Теория и проблемы векторного анализа . Обзорная серия Шаума. Макгроу Хилл. п. 25.