Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Объем представляет собой количество из трехмерного пространства заключенного в замкнутой поверхности , например, пространство , что вещество ( твердая , жидкая , газ , или плазма ) или форма занимает или содержит. [1] Объем часто определяется численно с использованием производной единицы СИ - кубического метра . Под объемом контейнера обычно понимают вместимость контейнера; т.е. количество жидкости (газа или жидкости), которое может вместить контейнер, а не объем пространства, которое сам контейнер вытесняет. Трехмерныйматематическим формам также приписываются объемы. Объемы некоторых простых форм, таких как правильные, прямые и круглые, можно легко вычислить с помощью арифметических формул . Объемы сложных форм можно рассчитать с помощью интегрального исчисления, если существует формула для границы формы. Одномерные фигуры (например, линии ) и двухмерные фигуры (например, квадраты ) получают нулевой объем в трехмерном пространстве.

Объем твердого тела (правильной или неправильной формы) можно определить по вытеснению жидкости . Вытеснение жидкости также можно использовать для определения объема газа. Общий объем двух веществ обычно больше, чем объем только одного из веществ. Тем не менее, иногда один растворяет вещество в другой и в таких случаях комбинированного объема не является аддитивным . [2]

В дифференциальной геометрии объем выражается с помощью формы объема и является важным глобальным римановым инвариантом . В термодинамике объем является фундаментальным параметром и является переменной, сопряженной с давлением .

Единицы [ править ]

Измерения объема из Справочника нового студента 1914 года .

Любая единица длины дает соответствующую единицу объема: объем куба , стороны которого имеют заданную длину. Например, кубический сантиметр (см 3 ) - это объем куба, длина сторон которого составляет один сантиметр (1 см).

В Международной системе единиц (СИ) стандартной единицей объема является кубический метр (м 3 ). Метрическая система также включает в себя литр (L) в качестве единицы объема, где один литр объем 10-сантиметрового куб. Таким образом

1 литр = (10 см) 3 = 1000 кубических сантиметров = 0,001 кубических метров,

так

1 кубический метр = 1000 литров.

Небольшие количества жидкости часто измеряются в миллилитрах , где

1 миллилитр = 0,001 литра = 1 кубический сантиметр.

Таким же образом можно измерить большие количества в мегалитрах, где

1 миллион литров = 1000 кубометров = 1 мегалитр.

Также используются различные другие традиционные единицы измерения объема, включая кубический дюйм , кубический фут , кубический ярд , кубическую милю , чайную ложку , столовую ложку , жидкую унцию , жидкий драм , жабры , пинту , кварту. , то галлон , то минит , то ствол , то шнур , то клюнет , то бушель , то хогсхед , то акр-фут и доска для ног.

Связанные условия [ править ]

В Оксфордском словаре английского языка вместимость определяется как «мера, применяемая к содержимому сосуда, а также к жидкостям, зерну и т.п., которые принимают форму того, что их удерживает». [4] (Слово « емкость» имеет другие значения, не связанные, например, с управлением мощностью .) «Емкость» не тождественна по значению объему, хотя и тесно связана; вместимость контейнера всегда равна его внутреннему объему. Единицы измерения емкости - это литр СИ и его производные единицы, а также британские единицы, такие как жабры , пинта , галлон и другие. Единицы объема - кубы единиц длины.. В системе СИ единицы объема и вместимости тесно связаны: один литр равен 1 кубическому дециметру, вместимость куба со стороной 10 см. В других системах преобразование нетривиально; Емкость топливного бака транспортного средства редко указывается в кубических футах, например, в галлонах (британский галлон заполняет объем 0,1605 куб. фута).

Плотность объекта определяется как отношение массы к объему. [5] Плотность, обратная величине, - это удельный объем, который определяется как объем, деленный на массу. Удельный объем - это понятие, важное в термодинамике, где объем рабочего тела часто является важным параметром изучаемой системы.

Объемная скорость потока в динамике жидкости представляет собой объем жидкости , который проходит через заданную поверхность за единицу времени (например , кубических метров в секунду [м 3 с -1 ]).

Объем в исчислении [ править ]

В исчислении , разделе математики , объем области D в R 3 задается тройным интегралом постоянной функции по области и обычно записывается как:

В цилиндрических координатах объемный интеграл равен

В сферических координатах (используя соглашение для углов в качестве азимута и отсчитываемых от полярной оси; см. Дополнительные соглашения ), интеграл объема равен

Формулы объема [ править ]

Соотношение объемов конуса, сферы и цилиндра одинакового радиуса и высоты [ править ]

Конус, сфера и цилиндр радиуса r и высоты h

Приведенные выше формулы можно использовать, чтобы показать, что объемы конуса , сферы и цилиндра одного радиуса и высоты находятся в соотношении 1: 2: 3 , как показано ниже.

Пусть радиус равен r, а высота равна h (что составляет 2 r для сферы), тогда объем конуса равен

объем шара

а объем цилиндра

Открытие соотношения 2: 3 объемов сферы и цилиндра приписывают Архимеду . [6]

Вывод формулы объема [ править ]

Сфера [ править ]

Объем сферы - это интеграл бесконечного числа бесконечно малых круглых дисков толщиной dx . Расчет объема сферы с центром 0 и радиусом r следующий.

Площадь круглого диска составляет .

Радиус круглых дисков, определяемый таким образом, что ось x проходит через них перпендикулярно, составляет

или же

где y или z могут быть взяты для представления радиуса диска при конкретном значении x.

Используя y в качестве радиуса диска, объем сферы можно рассчитать как

Сейчас же

Объединение урожайности

Эту формулу можно получить быстрее, используя формулу для площади поверхности сферы , которая равна . Объем сферы состоит из слоев бесконечно тонких сферических оболочек, а объем сферы равен

Конус [ править ]

Конус представляет собой разновидность пирамидальной формы. Фундаментальное уравнение для пирамид, в три раза умноженной на высоту основания, применимо и к конусам.

Однако, используя математический анализ, объем конуса представляет собой интеграл бесконечного числа бесконечно тонких круглых дисков толщиной dx . Расчет объема конуса высотой h , основание которого находится в точке (0, 0, 0) с радиусом r , производится следующим образом.

Радиус каждого кругового диска равен r, если x = 0, и 0, если x = h , и линейно изменяется между ними, то есть

Тогда площадь поверхности круглого диска равна

Тогда объем конуса можно рассчитать как

и после извлечения констант

Интеграция дает нам

Многогранник [ править ]

Объем в дифференциальной геометрии [ править ]

В дифференциальной геометрии , разделе математики , форма объема на дифференцируемом многообразии - это дифференциальная форма высшей степени (т. Е. Степень которой равна размерности многообразия), которая нигде не равна нулю. Многообразие имеет форму объема тогда и только тогда, когда оно ориентируемо. Ориентируемое многообразие имеет бесконечно много форм объема, поскольку умножение формы объема на функцию, отличную от нуля, дает другую форму объема. На неориентируемых многообразиях вместо этого можно определить более слабое понятие плотности . Интегрирование формы объема дает объем коллектора в соответствии с этой формой.

Ориентированное псевдориманово многообразие имеет естественную форму объема. В местных координатах это можно выразить как

где are 1-формы, которые образуют положительно ориентированный базис кокасательного расслоения многообразия, и является определителем матричного представления метрического тензора на многообразии в терминах того же базиса.

Объем в термодинамике [ править ]

В термодинамике , то объем из системы является важным обширен параметром для описания его термодинамического состояния . Объемное удельное , интенсивное свойство , является громкость системы на единицу массы. Объем является функцией состояния и взаимозависим с другими термодинамическими свойствами, такими как давление и температура . Например, объем связан с давлением и температурой в качестве идеального газа по идеальному газу .

Расчет объема [ править ]

Задача численного вычисления объема объектов изучается в области вычислительной геометрии в информатике, исследуются эффективные алгоритмы для выполнения этого вычисления, приблизительно или точно , для различных типов объектов. Например, метод аппроксимации выпуклого объема показывает, как аппроксимировать объем любого выпуклого тела с помощью оракула членства .

См. Также [ править ]

  • Парадокс Банаха – Тарского
  • Преобразование единиц
  • Габаритный вес
  • Размеры
  • Длина
  • Мера
  • Периметр
  • Объем (термодинамика)
  • Объемная
  • Масса

Ссылки [ править ]

  1. ^ "Ваша словарная статья для" тома " " . Проверено 1 мая 2010 .
  2. ^ Один литр сахара (около 970 граммов) может раствориться в 0,6 литрах горячей воды, в результате чего общий объем составит менее одного литра. «Растворимость» . Проверено 1 мая 2010 . В литре воды можно растворить до 1800 граммов сахарозы.
  3. ^ «Общие таблицы единиц измерения» . Подразделение мер и весов NIST. Архивировано из оригинала на 2011-12-10 . Проверено 12 января 2011 .
  4. ^ "емкость" . Оксфордский словарь английского языка (Интернет-изд.). Издательство Оксфордского университета. (Требуется подписка или членство в учреждении-участнике .)
  5. ^ "плотность" . Оксфордский словарь английского языка (Интернет-изд.). Издательство Оксфордского университета. (Требуется подписка или членство в учреждении-участнике .)
  6. ^ Роррес, Крис. «Могила Архимеда: Источники» . Курантский институт математических наук . Проверено 2 января 2007 .

Внешние ссылки [ править ]

  • Периметры, площади, объемы в Викиучебнике
  • Объем в Викиучебнике