Вейвлет-преобразование

Пример двумерного дискретного вейвлет-преобразования , используемого в JPEG2000 .

В математике , Вейвлет серия является представлением интегрируемого квадрата ( реальной - или сложной значной) функции по определенной ортонормирован- серии порожденной вейвлетом . В этой статье дается формальное математическое определение ортонормированного вейвлета и интегрального вейвлет-преобразования . ^{[1] [2] [3] [4]}

Определение [ править ]

Функция называется ортонормированным вейвлетом , если оно может быть использовано для определения Гильберта основы , которая является полной ортонормированной системой , для гильбертова пространства в квадратичне интегрируемых функций.${\ Displaystyle \ psi \, \ в \, L ^ {2} (\ mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle L ^ {2} \ влево (\ mathbb {R} \ right)}$

Гильберта основа строится семейство функций с помощью двоичных сдвигов и растяжений из ,${\ Displaystyle \ {\ psi _ {jk}: \, j, \, k \, \ in \, \ mathbb {Z} \}}$ ${\ displaystyle \ psi \,}$

${\ Displaystyle \ psi _ {jk} (x) = 2 ^ {\ frac {j} {2}} \ psi \ left (2 ^ {j} xk \ right) \,}$

для целых чисел .${\ Displaystyle J, \, к \, \ в \, \ mathbb {Z}}$

Если под стандартным внутренним продуктом включен ,${\ Displaystyle L ^ {2} \ влево (\ mathbb {R} \ right)}$

${\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) {\ overline {g (x)}} dx}$

это семейство ортонормировано, это ортонормированная система:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi _{jk},\psi _{lm}\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{jk}(x){\overline {\psi _{lm}(x)}}dx\\&=\delta _{jl}\delta _{km}\end{aligned}}}$

где - дельта Кронекера .${\displaystyle \delta _{jl}\,}$

Полнота удовлетворяется, если каждая функция может быть расширена в базисе как${\displaystyle f\,\in \,L^{2}\left(\mathbb {R} \right)}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{j,k=-\infty }^{\infty }c_{jk}\psi _{jk}(x)}$

с сходимостью ряда понимается сходимость по норме . Такое представление f называется вейвлет-серией . Это означает, что ортонормированный вейвлет самодвойственен .

Интегральное вейвлет - преобразование является интегральное преобразование определяется как

${\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {|a|}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {\psi \left({\frac {x-b}{a}}\right)}}f(x)dx\,}$

Тогда вейвлет-коэффициенты определяются как${\displaystyle c_{jk}}$

${\displaystyle c_{jk}=\left[W_{\psi }f\right]\left(2^{-j},k2^{-j}\right)}$

Здесь это называется двоичным расширением или диадическим расширением и является двоичным или двоичным положением .${\displaystyle a=2^{-j}}$${\displaystyle b=k2^{-j}}$

Принцип [ править ]

Основная идея вейвлет-преобразований состоит в том, что преобразование должно допускать только изменения во времени, но не в форме. На это влияет выбор подходящих базовых функций, которые позволяют это сделать. ^{[ как? ]} Ожидается, что изменения во временном продлении будут соответствовать соответствующей частоте анализа базовой функции. Основываясь на принципе неопределенности обработки сигналов,

${\displaystyle \Delta t\Delta \omega \geq {\frac {1}{2}}}$

где представляет время и угловую частоту ( , где - временная частота).${\displaystyle t}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega =2\pi f}$${\displaystyle f}$

Чем выше требуемое разрешение по времени, тем ниже должно быть разрешение по частоте. Чем больше выбрано расширение окон анализа , тем больше значение ^{[ как? ]} .${\displaystyle \Delta t}$

Когда большой,${\displaystyle \Delta t}$

1. Плохое временное разрешение
2. Хорошее частотное разрешение
3. Низкая частота, большой коэффициент масштабирования

Когда маленький${\displaystyle \Delta t}$

1. Хорошее временное разрешение
2. Плохое частотное разрешение
3. Высокая частота, небольшой коэффициент масштабирования

Другими словами, базисную функцию можно рассматривать как импульсную характеристику системы, с помощью которой функция была отфильтрована. Преобразованный сигнал предоставляет информацию о времени и частоте. Следовательно, вейвлет-преобразование содержит информацию, аналогичную краткосрочному преобразованию Фурье , но с дополнительными особыми свойствами вейвлетов, которые проявляются с разрешением во времени при более высоких частотах анализа базисной функции. Разница во временном разрешении на возрастающих частотах для преобразования Фурье и вейвлет-преобразования показана ниже. Однако обратите внимание, что разрешение по частоте уменьшается с увеличением частот, в то время как разрешение по времени увеличивается. Это следствие${\displaystyle \psi }$${\displaystyle x(t)}$Принцип неопределенности Фурье отображается на рисунке неправильно.

Это показывает, что вейвлет-преобразование имеет хорошее временное разрешение на высоких частотах, в то время как для медленно меняющихся функций разрешение по частоте замечательное.

Другой пример: анализ трех наложенных синусоидальных сигналов с помощью STFT и вейвлет-преобразования.${\displaystyle y(t)\;=\;\sin(2\pi f_{0}t)\;+\;\sin(4\pi f_{0}t)\;+\;\sin(8\pi f_{0}t)}$

Сжатие вейвлета [ править ]

Вейвлет-сжатие - это форма сжатия данных, хорошо подходящая для сжатия изображений (иногда также сжатия видео и аудио ). Известными реализациями являются JPEG 2000 , DjVu и ECW для неподвижных изображений, CineForm и Дирак BBC . Цель состоит в том, чтобы хранить данные изображения в файле как можно меньше места . Вейвлет-сжатие может быть без потерь или с потерями . ^[5] Вейвлет-кодирование - это вариант дискретного косинусного преобразования.(DCT) кодирование, использующее вейвлеты вместо блочного алгоритма DCT. ^[6]

Используя вейвлет-преобразование, методы вейвлет-сжатия подходят для представления переходных процессов , таких как звуки ударных в звуке или высокочастотных компонентов в двумерных изображениях, например, изображение звезд на ночном небе. Это означает, что переходные элементы сигнала данных могут быть представлены меньшим объемом информации, чем было бы в случае использования какого-либо другого преобразования, такого как более распространенное дискретное косинусное преобразование .

Дискретное вейвлет-преобразование было успешно применено для сжатия сигналов электрокардиографа (ЭКГ) ^[7]. В этой работе высокая корреляция между соответствующими вейвлет-коэффициентами сигналов последовательных сердечных циклов используется с использованием линейного предсказания.

Вейвлет-сжатие не подходит для всех видов данных: характеристики переходного сигнала означают хорошее вейвлет-сжатие, в то время как гладкие периодические сигналы лучше сжимаются другими методами, особенно традиционным гармоническим сжатием (частотная область, например, с помощью преобразования Фурье и т.п.).

См. Дневник разработчика x264: Проблемы с вейвлетами (2010) для обсуждения практических вопросов современных методов, использующих вейвлеты для сжатия видео.

Метод [ править ]

Сначала применяется вейвлет-преобразование. Это дает столько коэффициентов, сколько пикселей в изображении (т. Е. Сжатия еще нет, поскольку это всего лишь преобразование). Затем эти коэффициенты можно будет легче сжать, потому что информация статистически сконцентрирована всего в нескольких коэффициентах. Этот принцип называется кодированием с преобразованием . После этого коэффициенты являются квантуется и квантованные значения энтропии кодируются и / или длина последовательности кодируется .

Некоторые одномерные и двухмерные приложения вейвлет-сжатия используют технику, называемую «следы вейвлетов». ^{[8] [9]}

Оценка [ править ]

Требование к сжатию изображений [ править ]

Для наиболее естественных изображений спектральная плотность более низких частот выше. ^[10] В результате информация о низкочастотном сигнале (опорный сигнал) обычно сохраняется, а информация в подробном сигнале отбрасывается. С точки зрения сжатия и реконструкции изображения вейвлет должен соответствовать следующим критериям при выполнении сжатия изображения:

• Возможность преобразования более оригинального изображения в опорный сигнал.
• Высокая точность реконструкции на основе опорного сигнала.
• Не должно привести к появлению артефактов в изображении, реконструированных только из опорного сигнала.

Требование изменения смены и поведения звонка [ править ]

Система сжатия вейвлет-изображения включает в себя фильтры и прореживание, поэтому ее можно описать как систему с линейным сдвигом. Типичная диаграмма вейвлет-преобразования показана ниже:

Система преобразования содержит два фильтра анализа (фильтр нижних частот и фильтр верхних частот ), процесс прореживания, процесс интерполяции и два фильтра синтеза ( и ). Система сжатия и восстановления обычно включает в себя низкочастотные компоненты, которые представляют собой фильтры анализа для сжатия изображения и фильтры синтеза для восстановления. Чтобы оценить такую ​​систему, мы можем ввести импульс и наблюдать ее реконструкцию ; Оптимальный вейвлет - это те, которые доводят до минимума дисперсию сдвига и боковой лепесток . Даже если вейвлет со строгой дисперсией сдвига нереалистичен, можно выбрать вейвлет только с небольшой дисперсией сдвига. Например, мы можем сравнить дисперсию сдвига двух фильтров:${\displaystyle h_{0}(n)}$${\displaystyle h_{1}(n)}$${\displaystyle g_{0}(n)}$${\displaystyle g_{1}(n)}$${\displaystyle h_{0}(n)}$${\displaystyle g_{0}(n)}$${\displaystyle \delta (n-n_{i})}$${\displaystyle h(n-n_{i})}$${\displaystyle h(n-n_{i})}$^[11]

Наблюдая за импульсными характеристиками двух фильтров, мы можем сделать вывод, что второй фильтр менее чувствителен к местоположению входа (т.е. это вариант с меньшим сдвигом).

Другой важной проблемой для сжатия и реконструкции изображения является колебательное поведение системы, которое может привести к серьезным нежелательным артефактам в восстановленном изображении. Для этого вейвлет-фильтры должны иметь большое отношение пика к боковым лепесткам.

До сих пор мы обсуждали одномерное преобразование системы сжатия изображений. Эта проблема может быть расширена до двух измерений, в то время как предлагается более общий термин - многомасштабные преобразования с возможностью сдвига. ^[12]

Вывод импульсной характеристики [ править ]

Как упоминалось ранее, импульсная характеристика может использоваться для оценки системы сжатия / восстановления изображения.

Для входной последовательности опорный сигнал после одного уровня разложения подвергается децимации с коэффициентом два, а это фильтр нижних частот. Точно так же следующий опорный сигнал получается путем прореживания в два раза. После того, как уровни L разложения (и прореживание), ответ анализа получен путем сохранения одного из каждых образцов: .${\displaystyle x(n)=\delta (n-n_{i})}$${\displaystyle r_{1}(n)}$${\displaystyle x(n)*h_{0}(n)}$${\displaystyle h_{0}(n)}$${\displaystyle r_{2}(n)}$${\displaystyle r_{1}(n)*h_{0}(n)}$${\displaystyle 2^{L}}$${\displaystyle h_{A}^{(L)}(n,n_{i})=f_{h0}^{(L)}(n-n_{i}/2^{L})}$

С другой стороны, чтобы восстановить сигнал x (n), мы можем рассмотреть опорный сигнал . Если детальные сигналы равны нулю для , то опорный сигнал на предыдущем этапе ( этапе) равен , который получается путем интерполяции и свертки с . Аналогичным образом , процедура повторяется для получения опорного сигнала на этапе . После L итераций вычисляется импульсная характеристика синтеза:, которая связывает опорный сигнал и восстановленный сигнал.${\displaystyle r_{L}(n)=\delta (n-n_{j})}$${\displaystyle d_{i}(n)}$${\displaystyle 1\leq i\leq L}$${\displaystyle L-1}$${\displaystyle r_{L-1}(n)=g_{0}(n-2n_{j})}$${\displaystyle r_{L}(n)}$${\displaystyle g_{0}(n)}$${\displaystyle r(n)}$${\displaystyle L-2,L-3,....,1}$${\displaystyle h_{s}^{(L)}(n,n_{i})=f_{g0}^{(L)}(n/2^{L}-n_{j})}$${\displaystyle r_{L}(n)}$

Для получения общей системы анализа / синтеза L-уровня ответы анализа и синтеза объединяются, как показано ниже:

${\displaystyle h_{AS}^{(L)}(n,n_{i})=\sum _{k}f_{h0}^{(L)}(k-n_{i}/2^{L})f_{g0}^{(L)}(n/2^{L}-k)}$.

Наконец, отношение пикового значения к первому боковому лепестку и средний второй боковой лепесток общего импульсного отклика можно использовать для оценки эффективности сжатия вейвлет-изображения. ${\displaystyle h_{AS}^{(L)}(n,n_{i})}$

Сравнение с преобразованием Фурье и частотно-временным анализом [ править ]

Преобразовать	Представление	Вход
преобразование Фурье	${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx}$	${\displaystyle \xi }$ частота
Частотно-временной анализ	${\displaystyle X(t,f)}$	${\displaystyle t}$время; частота${\displaystyle f}$
Вейвлет-преобразование	${\displaystyle X(a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {\Psi \left({\frac {t-b}{a}}\right)}}x(t)\,dt}$	${\displaystyle a}$масштабирование; коэффициент временного сдвига${\displaystyle b}$

Вейвлеты имеют некоторые небольшие преимущества перед преобразованиями Фурье в сокращении объема вычислений при исследовании конкретных частот. Однако они редко бывают более чувствительными, и действительно, обычный вейвлет Морле математически идентичен кратковременному преобразованию Фурье с использованием оконной функции Гаусса. ^[13] Исключение составляет поиск сигналов известной несинусоидальной формы (например, сердцебиение); в этом случае использование согласованных вейвлетов может превзойти стандартный анализ STFT / Морле. ^[14]

Другие практические приложения [ править ]

Вейвлет-преобразование может предоставить нам частоту сигналов и время, связанные с этими частотами, что делает его очень удобным для его применения во многих областях. Например, обработка сигналов ускорения для анализа походки, ^[15] для обнаружения неисправностей, ^[16] для разработки кардиостимуляторов малой мощности, а также для сверхширокополосной (UWB) беспроводной связи. ^{[17] [18] [19]}

Синхронно-сжатое преобразование [ править ]

Синхронно-сжатое преобразование может значительно улучшить временное и частотное разрешение частотно-временного представления, полученного с использованием обычного вейвлет-преобразования. ^{[20] [21]}

См. Также [ править ]

• Непрерывное вейвлет-преобразование
• Дискретное вейвлет-преобразование
• Комплексное вейвлет-преобразование
• Constant-Q преобразование
• Стационарное вейвлет-преобразование
• Двойной вейвлет
• Анализ с несколькими разрешениями
• MrSID , формат изображения, разработанный на основе оригинального исследования вейвлет-сжатия в Национальной лаборатории Лос-Аламоса (LANL)
• ECW , формат геопространственных изображений на основе вейвлетов, разработанный для обеспечения скорости и эффективности обработки.
• JPEG 2000 , стандарт сжатия изображений на основе вейвлетов
• Формат DjVu использует алгоритм IW44 на основе вейвлетов для сжатия изображений.
• скейлограммы , тип спектрограммы, созданной с использованием вейвлетов вместо кратковременного преобразования Фурье
• Вейвлет
• Вейвлет Хаара
• Вейвлет Добеши
• Биномиальный QMF (также известный как вейвлет Добеши )
• Вейвлет Морле
• Вейвлет Габора
• Чирплет преобразование
• Частотно-временное представление
• S преобразование
• Установить секционирование в иерархических деревьях
• Кратковременное преобразование Фурье
• Биортогональный почти койфлетный базис , который показывает, что вейвлет для сжатия изображения также может быть почти койфлетным (почти ортогональным).

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме вейвлетов .

• Амара Грейпс (июнь 1995 г.). «Введение в вейвлеты» . IEEE Вычислительная наука и инженерия .
• Роби Поликар (12.01.2001). "Учебник по вейвлетам" .
• Краткое введение в вейвлеты Рене Пушингера