Уравнения Вейнгартена

Уравнения Вейнгартена дают разложение производной единичного вектора нормали к поверхности через первые производные вектора положения этой поверхности. Эти формулы были установлены в 1861 году немецким математиком Юлиусом Вайнгартеном . ^[1]

Утверждение в классической дифференциальной геометрии [ править ]

Пусть S - поверхность в трехмерном евклидовом пространстве , параметризованная вектором положения r ( u , v ) поверхности. Пусть P = P ( u , v ) - неподвижная точка на этой поверхности. Затем

${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {u} = {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial u}}, \ quad \ mathbf {r} _ {v} = {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial v}}}$

две касательные векторы в точке P .

Пусть n - единичный вектор нормали, а ( E , F , G ) и ( L , M , N ) - коэффициенты первой и второй фундаментальных форм этой поверхности соответственно. Уравнение Вейнгартена дает первую производную единичного вектора нормали n в точке P через касательные векторы r _u и r _v :

${\ displaystyle \ mathbf {n} _ {u} = {\ frac {FM-GL} {EG-F ^ {2}}} \ mathbf {r} _ {u} + {\ frac {FL-EM} { EG-F ^ {2}}} \ mathbf {r} _ {v}}$

${\ displaystyle \ mathbf {n} _ {v} = {\ frac {FN-GM} {EG-F ^ {2}}} \ mathbf {r} _ {u} + {\ frac {FM-EN} { EG-F ^ {2}}} \ mathbf {r} _ {v}}$

Это можно компактно выразить в индексных обозначениях как

${\ displaystyle \ partial _ {a} \ mathbf {n} = K_ {a} ^ {~ b} \ mathbf {r} _ {b}}$,

где K _ab - компоненты тензора кривизны поверхности.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. "Уравнения Вайнгартена" . MathWorld .
• Энциклопедия математики Springer , производные формулы Вайнгартена
• Струик, Дирк Дж. (1988), Лекции по классической дифференциальной геометрии , Dover Publications, стр. 108, ISBN 0-486-65609-8
• Эрвин Крейсциг , Дифференциальная геометрия , Dover Publications, 1991, ISBN 0-486-66721-9 , раздел 45.