В математике проблема Ветцеля касается оценок мощности набора аналитических функций , которые для каждого из своих аргументов принимают несколько различных значений. Он назван в честь Джона Ветцеля, математика из Иллинойсского университета в Урбане-Шампейне . [1] [2]
Пусть F будет семейством различных аналитических функций в данной области со свойством, что для каждого x в области функции из F отображают x в счетное множество значений. В своей докторской диссертации Ветцель задался вопросом, следует ли из этого предположения, что F обязательно само счетно. [3] Пол Эрдёш , в свою очередь, узнал о проблеме в Мичиганском университете , вероятно, через Ли Альберта Рубеля . [1] В своей статье по проблеме Эрдёш приписал анонимному математику наблюдение, что, когда каждый xотображается в конечное множество значений, F обязательно конечно. [4]
Однако, как показал Эрдёш, для счетных множеств ситуация более сложная: ответ на вопрос Ветцеля положительный тогда и только тогда, когда континуум-гипотеза ложна. [4] То есть существование несчетного множества функций, отображающих каждый аргумент x в счетное множество значений, эквивалентно отсутствию несчетного множества действительных чисел, мощность которых меньше мощности множества всех действительных чисел. числа. Одно направление этой эквивалентности также было независимо доказано, но не опубликовано, другим математиком UIUC, Робертом Дэном Диксоном. [1] Из независимости континуум-гипотезы, доказанной в 1963 г. Полом Коэном , следует [5]что ответ на проблему Ветцеля не зависит от теории множеств ZFC . [1] Доказательство Эрдёша настолько короткое и элегантное, что считается одним из Доказательств из КНИГИ . [2]
В случае, если гипотеза континуума ложна, Эрдёш спросил, существует ли семейство аналитических функций с мощностью континуума, такое, что каждое комплексное число имеет набор изображений, меньший, чем континуум. Как позже доказали Ашутош Кумар и Сахарон Шелах , как положительные, так и отрицательные ответы на этот вопрос совпадают. [6]