Теорема Вейля о полной сводимости

---

В алгебре теорема Вейля о полной сводимости является фундаментальным результатом теории представлений алгебр Ли (в частности, теории представлений полупростых алгебр Ли ). Пусть — полупростая алгебра Ли над полем нулевой характеристики. Теорема утверждает, что каждый конечномерный модуль над является полупростым как модуль (т. е. как прямая сумма простых модулей). ^[1]${\ Displaystyle {\ mathfrak {г}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {г}}}$

Из теоремы Вейля следует (фактически она эквивалентна), что обертывающая алгебра конечномерного представления является полупростым кольцом следующим образом.

Учитывая конечномерное представление алгебры Ли , позвольте быть ассоциативной подалгеброй алгебры эндоморфизма V , порожденной . Кольцо A называется обертывающей алгеброй кольца . Если полупросто, то A полупросто. ^[2] (Доказательство: поскольку A — конечномерная алгебра, то это артиново кольцо; в частности, радикал Джекобсона J нильпотентен. Если V простое, то следует, что . В общем случае J убивает каждый простой подмодуль V ; в частности, J убивает V${\ displaystyle \ pi: {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {gl}} (V)}$${\ Displaystyle А \ подмножество \ OperatorName {Конец} (V)}$${\ Displaystyle \ пи ({\ mathfrak {г}})}$${\ Displaystyle \ пи}$${\ Displaystyle \ пи}$${\ Displaystyle СП \ подмножество V}$${\ Displaystyle СП = 0}$и поэтому J равен нулю.) Обратно, если A полупрост, то V — полупростой A -модуль; т. е. полупростой как -модуль. (Обратите внимание, что модуль над полупростым кольцом является полупростым, поскольку модуль является фактором свободного модуля, а «полупростой» сохраняется при свободной и факторной конструкциях.)${\ Displaystyle {\ mathfrak {г}}}$

Предложение  .  Пусть полупростая конечномерная алгебра Ли над полем нулевой характеристики. ^[4]${\ Displaystyle {\ mathfrak {г}}}$

Короче говоря, полупростая и нильпотентная части элемента определены корректно и определяются независимо от точного конечномерного представления.${\ Displaystyle {\ mathfrak {г}}}$

---