Почти наверняка

В теории вероятностей говорят , что событие произойдет почти наверняка (иногда обозначается как ) , если оно происходит с вероятностью 1 (или мерой Лебега 1). ^[1] Другими словами, множество возможных исключений может быть непустым, но его вероятность равна 0. Это понятие аналогично понятию « почти везде » в теории меры .

В вероятностных экспериментах на конечном пространстве выборки часто нет разницы между почти наверняка и наверняка (поскольку вероятность 1 часто влечет за собой включение всех точек выборки ). Однако это различие становится важным, когда выборочное пространство представляет собой бесконечное множество ^[2] , потому что бесконечное множество может иметь непустые подмножества с вероятностью 0.

Некоторые примеры использования этой концепции включают сильную и однородную версии закона больших чисел и непрерывность траекторий броуновского движения .

Также используются термины почти наверняка (ас) и почти всегда (аа). Почти никогда не описывает противоположность почти наверняка : событие, которое происходит с нулевой вероятностью, почти никогда не происходит . ^[3]

Позвольте быть вероятностным пространством . Событие произойдет почти наверняка , если . То же самое происходит почти наверняка, если вероятность того , что не произойдет, равна нулю : . В более общем случае любое событие (не обязательно в ) происходит почти наверняка, если оно содержится в нулевом множестве : подмножестве в таком, что . ^[4] Понятие почти уверенности зависит от меры вероятности . Если необходимо подчеркнуть эту зависимость, принято говорить, что событие происходит Р — почти наверное, или почти наверное . ${\ Displaystyle (\ Омега, {\ mathcal {F}}, P)}$ ${\ Displaystyle Е \ в {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle Р (Е) = 1}$ ${\ Displaystyle Е}$ ${\ Displaystyle Е}$ ${\ Displaystyle Р (Е ^ {С}) = 0}$ ${\ Displaystyle Е \ subseteq \ Омега}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle Е ^ {С}}$ ${\ Displaystyle Н}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle P (N) = 0}$ ${\ Displaystyle Р}$ ${\ Displaystyle Е}$ ${\ Displaystyle \ влево (\! Р \ вправо)}$

В общем, событие может произойти «почти наверняка», даже если рассматриваемое вероятностное пространство включает результаты, которые не принадлежат событию, как показывают следующие примеры.