Рентгеновская отражательная способность

Рентгеновская отражательная (иногда называют рентгеновской зеркальном отражательной , рентгеновской рефлектометрии , или XRR ) является поверхностно-чувствительной аналитический метод используется в химии , физике и науки о материалах для характеристики поверхности , тонких пленок и многослойных . ^{[1] [2] [3] [4]} Это форма рефлектометрии, основанная на использовании рентгеновских лучей и относящаяся к методам нейтронной рефлектометрии и эллипсометрии .

Схема зеркального отражения рентгеновских лучей

Основной принцип отражательной способности рентгеновского излучения заключается в отражении пучка рентгеновских лучей от плоской поверхности и последующем измерении интенсивности рентгеновских лучей, отраженных в зеркальном направлении (угол отражения равен углу падения). Если граница раздела не является идеально резкой и гладкой, тогда отраженная интенсивность будет отклоняться от предсказанной законом отражательной способности Френеля . Затем отклонения могут быть проанализированы для получения профиля плотности границы раздела, перпендикулярного поверхности.

История [ править ]

Этот метод, по-видимому, впервые применил к рентгеновским лучам Лайман Г. Парратт в 1954 году. ^[5] Первоначальная работа Парратта исследовала поверхность стекла, покрытого медью, но с того времени метод был распространен на широкий диапазон обоих твердые и жидкие поверхности раздела.

Приближение [ править ]

Если граница раздела не является идеально резкой, но имеет профиль средней концентрации электронов, заданный как , то коэффициент отражения рентгеновских лучей можно приблизительно определить следующим образом: ^{[2] : 83}${\ Displaystyle \ rho _ {е} (г)}$

${\displaystyle R(Q)/R_{F}(Q)=\left|{\frac {1}{\rho _{\infty }}}{\int \limits _{-\infty }^{\infty }{e^{iQz}\left({\frac {d\rho _{e}}{dz}}\right)dz}}\right|^{2}}$

Вот это отражательная, , является длина волны рентгеновского излучения (обычно медные в К-альфа пик при 0.154056 нм), плотность в глубине материала и угол падения. Ниже критического угла (полученного из закона Снеллиуса ), 100% падающего излучения отражается, . Для , . Обычно затем можно использовать эту формулу для сравнения параметризованных моделей профиля средней плотности в z-направлении с измеренной отражательной способностью рентгеновских лучей, а затем изменять параметры до тех пор, пока теоретический профиль не совпадет с измерением.${\displaystyle R(Q)}$${\displaystyle Q=4\pi \sin(\theta )/\lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \rho _{\infty }}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle Q<Q_{c}}$${\displaystyle R=1}$${\displaystyle Q\gg Q_{c}}$${\displaystyle R\sim Q^{-4}}$

Колебания [ править ]

Для многослойных пленок коэффициент отражения рентгеновских лучей может показывать колебания с Q (угол / длина волны), аналогично эффекту Фабри-Перо , который здесь называется полосами Киссига . ^[6] Период этих колебаний может быть использован для определения толщины слоев, межслойных шероховатостей, электронной плотности и их контрастов , а также комплексных показателей преломления (которые зависят от атомного номера и атомного форм-фактора ), например, с использованием формализма матрицы Абелеса или рекурсивный формализм Парратта следующим образом:

${\displaystyle X_{j}={\frac {R_{j}}{T_{j}}}={\frac {r_{j,j+1}+X_{j+1}e^{2ik_{j+1,z}d_{j}}}{1+r_{j,j+1}X_{j+1}e^{2ik_{j+1,z}d_{j}}}}e^{-2ik_{j,z}d_{j}}}$

где X _j - отношение амплитуд отраженных и прошедших слоев j и j + 1, d _j - толщина слоя j, а r _{j, j + 1} - коэффициент Френеля для слоев j и j + 1.

${\displaystyle r_{j,j+1}={\frac {k_{j,z}-k_{j+1,z}}{k_{j,z}+k_{j+1,z}}}}$

где k _{j, z} - z-компонента волнового числа . Для зеркального отражения, когда углы падения и отражения равны, Q, использованное ранее, в два раза больше k _z, потому что . При условиях R _{N + 1} = 0 и T ₁ = 1 для системы с N-интерфейсом (т.е. ничего не возвращается изнутри полубесконечной подложки и падающей волны единичной амплитуды) все X _j можно вычислить последовательно. Шероховатость также можно учесть, добавив коэффициент${\displaystyle Q=k_{\text{incident}}+k_{\text{reflected}}}$

${\displaystyle r_{j,j+1,{\text{rough}}}=r_{j,j+1,{\text{ideal}}}e^{-2k_{j,z}k_{j+1,z}\sigma _{j}^{2}}}$

где - стандартное отклонение (или шероховатость).${\displaystyle \sigma }$

Толщина тонкой пленки и критический угол также могут быть аппроксимированы линейной аппроксимацией квадрата угла падения пиков в рад ² и безразмерного квадрата номера пика следующим образом:${\displaystyle \theta ^{2}}$${\displaystyle N^{2}}$

${\displaystyle \theta ^{2}=\left({\frac {\lambda }{2d}}\right)^{2}N^{2}+\theta _{c}^{2}}$.

Подгонка кривой [ править ]

Измерения отражательной способности рентгеновских лучей анализируются путем подгонки к измеренным данным смоделированной кривой, рассчитанной с использованием рекурсивного формализма Парратта в сочетании с приблизительной формулой интерфейса. Подгоночными параметрами обычно являются толщина слоя, плотность (на основании которой рассчитывается показатель преломления и, в конечном итоге, z-компонента волнового вектора ) и шероховатость поверхности раздела. Измерения обычно нормализуются, так что максимальная отражательная способность равна 1, но коэффициент нормализации также может быть включен в подгонку. Дополнительными параметрами подгонки могут быть уровень фонового излучения и ограниченный размер образца, из-за которого след луча при малых углах может превышать размер образца, что снижает отражательную способность.${\displaystyle n}$${\displaystyle k_{j,z}}$

Было предпринято несколько попыток подбора алгоритмов для отражения рентгеновских лучей, некоторые из которых находят локальный оптимум вместо глобального оптимума. Метод Левенберга-Марквардта находит локальный оптимум. Из-за того, что кривая имеет много интерференционных полос, она определяет неверную толщину слоя, если только первоначальное предположение не является исключительно хорошим. Производное свободной симплекс - метод также находит локальный оптимум. Чтобы найти глобальный оптимум, требуются алгоритмы глобальной оптимизации, такие как моделирование отжига. К сожалению, имитацию отжига трудно распараллелить на современных многоядерных компьютерах. При наличии достаточного времени можно показать , что моделирование отжига находит глобальный оптимум с вероятностью, приближающейся к 1, ^[7]но такое доказательство сходимости не означает, что требуемое время достаточно мало. В 1998 г. ^[8] было обнаружено, что генетические алгоритмы являются надежными и быстрыми методами подгонки для коэффициента отражения рентгеновских лучей. Таким образом, генетические алгоритмы были приняты программным обеспечением практически всех производителей рентгеновских дифрактометров, а также программным обеспечением подгонки с открытым исходным кодом.

Для подбора кривой требуется функция, обычно называемая функцией приспособленности, функцией стоимости, функцией ошибки аппроксимации или добротностью (FOM). Он измеряет разницу между измеренной кривой и смоделированной кривой, поэтому более низкие значения лучше. При подгонке измерение и наилучшее моделирование обычно представляются в логарифмическом пространстве.

С математической точки зрения функция ошибки аппроксимации математически корректно учитывает эффекты распределенного по Пуассону шума счета фотонов:${\displaystyle \chi ^{2}}$

${\displaystyle F=\sum _{i}{\frac {(x_{simul,i}-x_{meas,i})^{2}}{x_{meas,i}}}}$.

Однако эта функция может придавать слишком большое значение областям с высокой интенсивностью. Если важны области высокой интенсивности (например, при нахождении плотности массы по критическому углу), это может не быть проблемой, но подгонка может визуально не совпадать с измерением в диапазонах низкой интенсивности и высоких углов.${\displaystyle \chi ^{2}}$

Другой популярной функцией ошибки аппроксимации является функция 2-нормы в логарифмическом пространстве. Это определяется следующим образом:

${\displaystyle F={\sqrt {\sum _{i}(\log x_{simul,i}-\log x_{meas,i})^{2}}}}$.

Излишне говорить, что в уравнении точки данных с нулевым измеренным количеством фотонов должны быть удалены. Эту 2-норму в логарифмическом пространстве можно обобщить до p-нормы в логарифмическом пространстве. Недостатком этой 2-нормы в логарифмическом пространстве является то, что она может придавать слишком большой вес областям, где высок относительный шум счета фотонов.

Программное обеспечение с открытым исходным кодом [ править ]

Производители дифрактометров обычно предоставляют коммерческое программное обеспечение для измерения коэффициента отражения рентгеновских лучей. Однако также доступно несколько пакетов программного обеспечения с открытым исходным кодом: GenX ^[9] - широко используемая программа для построения кривой рентгеновской отражательной способности с открытым исходным кодом. Он реализован на языке программирования Python и поэтому работает как в Windows, так и в Linux. Motofit ^[10] работает в среде IGOR Pro и поэтому не может использоваться в операционных системах с открытым исходным кодом, таких как Linux. Micronova XRR ^[11] работает под управлением Java и поэтому доступен в любой операционной системе, в которой доступна Java. Рефлекс ^[12]это автономное программное обеспечение, предназначенное для моделирования и анализа отражения рентгеновских лучей и нейтронов от многослойных слоев. REFLEX - удобная бесплатная программа, работающая под платформами Windows и Linux.

Ссылки [ править ]