Распределение Пуассона с нулевым усечением

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Нулевое усеченное распределение Пуассона»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( август 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В теории вероятности , то нулевой усечено распределение Пуассона (ЗТП) определенное дискретное распределение вероятностей , носитель которой множество положительных целых чисел. Это распределение также известно как условное распределение Пуассона ^[1] или положительное распределение Пуассона . ^[2] Это условное распределение вероятностей случайной величины с распределением Пуассона. при условии, что значение случайной величины не равно нулю. Таким образом, случайная величина ZTP не может быть равна нулю. Рассмотрим, например, случайную переменную количества товаров в корзине покупателя на кассе супермаркета. Предположительно, покупатель не стоит в очереди, и ему нечего покупать (т. Е. Минимальная покупка - 1 товар), поэтому это явление может следовать за распределением ZTP. ^[3]

Поскольку ZTP является усеченным распределением с усечением, указанным как k > 0 , можно вывести функцию массы вероятности g ( k ; λ ) из стандартного распределения Пуассона f ( k ; λ ) следующим образом: ^[4]

${\displaystyle g(k;\lambda )=P(X=k\mid X>0)={\frac {f(k;\lambda )}{1-f(0;\lambda )}}={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!\left(1-e^{-\lambda }\right)}}={\frac {\lambda ^{k}}{(e^{\lambda }-1)k!}}}$

Среднее является

${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {\lambda }{1-e^{-\lambda }}}={\frac {\lambda e^{\lambda }}{e^{\lambda }-1}}}$

и дисперсия является

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]={\frac {\lambda +\lambda ^{2}}{1-e^{-\lambda }}}-{\frac {\lambda ^{2}}{(1-e^{-\lambda })^{2}}}=\operatorname {E} [X](1+\lambda -\operatorname {E} [X])}$

Оценка параметров [ править ]

Оценка максимального правдоподобия для параметра получается путем решения${\displaystyle {\widehat {\lambda }}}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\frac {\widehat {\lambda }}{1-e^{-{\widehat {\lambda }}}}}={\bar {x}}}$

где - выборочное среднее . ^[1]${\displaystyle {\bar {x}}}$

Сгенерированные с нулевым усечением случайные величины с распределением Пуассона [ править ]

Случайные переменные, выбранные из усеченного до нуля распределения Пуассона, могут быть получены с использованием алгоритмов, полученных из алгоритмов распределения Пуассона. ^[5]

 init : Пусть k ← 1, t ← e −λ / (1 - e −λ ) * λ, s ← t. Сгенерируйте равномерное случайное число u в [0,1]. пока s <u делать : к ← к + 1. t ← t * λ / k. s ← s + t. вернуть k.

Ссылки [ править ]